1 专题2 第1讲 三角函数（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

第1讲　三角函数　　　　　　　▶ 对应学生用书P27 【考情分析】　1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.　2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下. 1.(2025·全国Ⅱ卷)已知0＜α＜π，cos＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. 解析：选D.cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0＜α＜π，所以sin α＝，所以sin(α－)＝(sin α－cos α)＝×＝. 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan(x－)的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析：选B.令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan(x－)的图象的对称中心为(＋，0)，k∈Z，由题意知a＝＋，k∈N，其最小值为. 3.(多选)(2024·全国Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin(2x－)，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析：选BC.对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误. 4.(2023·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若｜AB｜＝，则f(π)＝　　　. 解析：设A，B，由｜AB｜＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，故ω＝4， 因为f()＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，即φ＝－＋kπ，k∈Z， 所以f(x)＝sin＝sin(4x－＋kπ)， 所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin(4x－)， 又因为f(0)＜0，所以f(x)＝sin， 故f(π)＝sin＝－. 答案：－ 5.(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin(α＋β)＝sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－β)，写出满足条件的一组α＝　　　，β＝　　　. 解析：因为sin＝sin，cos(α＋β)≠cos， 所以α＋β，α－β的终边关于y轴对称，且不与y轴重合， 故α＋β＋α－β＝π＋2kπ，k∈Z且α＋β≠＋lπ，l∈Z，即α＝＋kπ，k∈Z， 故取α＝，β＝可满足题设要求. 答案：　(答案不唯一) 考点1　三角函数的运算 1.同角三角函数关系：sin2α＋cos2α＝1， ＝tan α(α≠＋kπ，k∈Z). 2.诱导公式：在±α，k∈Z的诱导公式中，记住口诀：“奇变偶不变，符号看象限”. 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝. 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. (1)＝(　　 ) A. B. C. D. 解析：选A.＝＝＝1＋＝. (2)(2025·福建南平三模)若1＋sin 2θ＝cos，θ∈，则cos 2θ＝(　　 ) A.0或－1 B.－1或1 C.1 D.0 解析：选D.因为1＋sin 2θ＝cos，θ∈， 所以＝(cos θcos＋sin θsin)＝cos θ＋sin θ， 所以＝0⇒sin θ＋cos θ＝0或sin θ＋cos θ－1＝0， 因为θ∈，sin θ＞0，cos θ＜0， 所以sin θ＋cos θ＝1(舍去)， 所以sin θ＝－cos θ，即θ＝， 所以cos 2θ＝cos＝0. [规律方法]　(1)求三角函数值注意观察条件与所求之间关系：如函数名的差异，角之间的关系，注意根据角的范围确定三角函数值的范围. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 对点练1.(1)(2025·山东泰安一模)已知tan(α－)＝3，则cos 2α＝(　　 ) A.－ B.－ C.－ D. 解析：选B.依题意，tan＝＝3，解得tan α＝－2，cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－. (2)若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α为锐角，β为钝角，则α＋β＝　　　. 解析：因为α为锐角，cos 2α＝＞0，所以0＜α＜， 又因为β为钝角，所以－π＜－β＜－， 所以－π＜α－β＜－，＜α＋β＜， 所以sin＝－＝－，sin 2α＝＝， 所以cos＝cos＝cos 2αcos(a－β)＋sin 2αsin＝×＋×＝－， 因为＜α＋β＜，所以α＋β＝. 答案： 考点2　三角函数的图象与解析式 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的步骤 (1)(多选)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需把正弦曲线上所有的点(　　 ) A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 解析：选AC.正弦曲线y＝sin x先向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin(2x－)的图象，故A正确，B错误； 先将正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象，再向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝sin(2x－)的图象，故C正确，D错误. (2)(2025·北京海淀一模)已知函数y＝(sin ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示.若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω＝(　　 ) A.1 B. C.π D. 解析：选D.连接BC交x轴于E， 由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A，D和B，C均关于点E对称， 故E为圆心，故＝， ＝T＝·＝，＝＝， 故＝，解得ω＝. [规律方法]　由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝. (2)T定ω：由周期公式T＝，可得ω＝. (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势. 对点练2.(2025·山西太原一模)将函数f(x)＝sin的图象先向左平移个单位，再向上平移1个单位后，所得的图象经过点，则θ＝(　　 ) A.－ B. C.－ D. 解析：选C.函数f(x)＝sin(2x＋θ)向左平移个单位，再向上平移1个单位后，得到的新函数为g＝sin［2(x＋)＋θ］＋1＝sin＋1. 当x＝时，g＝sin＋1＝2， 化简得sin＝1， 即sin＝1， 则＋θ＝＋2kπ，其中k∈Z，解得θ＝－＋2kπ，k∈Z， 又因为－＜θ＜，所以k＝0，所以θ＝－. 考点3　三角函数的性质 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 (1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间. (2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴. (3)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数. (1)(2025·安徽蚌埠二模)已知函数f(x)＝2sin在区间上单调递减，直线x＝－和x＝为函数f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　 ) A.1 B.－1 C. D.－ 解析：选C.因为函数f(x)＝2sin在区间上单调递减，直线x＝－和x＝为函数f(x)的图象的两条对称轴， 所以－＝，所以T＝π，即＝＝2，所以ω＝2或－2. 又f＝－2，所以2sin＝－2或2sin(－2×＋φ)＝－2， 所以2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z或－2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z或φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝2sin或f(x)＝2sin， 所以f＝2sin＝或f＝2sin(－5π－)＝. (2)(多选)(2025·山东潍坊二模)已知函数f(x)＝2sin，函数y＝g的图象由y＝f(x)的图象向左平移个单位得到，则(　　 ) A.f(x)与g在上有相同的单调性 B.g的图象关于直线x＝＋对称 C.设h＝，则h的一个对称中心为 D.当x∈时，f与g的图象有6个交点 解析：选ACD.易知y＝f(x)的图象向左平移个单位可以得到g＝2sin＝2sin(2x＋＋)＝2cos， 对于A，当x∈时，∈， 由正弦函数和余弦函数图象性质可知，f(x)与g在上均是单调递减的，即它们有相同的单调性，可得A正确； 对于B，由g＝2cos可知，令2x＋＝kπ，解得x＝－＋， 因此可得g的图象关于直线x＝－＋对称，即B错误； 对于C，易知h＝＝＝tan， 令2x＋＝，解得x＝－＋， 即则h的对称中心为， 当k＝1时，可知h的一个对称中心为，即C正确； 对于D，当x∈时，g＝2cos 3x，又f＝2sin＝－； 画出函数g的图象如图所示， 结合图象可知，f与g的图象有6个交点，即D正确. [反思感悟]　研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项. 对点练3.(1)(多选)(2025·河南安阳三模)已知函数f(x)＝sin，则(　　 ) A.f(x)的值域是 B.f＝－ C.f(x)在区间上单调递增 D.f是奇函数 解析：选ABD.对于A，因为y＝sin x的值域为，所以f(x)的值域为，故A正确； 对于B，f＝sin＝×＝－，故B正确； 对于C，当x∈时，x＋∈，因为y＝sin t在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f(x)在区间上不单调，故C错误； 对于D，f＝－sin x，为奇函数，故D正确. (2)(多选)(2025·辽宁辽阳一模)已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的最大值与最小值的差为2，其图象与y轴的交点坐标为，且图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，则(　　 ) A.A＝2 B.ω＝ C.φ＝ D.f(x)的单调递增区间为，k∈Z 解析：选ACD.f(x)＝Acos2＋1＝A×＋1(A＞0，ω＞0，0＜φ＜)， 因为f(x)的最大值与最小值的差为2，∴A×＋1－＝2，解得A＝2，A选项正确； 因为函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即＝4，解得ω＝，B选项不正确； 又f(x)的图象与y轴的交点坐标为，可得2×＋1＝2⇒cos 2φ＝0，2φ＝，解得φ＝，C选项正确； 所以函数的解析式为f(x)＝cos(x＋)＋2＝－sinx＋2，＋2kπ≤x≤＋2kπ，1＋4k≤x≤3＋4k，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z，D选项正确. 学科网（北京）股份有限公司 $