4 专题2 微点突破4 平面向量的最值与范围问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

微点突破4　平面向量的最值与范围问题　▶ 对应学生用书P34 【考情分析】　1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档.　2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围. 重点1　向量模的最值与范围 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－8e·b＋15＝0，则的最小值是(　　 ) A.4 B.＋1 C.2 D.1 解析：选D.设a，b共起点，由b2－8e·b＋15＝0可得(b－3e)·(b－5e)＝0得(b－3e)⊥(b－5e)， ∴如图b终点在AB直径的圆上，设AB中点为O，＝4，∵a与e夹角为， 因此，的最小值为圆心O到向量a所在直线的距离2减去半径1，为1. [规律方法]　求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过｜a｜2＝a2转化为实数问题；数形结合；坐标法. 对点练1.已知平面向量a，b，c满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜c｜＝3，且a⊥b，则｜a＋b－c｜的取值范围是(　　 ) A. B.(3，6) C.(3，3＋] D.[3－，6) 解析：选A.设a＝(1，0)，b＝(0，2)，｜c｜＝3，设c＝(3cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π]， 所以a＋b－c＝， 所以＝＝， 设f＝7－6sin θ－3cos θ，θ∈[0，2π]，则f＝7－3·sin(θ＋φ)，其中tan φ＝∈(0，)，所以φ∈，所以sin(θ＋φ)∈[－1，1]，故f(θ)∈[7－3，7＋3]， 所以｜a＋b－c｜∈[，]，即｜a＋b－c｜∈[3－，3＋]. 重点2　向量数量积的最值与范围 (2025·山东聊城二模)△ABC中，BC＝2，A＝60°，则·的最大值为(　　 ) A.6 B.3＋2 C.12 D.6＋4 解析：选D.由正弦定理可得，＝＝4＝2R，所以△ABC在以半径为R＝2的圆O上，则·＝·，由向量数量积几何意义及垂径定理可知：·＝＋·≤6＋，当与同向时，·有最大值为4， 所以·的最大值为6＋4. [规律方法]　向量数量积最值(范围)问题的解题策略 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断. (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决. 对点练2.(2025·江苏泰州二模)在等边△ABC中，AB＝2，P为△ABC所在平面内的一个动点，若PC＝1，则·的最大值为(　　 ) A.4 B.3＋2 C.2＋3 D.6 解析：选B.以C为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ∵＝1，∴点P在以C为圆心，1为半径的圆上，设P(cos α，sin α)， ∵△ABC为等边三角形，＝＝＝2，∴A，B， ∴＝，＝(1－cos α，－sin α)， ∴·＝(2－cos α)(1－cos α)＋(－sin α)(－sin α)＝cos2α－3cos α＋2＋sin2α－sin α＝3－＝3－2sin， 当α＋＝－＋2kπ，k∈Z，即α＝－＋2kπ，k∈Z时，＝3＋2. 重点3　参数的最值与范围 在△ABC中，＝2，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，且＝m，＝n，其中m＞0，n＞0，则m＋2n的最小值为(　　 ) A.2 B. C.3 D. 解析：选C.如图所示： 因为＝2，易知＝＋＝＋＝＋＝＋， 又＝m，＝n，所以＝＋＝＋， 易知E，F，D三点共线，利用共线定理可得＋＝1，又m＞0，n＞0， 所以m＋2n＝＝＋＋＋≥2＋＝2×＋＝3； 当且仅当＝，即m＝n＝1时，等号成立，所以m＋2n的最小值为3. [规律方法]　解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向量定理及推论 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0). (2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔ λ＋μ＝1，进行转化，列不等式或等式得到关于系数的关系式，从而求系数的取值范围. 对点练3.在△ABC中，点D是边BC上一点，若＝x＋y，则的最小值为(　　 ) A.7－2 B.7＋2 C.－2 D.7 解析：选B.在△ABC中，点D是边BC上一点，＝x＋y，则x＋y＝1，x＞0，y＞0. ＝(＋)(x＋y)＝7＋＋≥7＋2＝7＋2， 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，所以的最小值为7＋2. 重点4　向量夹角的最值与范围 在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 解析：选A.设与同方向的单位向量＝e1，与同方向的单位向量＝e2，与同方向的单位向量＝e3，由题意，所以e1＋3e2＝λe3， 所以＝λ2，即＋6e1·e2＋9＝λ2， 所以1＋6×1×1×cos∠BAD＋9＝λ2，所以cos∠BAD＝， 因为λ∈[，3]，所以λ2∈[7，9]，所以∈，即cos∠BAD∈. [反思感悟]　求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系. 对点练4.已知向量＝＝4，a·b＝－8，c＝，且＝1，则n与c夹角的最大值为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选A.已知向量＝＝4，a·b＝··cos＜a，b＞＝－8，即cos＜a，b＞＝－，即＜a，b＞＝， 建立如图所示平面直角坐标系，设＝a，＝b，＝c，＝n， 则A，B，C，又｜n－c｜＝1， 则＝1，即N的轨迹为以(1，)为圆心，1为半径的圆，由图可知，当ON与圆相切时，∠CON最大，此时sin∠CON＝＝， 则∠CON的最大值为，即n与c夹角的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $