2 专题2 第2讲 解三角形（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

第2讲　解三角形　　　　　　　▶ 对应学生用书P30 【考情分析】　解三角形主要考查一是求边长、角度、面积等，二是利用三角恒等变换，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围等问题，综合性较强，中等难度. 1.(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 解析：选A.cos A＝＝＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°. 2.(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)已知△ABC的面积为，若cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos Acos Bsin C＝，则(　　) A.sin C＝sin2A＋sin2B B.AB＝ C.sin A＋sin B＝ D.AC2＋BC2＝3 解析：选ABC.对于A，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sin C＝2，所以sin2A＋sin2B＝sin C，故A正确； 对于B，令a＝BC，b＝AC，c＝AB，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，由sin2A＋sin2B＝sin C，得a2＋b2＝c·2R≥c2.因为cos Acos Bsin C＝＞0，sin C＞0，所以cos A＞0，cos B＞0，若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B＞，即A＞－B，则sin A＞sin(－B)＝cos B，所以sin C＝sin2A＋sin2B＞cos2B＋sin2B＝1，矛盾.故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝，所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝0，又cos Acos Bsin C＝cos Acos B＝，所以sin Asin B＝.因为S△ABC＝absin C＝ab＝，所以ab＝，所以＝(2R)2＝＝2，所以2R＝，所以c＝2R·sin C＝，故B正确； 对于C，(sin A＋sin B)2＝sin2A＋sin2B＋2sin Asin B＝sin C＋2sin Asin B＝1＋2×＝，所以sin A＋sin B＝，故C正确； 对于D，AC2＋BC2＝AB2＝c2＝2，故D错误. 3.(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解：(1)由余弦定理得cos C＝＝， 又0＜C＜π，所以C＝， 所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝， 又0＜B＜π，所以B＝. (2)sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sincos＋cos·sin＝， 由正弦定理＝，得＝，所以a＝c. 所以△ABC的面积S＝acsin B＝c2×＝3＋， 得c＝2. 考点1　正弦定理、余弦定理 1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径). 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. 2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. (1)(2025·江西宜春二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a2＋c2＝2b2，sin＝－，则sin C＝(　　 ) A. B.－ C. D. 解析：选A.由题意知，b2－a2＝c2， 由余弦定理得cos A＝＝＝＝， 由正弦定理得cos A＝， 即4cos Asin B＝3sin C＝3sin(A＋B)＝3sin Acos B＋3sin Bcos A，则cos Asin B＝3sin Acos B. 又sin(A－B)＝sin Acos B－sin Bcos A＝－， 所以－2sin Acos B＝－，得sin Acos B＝，所以cos Asin B＝， 所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝＋＝. (2)(2025·河北石家庄一模)如图，在△ABC中，已知∠CBA＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝(　　 ) A.4 B.5 C.2 D. 解析：选D.在△ACD中，由余弦定理得cos C＝＝＝， 又因为C∈(0，π)，所以sin C＝＝， 在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得AB＝. [规律方法]　(1)三角形边角转化的主要策略 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系. ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系. (2)解决与平面几何有关的问题时，要把平面几何中的一些知识(相似三角形的边角关系、平行四边形的性质等)与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题. 对点练1.(1)(2025·辽宁辽阳一模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝5，b＝7，c＝4，则△ABC的面积为(　　 ) A.4 B.2 C.4 D.8 解析：选A.在△ABC中，因为a＝5，b＝7，c＝4， 由余弦定理可得cos B＝＝＝－， 所以，sin B＝＝＝， 因此，△ABC的面积为S△ABC＝acsin B＝×5×4×＝4. (2)(2025·湖南郴州三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝4，BC边上的高AD＝，则b＋c＝(　　 ) A.2 B.4 C.8 D.4 解析：选A.已知BC边上的高AD＝，a＝4，根据三角形面积公式S△ABC＝a·AD＝bcsin A. 将A＝，a＝4，AD＝代入可得×4×＝bcsin，2＝bc×，bc＝8. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得42＝b2＋c2－2bccos，即16＝b2＋c2－bc， 可得16＝(b＋c)2－2bc－bc，即16＝(b＋c)2－3bc， 把bc＝8代入上式可得16＝(b＋c)2－3×8，即(b＋c)2＝16＋24＝40. 因为b、c为三角形的边，可得b＋c＝＝2. 考点2　正弦定理、余弦定理的综合应用 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝. (1)求角C的大小； (2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围. 解：(1)在锐角三角形ABC中，因为＝， 所以由正弦定理得＝， 故a2＝a，即a＝b2－c2，即ab－a2＝b2－c2，即ab＝a2＋b2－c2， 所以＝1，即＝， 由余弦定理得cos C＝，因为C∈，所以C＝. (2)因为c＝2，由正弦定理＝＝＝＝， 所以a＝sin A，b＝sin B，设△ABC的周长为l， 则l＝2＋a＋b＝2＋sin A＋sin B＝2＋sin A＋sin＝2＋sin A＋cos A＋sin A)＝2＋sin A＋2cos A＋sin A＝2＋2sin A＋2cos A＝2＋4sin， 因为在锐角三角形ABC中，所以A∈，B∈， 所以－A∈，解得A∈， 所以A∈，所以A＋∈， 故sin∈(，1］，则4sin＋2∈(2＋2，6]，即l∈， 故△ABC周长的取值范围为. [规律方法]　解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略 (1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值或范围. (2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围. 对点练2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝2acsin B. (1)求A； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值. 解：(1)因为b2＋c2－a2＝2acsin B， 由余弦定理可得cos A＝＝＝， 由正弦定理可得＝，所以sin A＝＝cos A， 又因为A∈，所以A＝. (2)因为a＝2且A＝，由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bccos A，即b2＋c2－4＝bc， 又因为b2＋c2－4＝bc≥2bc－4，当且仅当b＝c时，等号成立， 即2bc－4≤bc，解得bc≤4＋2， 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝bc≤1＋， 即△ABC面积的最大值为1＋. 考点3　解三角形的实际应用 解三角形应用题的常考类型 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. (2025·河南南阳一模)如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s. (1)设A到P的距离为x km，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01 km). 解：(1)依题意，得PA－PB＝1.5×8＝12， PC－PB＝1.5×20＝30，所以PB＝， PC＝.在△PAB中，AB＝20 km， 由余弦定理得cos∠PAB＝＝＝. 同理在△PAC中，cos∠PAC＝. 由于cos∠PAB＝cos∠PAC，所以＝，解得x＝. (2)作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中， PD＝PA·cos∠APD＝PA·cos∠PAB＝x·≈17.71. 所以目标P到海防警戒线A的距离为17.71 km. [反思感悟]　解三角形实际问题的步骤 对点练3.(1)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，CD＝30 m，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB＝60°，则塔高AB约为(　　)(≈1.414) A.42.42 m B.45.42 m C.50.42 m D.60.42 m 解析：选A.由题意，在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理可知＝⇒＝⇒BC＝10. 在△ABC中，易知AB⊥BC，∠ACB＝60°， 于是AB＝BC×tan 60°＝10×＝30≈42.42. (2)(2025·安徽黄山二模)如图1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示.已知∠ABM＝30°，∠BAN＝45°，∠MAN＝60°，∠MBN＝90°，AB＝2，则MN＝(　　 ) A.5 B.5 C.5 D.10 解析：选C.由题设∠BAM＝105°，∠ABM＝30°，则∠AMB＝45°，而AB＝2， 所以＝，则AM＝＝＝， 由∠ABN＝120°，∠BAN＝45°，则∠ANB＝15°，而AB＝2， 又sin 15°＝＝＝， 所以＝，则AN＝＝＝3＋， 由MN＝＝ ＝＝5(＋1). 学科网（北京）股份有限公司 $