13 专题1 教考衔接1 三次函数（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

教考衔接1　三次函数　　　　　　▶ 对应学生用书P25 [教材溯源] (人教B版选择性必修三P114第4题)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，求实数a的取值范围. 解：①当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1，令f(x)＝0，解得x＝±，所以此时不符合题意； ②当a＞0时，f'(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)， 令f'(x)＞0，解得x＞或x＜0， 则f(x)在(－∞，0)上单调递增， 因为f(0)＝1，当x→－∞时，f(x)→－∞，则存在一零点在(－∞，0)上，所以此时不符合题意； ③当a＜0时，令f'(x)＞0，解得＜x＜0，令f'(x)＜0，解得x＜或x＞0， 所以函数 f(x)在(－∞，)上单调递减，在(，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 若f(x)在R上存在唯一的零点x0，且x0＞0，则f()＝－＋1＞0，整理得a2＞4，解得a＜－2或a＞2，又a＜0，所以a＜－2. 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－2). [真题示例] 1.(多选)(2024·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　) A.当a＞1时，f(x)有三个零点 B.当a＜0时，x＝0是f(x)的极大值点 C.存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴 D.存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心 解析：选AD.由题可知，f'(x)＝6x(x－a).对于A，当a＞1时，由f'(x)＜0得0＜x＜a，由f'(x)＞0得x＜0或x＞a，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→－∞，f(0)＝1，f(a)＝－a3＋1＜0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故f(x)有三个零点，A正确； 对于B，当a＜0时，由f'(x)＜0得a＜x＜0，由f'(x)＞0得x＞0或x＜a，则f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故x＝0是f(x)的极小值点，B错误； 对于C，若x＝b是曲线y＝f(x)的对称轴，则f(x＋b)＝f(b－x)，即2(x＋b)3－3a(x＋b)2＋1＝2(b－x)3－3a(b－x)2＋1，即x3＋3b2x＝3abx，不存在a，b使等式恒成立，故不存在a，b，使得直线x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴，C错误； 对于D，若(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，则f(1＋x)＋f(1－x)＝2f(1)，即2(1＋x)3－3a(1＋x)2＋1＋2(1－x)3－3a(1－x)2＋1＝6－6a，整理得(12－6a)x2－6a＋6＝6－6a，解得a＝2，所以存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，D正确. 2.(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为　　　　. 解析：令x3－3x＝－(x－1)2＋a， 即a＝x3＋x2－5x＋1， 令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x＞0)， 则g'(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)， 令g'(x)＝0(x＞0)得x＝1， 当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增， 又g(0)＝1，g(1)＝－2， 作出y＝g(x)的大致图象如图， 因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点， 所以等价于直线y＝a与函数y＝g(x)的图象有两个交点，所以a∈(－2，1). 答案：(－2，1) [方法点评]　1.三次函数的零点： 设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 其导函数为二次函数：f'(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)， 判别式为：Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，设f'(x)＝0的两根为x1、x2，结合函数草图易得： a＞0 a＜0 图象 Δ＞0 Δ≤0 Δ＞0 Δ≤0 (1)若b2－3ac≤0，则f(x)＝0恰有一个实根； (2)若b2－3ac＞0，且f(x1)·f(x2)＞0，则f(x)＝0恰有一个实根； (3)若b2－3ac＞0，且f(x1)·f(x2)＝0，则f(x)＝0有两个不相等的实根； (4)若b2－3ac＞0，且f(x1)·f(x2)＜0，则f(x)＝0有三个不相等的实根. 2.三次函数的对称中心 (1)二阶导数的零点即为对称中心横坐标，即f″(x0)＝0，则为函数f(x)的对称中心； (2)设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则对称中心是(－，f(－))； (3)三次函数f(x)的对称中心为(t，k)，则f(t－x)＋f＝2k. [预测训练] 1.(多选)已知函数f(x)＝x3－3x＋2，则(　　 ) A.f(x)有两个极值点 B.点是曲线y＝f(x)的对称中心 C.f(x)有三个零点 D.直线y＝0是曲线y＝f(x)的一条切线 解析：选ABD.由题意，f'(x)＝3x2－3，令f'(x)＞0得x＞1或x＜－1，令f'(x)＜0得－1＜x＜1，所以f(x)在，上单调递增，上单调递减，所以x＝±1是极值点，故A正确； 令h＝x3－3x，该函数的定义域为R，h＝(－x)3－＝－x3＋3x＝－h，则h是奇函数，是h的对称中心，将h的图象向上移动两个单位得到f(x)的图象，所以点是曲线y＝f(x)的对称中心，故B正确； 因为f＝4＞0，f＝0，f＝0，所以函数f(x)在上有一个零点，当x＞1时，f(x)＞f＝0，即函数f(x)在上无零点，综上所述，函数f(x)有两个零点，故C错误； 令f'(x)＝3x2－3＝0，可得x＝±1，又f＝0，f＝4，当切点为时，切线方程为y＝0，当切点为时，切线方程为y＝4，故D正确. 2.(多选)已知函数f(x)＝x3－3x＋4，x∈[0，2]，则下列选项中正确的是(　　 ) A.f(x)的值域为 B.f(x)在x＝1处取得极小值为2 C.f(x)在上是增函数 D.若方程f(x)＝a有2个不同的根，则a∈[2，4] 解析：选AB.因为函数f(x)＝x3－3x＋4，x∈[0，2]，则f'(x)＝3x2－3， 令f'(x)＝0，即3x2－3＝3＝0，解得x＝1或x＝－1(舍)， 当x∈时，f'(x)＜0，则函数f(x)单调递减， 当x∈时，f'(x)＞0，则函数f(x)单调递增，故C错误； 则x＝1时，函数有极小值即最小值，即f＝1－3＋4＝2，故B正确； 且f＝4，f＝8－6＋4＝6，则函数值域为，故A正确； 由函数f(x)的单调性以及值域可得函数的大致图象，如图所示， 结合图象可知，若方程f(x)＝a有2个不同的根，则a∈，故D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $