12 专题1 融合创新1 函数与导数的新定义问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

融合创新1　函数与导数的新定义问题　▶ 对应学生用书P23 【考情分析】　新定义题型内容新颖，分值较高，作为高考试题的压轴题，成为近几年高考命题趋势之一，解决这类问题，对学生的心理素质和思维敏捷性要求较高. 融合1　函数中的新定义问题 (2025·广东揭阳二模)在平面直角坐标系中，两点P，Q的“曼哈顿距离”定义为＝＋.例如点P，Q的“曼哈顿距离”为＝＋＝6.已知点M在直线y＝ex＋1上，点N在函数y＝ln x的图象上，则的最小值为　　　　　，的最小值为　　　　　. 解析：设函数y＝ln x上与直线y＝ex＋1平行的切线的切点坐标为， 则＝e，解得x0＝，所以切点为， 即切线方程为y＋1＝e，即ex－y－2＝0， 则的最小值为直线y＝ex＋1与直线ex－y－2＝0间的距离， 即＝＝； 设M，N，则＝＋， 将看成关于x1的函数，则在x1＝x2或ex1＋1＝ln x2时，取得最小值， 当x1＝x2时，令g(x)＝ex＋1－ln x， 则g'＝e－，令g'＝0，解得x＝， 当x∈时，g'＜0，函数g(x)单调递减， 当x∈时，g'＞0，函数g(x)单调递增， 所以x＝时，g＝e×＋1－ln＝3，即＝3； 当ex1＋1＝ln x2时，则x2＝， 令h＝eex+1－x， 则h'＝e·eex+1－1，令h'＝0，解得x＝－， 当x∈时，h'＜0，则函数h单调递减， 当x∈时，h'＞0，则函数h单调递增， 当x＝－时，＝h＝e－2＋1＋＝. 综上所述，＝. 答案：　 [规律方法]　新定义题型的破题模型如下所示： 对点练1.(2025·山东日照二模)定义在区间D上的函数y＝f(x)，若存在正数K，对任意的x1，x2∈D，不等式｜f(x1)－f(x2)｜≤K｜x1－x2｜恒成立，则称函数y＝f(x)在区间D上满足K－条件.若函数f(x)＝(x＋1)ln x－2x＋2在区间上满足K－条件，则K的最小值为　　　　. 解析：因为f'(x)＝ln x＋(x＋1)·－2＝ln x＋－1， 令g(x)＝ln x＋－1，g'＝－＝， 当x∈时，g'≤0，所以g(x)在上单调递减， 又因为g＝0，所以g(x)≥0在上恒成立， 所以f'(x)≥0，则f(x)在上单调递增， 设≤x1＜x2≤1，所以f＜f， 若函数f(x)＝(x＋1)ln x－2x＋2在区间上满足K－条件， 因此｜f(x1)－f(x2)｜≤K｜x1－x2｜对任意x1，x2∈恒成立， 所以f(x2)－f(x1)≤K对任意x1，x2∈恒成立， 则f(x2)－Kx2≤f(x1)－Kx1对任意x1，x2∈恒成立， 令h＝f(x)－Kx，所以h在上单调递减， h'＝f'(x)－K≤0在恒成立，所以K≥ln x＋－1＝g(x)， 又因为g(x)在上单调递减，g＝g＝ln＋e－1＝e－2. 所以K≥e－2，所以K的最小值为e－2. 答案：e－2 融合2　高等数学背景下的新定义问题 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数f(x)在x＝0处的阶帕德近似定义为：R(x)＝，且满足：f(0)＝R(0)，f'(0)＝R'(0)，f(2)(0)＝R(2)(0)，…，f(m+n)(0)＝R(m＋n)(0).其中f(2)(x)＝'，f(3)(x)＝'，…，f(m+n)(x)＝'.已知f(x)＝ln(x＋1)在x＝0处的阶帕德近似为R(x)＝. (1)求实数a，b的值； (2)设h＝f(x)－R，证明：xh(x)≥0； (3)已知x1，x2，x3是方程ln x＝λ(x－)的三个不等实根，求实数λ的取值范围，并证明：＞－1. 解：(1)依题意可知，f(0)＝0，R(0)＝a， 因为f(0)＝R(0)，所以a＝0， 此时，R(x)＝， 因为f'(x)＝，R'(x)＝， 所以f'(0)＝1，R'(0)＝b， 因为f'(0)＝R'(0)，所以b＝1. (2)依题意，h(x)＝f(x)－R(x)＝ln(1＋x)－， h'(x)＝－＝≥0， 故h(x)在(－1，＋∞)单调递增， 由h(0)＝0，故∀x∈(－1，0)，h(x)＜0，∀x∈(0，＋∞)，h(x)＞0， 综上，∀x＞－1，xh(x)≥0. (3)不妨设x1＜x2＜x3， 令t(x)＝ln x－λ， t'(x)＝－λ＝(x＞0)， 当λ≤0时，t'(x)＞0，此时t(x)单调递增，t(x)＝0不存在三个不等实根； 当λ＞0时，令s(x)＝－λx2＋x－λ，其判别式Δ＝1－4λ2， 若Δ＝1－4λ2≤0，即λ≥，s(x)≤0恒成立， 即t'(x)≤0， 此时t(x)单调递减，t(x)＝0不存在三个不等实根； 若Δ＝1－4λ2＞0，即0＜λ＜，t'(x)＝0存在两个不等正实根r1，r2， 此时有当x∈时，t'(x)＜0，t(x)单调递减， 当x∈时，t'(x)＞0，t(x)单调递增， 当x∈时，t'(x)＜0，t(x)单调递减， 又因为t(1)＝0，且t'(1)＝1－2λ＞0，故t＜0，t＞0， 因为ln x＜x－1(x≠1)，所以ln＜－1， 即ln x＞2－， 所以t＝ln λ4－λ＞2－－λ5＋＝＋＞0， 所以存在x1∈，满足t＝0， 又因为t＝ln－λ＝－ln x＋λ＝－t(x)， 故存在x3＝，满足t＝0， 故当且仅当0＜λ＜时，ln x＝λ存在三个不等实根，且满足x1＜x2＝1＜x3，且x1＝， 由(2)可知，当x＞0时，ln(1＋x)＞， 因此，ln x＞(x＞1)， 故ln x3＝λ＞， 化简可得＜＝x3＋4＋＝x1＋x2＋x3＋3， 因此＞－1，命题得证. [规律方法]　以高等数学为背景的新定义问题，一般先给出高等数学中的概念、定理、公式、性质等，要充分理解这些新定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题，要恰当地把已有知识和新定义问题融合，且避免已有知识对新的信息的干扰. 对点练2.(2025·湖北武汉一模)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，若f'(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间D上的凹函数；若f'(x)在区间D上单调递减，则称f(x)为区间D上的凸函数.已知函数f(x)＝＋λln. (1)若f(x)在上为凹函数，求实数λ的取值范围； (2)已知F(x)＝f，且F(x)在(1，＋∞)上存在零点，求实数λ的取值范围. 解：(1)f'(x)＝＋＝m， 则m'＝－， 依题意知，m'≥0对任意的x∈恒成立， 则≥λ恒成立， 令n＝＝，x∈， 则n'＝＝(－x2＋4x－1)＞0， 故n在上单调递增，故n＝0≥λ， 则实数λ的取值范围为. (2)依题意得，F(x)＝f＝＋λln x， 若λ≥0，当x＞1时，＞0，ln x＞0， 所以F(x)＞0，f(x)在上无零点，舍去； 若λ＜0，则F'＝， 令g(x)＝λex－1－x2＋2x， 则g'＝λex－1－2＜0，则g(x)在上单调递减，且g＝λ＋1， ①若λ＋1＞0，即－1＜λ＜0，此时g＝λe＜0， 则存在m∈，使得g＝0，即F'＝0， 故F(x)在上单调递增，在上单调递减，所以F＞F＝0， 当x＞m时，F(x)＝＋λln x＜＋λln x＝1－＋λln x＜1＋λln x， 令1＋λln x＜0，解得x＞， 因为＞e＞m，且F＜0， 所以存在唯一的x1∈，使得F＝0，满足条件； ②若λ＋1≤0，即λ≤－1，此时g(x)＜0，F(x)在上单调递减， 又F＝0，所以F(x)＜0，不合题意，舍去， 综上所述，实数λ的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $