14 专题1 教考衔接2 切线放缩（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

教考衔接2　切线放缩　　　　　　▶ 对应学生用书P26 [教材溯源] (人教A版选择性必修二P104T18)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)，当m≤2时，求证：f(x)＞0. 证明：第一步：放缩 当m≤2时，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)， 故只要证明ex－ln(x＋2)＞0即可. 第二步：构造 只要证ex≥x＋1，x＋1≥ln(x＋2)(两等号不同时成立). 令g(x)＝ex－x－1，则g'(x)＝ex－1， 当x＜0时，g'(x)＜0，当x＞0时，g'(x)＞0，则g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.所以g(x)≥g(0)＝0，即ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立. 第三步：同构(替换) 在ex≥x＋1 中，以ln(x＋2)代替x， 则有eln(x＋2)≥ln(x＋2)＋1，即x＋2≥ln(x＋2)＋1，即x＋1≥ln(x＋2)，当且仅当ln(x＋2)＝0，即x＝－1时，等号成立. 第四步：传递 综上，ex≥x＋1，x＋1≥ln(x＋2)(两等号不同时成立)，所以ex＞ln(x＋2)≥ln(x＋m)，即f(x)＞0. [真题示例] (2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝xeax－ex. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x＞0时，f(x)＜－1，求a的取值范围； (3)设n∈N*，证明：＋＋…＋＞ln(n＋1). 解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x－1)ex，则f'(x)＝xex， 当x＜0时，f'(x)＜0，当x＞0时，f'(x)＞0， 故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增. (2)设h(x)＝xeax－ex＋1，则h(0)＝0， 又h'(x)＝(1＋ax)eax－ex， 设g(x)＝(1＋ax)eax－ex， 则g'(x)＝eax－ex， 若a＞，则g'(0)＝2a－1＞0， 因为g'为连续不间断函数， 故存在x0∈，使得∀x∈，总有g'＞0， 故g在为增函数，故g＞g＝0， 故h在为增函数，故h＞h＝0，与题设矛盾. 若0＜a≤，则h'＝eax－ex＝－ex， 下证：对任意x＞0，总有ln＜x成立， 证明：设S＝ln－x， 故S'＝－1＝＜0， 故S在上单调递减， 故S＜S＝0，即ln＜x成立. 由上述不等式得－ex＜eax＋ax－ex＝e2ax－ex≤0， 故h'≤0总成立，即h在上单调递减， 所以h＜h＝0，满足题意. 若a≤0，则h'＝eax－ex＋axeax＜1－1＋0＝0， 所以h在上单调递减， 所以h＜h＝0，满足题意. 综上，a≤. (3)取a＝，则∀x＞0，总有x－ex＋1＜0成立， 令t＝，则t＞1，t2＝ex，x＝2ln t， 故2tln t＜t2－1，即2ln t＜t－对任意的t＞1恒成立， 所以对任意的n∈N*，有2ln＜－， 整理得ln(n＋1)－ln n＜， 故＋＋…＋＞ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋…＋ln(n＋1)－ln n＝ln(n＋1)， 故不等式成立. [方法点评]　(1)思维导图 (2)图形表示 [预测训练] 已知函数f(x)＝ln，g(x)＝ax2＋x. (1)当x＞－1时，f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围； (2)已知n∈N*，证明：sin＋sin＋…＋sin＜ln 2. 解：(1)令h＝ln－x， 则h'＝－1＝－， 当－1＜x＜0时，h'＞0，则函数h在上单调递增， 当x＞0时，h'＜0，则函数h在上单调递减， 所以＝h＝0，即ln≤x， 所以当a≥0时，ln≤x≤ax2＋x，即f(x)≤g(x)， 当a＜0时，取x0＝－＞0， 由于ln＞ln 1＝0， 而a＋x0＝a·－＝0，得ln＞a＋x0， 故f＞g，不合乎题意. 综上所述，a≥0. (2)证明：当a＝0时，由(1)可得ln(x＋1)≤x，则ln x≤x－1， 可得ln≤－1，即－ln x≤－1，即ln x≥1－， 令＝1－，所以x＝， 所以ln≥，即ln t－ln≥(t＞1)， 所以≤ln－ln，k∈{0，1，2，…，n}， 令g(x)＝x－sin x，则g'＝1－cos x≥0，且g'不恒为零， 所以函数g(x)在上单调递增， 故g(x)＞g＝0，则sin x＜x， 所以sin＜≤ln－ln，k∈{0，1，2，…，n}， 所以sin＋sin＋…＋sin＜[ln(n＋1)－ln n]＋[ln－ln(n＋1)]＋…＋＝ln－ln n＝ln＝ln 2. 学科网（北京）股份有限公司 $