3 专题2 微点突破3 三角函数中ω，φ的范围问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

微点突破3　三角函数中ω，φ的范围问题　▶ 对应学生用书P32 【考情分析】　三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上. 重点1　单调性与ω，φ的取值范围 已知f(x)＝sin在［－，］上单调递增，则ω的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 解析：选B.因为－≤x≤，则－ω＋≤ωx＋≤ω＋， 因为f(x)在上单调递增， 则结合ω＞0，解得0＜ω≤， 故ω的取值范围是. [规律方法]　由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区间)求解ω的取值范围，可将区间端点值代入后，去对应［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)或［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)列出不等式求解.另外，因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的单调递减(增)区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω的范围. 对点练1.(2025·福建漳州一模)已知f(x)＝sin(x＋)，若f(x)在区间(0＜a＜2π)上不单调，则a的取值范围是(　　 ) A.(，) B.(，) C.(，) D.(，) 解析：选B.画出函数f(x)的部分图象如图所示， 因为a＜2π，所以a＋＜＜. 因为f(x)在区间(0＜a＜2π)上不单调，所以解得＜a＜. 重点2　对称性与ω，φ的取值范围 已知函数f(x)＝2cos(ωx－)＋1(ω＞0)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是(　　 ) A.(0，］ B.(，］ C.［，) D.［，＋∞) 解析：选A.因为x∈(0，2π)，ω＞0，所以ωx－∈(－，2ωπ－)， 设z＝ωx－，画出y＝2cos z＋1的大致图象如图. 要使f(x)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴， 则2ωπ－∈(－，3π］，解得ω∈(0，］. [规律方法]　利用最小正周期T，根据三角函数图象的两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，可建立关于T，ω，φ的方程使问题获解. 对点练2.已知函数f(x)＝2sin(－π＜φ＜0)的一条对称轴为x＝，当x∈时，f(x)的最小值为－，则t的最大值为　　　　　　. 解析：因为函数f(x)＝2sin(3x＋φ)(－π＜φ＜0)的一条对称轴为x＝， 所以3×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，得到φ＝－＋kπ(k∈Z)，又－π＜φ＜0，所以φ＝－， 所以f(x)＝2sin， 又当x∈时，f(x)的最小值为－， 令3x－＝t∈，则y＝2sin t， 由y＝2sin t的图象与性质知，3t－≤，得到t≤. 答案： 重点3　零点与ω，φ的取值范围 (2025·四川绵阳模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0且φ∈R)在上单调，且f＋f＝0，若f(x)在(，π)上恰有2个零点，则ω的取值最准确的范围是(　　 ) A. B. C. D. 解析：选B.因为函数f(x)＝sin(ω＞0，φ∈R)在区间上单调，且满足f＝－f，而＝，∈，即f(x)的一个对称中心为(，0)，故f＝0； 而∈，故f(x)在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则≥－＝， 所以≥，0＜ω≤； 函数f(x)在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点，相邻两个零点之间相距半个周期，故＜π－≤T，即·＜π－≤，解得＜ω≤， 结合0＜ω≤，可得ω的取值范围为. [反思感悟]　利用三角函数的零点与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围. 对点练3.(2025·北京卷)设函数f(x)＝sin(ωx)＋cos(ωx)(ω＞0)，若f(x＋π)＝f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　 ) A.8 B.6 C.4 D.3 解析：选C.函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ωx＋)(ω＞0)， 设函数f(x)的最小正周期为T，由f(x＋π)＝f(x)可得kT＝π(k∈N*)， 所以T＝＝(k∈N*)，即ω＝2k(k∈N*)； 又函数f(x)在上存在零点，且当x∈时，ωx＋∈， 所以＋≥π，即ω≥3； 综上，ω的最小值为4. 重点4　值域(最值)与ω，φ的取值范围 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 解析：选D.因为ω＞0，所以当0≤x＜时，则有≤ωx＋＜ω＋， 因为f(x)在区间内有最大值，但无最小值， 结合函数图象，得＜ω＋≤，解得＜ω≤. [反思感悟]　由三角函数的最值(值域)求ω、φ的值(范围)，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围. 对点练4.若函数f(x)＝sin ωx在区间(π，2π)内没有最小值，则ω的取值范围为(　　 ) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 解析：选D.由x∈，则t＝ωx∈且ω＞0，所以y＝sin t在上没有最小值，若0＜ωπ＜2ωπ≤，可得0＜ω≤，若＋2kπ≤ωπ＜2ωπ≤＋2kπ且k∈N，可得＋2k≤ω≤＋k，k∈N，所以≤ω≤，综上，ω∈∪. 学科网（北京）股份有限公司 $