10 专题1 拓展培优1 同构函数问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

拓展培优1　同构函数问题　▶ 对应学生用书P19 【考情分析】　同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大. 1.(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A.a＞2b B.a＜2b C.a＞b2 D.a＜b2 解析：选B.由题设知2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log4b2.又log4b2＝log2b＝log2(2b)－1，所以2a＋log2a＝22b＋log2(2b)－1， 从而2a＋log2a＜22b＋log2(2b).令函数f(x)＝2x＋log2x，x∈(0，＋∞)，则有f(a)＜f(2b)，显然f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以a＜2b. 2.(2020·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a，若f(x)≥1，求a的取值范围. 解：解法一：f(x)＝aex－1－ln x＋ln a＝eln a＋x－1－ln x＋ln a≥1等价于eln a＋x－1＋ln a＋x－1≥ln x＋x＝eln x＋ln x， 令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(ln a＋x－1)≥g， 显然g(x)为单调增函数，∴又等价于ln a＋x－1≥ln x，即ln a≥ln x－x＋1， 令h＝ln x－x＋1，则h'＝－1＝， 在上h'(x)＞0，h(x)单调递增；在(1，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)单调递减， ∴＝h＝0， ln a≥0，即a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞). 解法二：∵f(x)＝aex－1－ln x＋ln a， ∴f'(x)＝aex－1－，且a＞0. 设g(x)＝f'(x)，则g'(x)＝aex－1＋＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f'(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当a＝1时，f'(1)＝0，∴f(x)min＝f＝1，∴f(x)≥1成立. 当a＞1时，＜1，∴＜1，∴f'()f'(1)＝a(－1)·(a－1)＜0， ∴存在唯一x0＞0，使得f'(x0)＝a－＝0，且当x∈(0，x0)时f'(x)＜0，当x∈(x0，＋∞)时f'(x)＞0，∴a＝，∴ln a＋x0－1＝－ln x0， 因此f(x)min＝f(x0)＝a－ln x0＋ln a＝＋ln a＋x0－1＋ln a≥2ln a－1＋2＝2ln a＋1＞1， ∴f(x)＞1，∴f(x)≥1恒成立； 当0＜a＜1时，f(1)＝a＋ln a＜a＜1， ∴f(1)＜1，f(x)≥1不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞). 拓展1　地位同等同构型 含有二元变量x1，x2的函数，常见的同构类型有以下几种： (1)g(x1)－g(x2)＞λ[f(x2)－f(x1)]⇔g(x1)＋λf(x1)＞g(x2)＋λf(x2)，构造函数φ(x)＝g(x)＋λf(x)； (2)＞k(x1＜x2)⇔f(x1)－f(x2)＜kx1－kx2⇔f(x1)－kx1＜f(x2)－kx2，构造函数φ(x)＝f(x)－kx； (3)＜(x1＜x2)⇔f(x1)－f(x2)＞＝－⇔f(x1)＋＞f(x2)＋，构造函数φ(x)＝f(x)＋. 已知f(x)＝aln x＋x2，若对于任意两个不等的正实数x1、x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 解析：选B.不妨设x1＞x2＞0，可得f－f＞2x1－2x2，可得f－2x1＞f－2x2， 令g(x)＝f(x)－2x＝aln x＋x2－2x，则g＞g， 所以函数g(x)在上为增函数， 则g'＝＋x－2≥0对任意的x＞0恒成立，所以a≥2x－x2， 当x＞0时，2x－x2＝－＋1≤1，当且仅当x＝1时，等号成立， 所以a≥1. [规律方法]　含有地位同等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题. 对点练1.已知x，y为不相等的正实数，ln x＋ln y＝－x，则(　　 ) A.x＞y B.x＜y C.x＋y＞1 D.x＋y＜1 解析：选C.由ln x＋ln y＝－x得ln x＋x＝－ln y＋＝ln＋， 构造函数f(x)＝ln x＋x，则f'(x)＝＋1＞0，可知f(x)＝ln x＋x在上单调递增， 结合ln x＋x＝ln＋，得x＝，即xy＝1， 由基本不等式可知：x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，所以x＋y＞1. 拓展2　指对跨阶同构型 1.对于一个指数、直线、对数三阶的问题可以通过跨阶函数的同构，转化为两阶问题解决，通常在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中应用跨阶同构来快速解题.跨阶同构需要构造一个母函数，即外层函数，这个母函数需要满足：①指对跨阶，②单调性和最值易求. 2.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需要对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：x＝eln x，xex＝eln x+x，x2ex＝e2ln x+x，＝e-ln x+x，ln x＋ln a＝ln(ax)，ln x－1＝ln，有时也需要对等式两边同时加、乘某式等. 角度1　指对同构与不等式恒成立问题 若不等式x＋2xln x＋2a＞2x＋e对任意正实数x恒成立，则a的取值范围为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选D.由x＞0，不等式x＋2xln x＋2a＞2x＋e，即＋2ln x＋＞2＋， 即＋＞2－2ln x＋，即＋＞＋2ln＝＋2ln， 设f(x)＝ex＋2x，则上式为f＞f， 由f'(x)＝ex＋2＞0，则f(x)在R上单调递增，可得＞ln， 由x＞0，得a＞xln(x＞0)， 令＝t(t＞0)，则a＞e×(t＞0)， 因此x＋2xln x＋2a＞2x＋e对任意正实数x恒成立，即a＞e×(t＞0)对任意正实数t恒成立， 令g＝(t＞0)，则g'＝， 当t＞e时，g'＜0，g在(e，＋∞)上单调递减， 当0＜t＜e时，g'＞0，g在(0，e)上单调递增， 所以t＝e时，g取得最大值g＝，则a＞eg(t)max＝eg＝1. 角度2　指对同构与不等式证明问题 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，证明：ln x＋x＋1≤xex. 证明：方法一(同构)：ln x＋x＋1＝ln x＋ln ex＋1＝ln(xex)＋1， 要证ln x＋x＋1≤xex，即证ln(xex)＋1≤xex， 令t＝xex，t＞0，即证ln t＋1≤t， 令φ(t)＝ln t＋1－t，t＞0， ∴φ'(t)＝－1＝，当t∈(0，1)时，φ'(t)＞0，当t∈(1，＋∞)时，φ'(t)＜0， ∴φ(t)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(t)≤φ(1)＝0，∴ln t＋1－t≤0，即ln t＋1≤t，即原不等式成立. 方法二(隐零点)：设g(x)＝xex－ln x－x－1，x＞0，则g'(x)＝(x＋1)ex－－1， 令h(x)＝(x＋1)ex－－1，x＞0， 则h'(x)＝(x＋2)ex＋＞0， 即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h＝－3＜0，h(e)＝(e＋1)ee－－1＞0， 故∃x0∈，使得h(x0)＝0，即x0＝1， 当x∈(0，x0)时，h(x)＜0即g'(x)＜0，g(x)在(0，x0)上单调递减， 当x∈(x0，＋∞)时，h(x)＞0即g'(x)＞0，g(x)在(x0，＋∞)上单调递增， 故g(x)min＝g(x0)＝x0－ln－x0－1＝0， 即g(x)≥0，即xex≥ln x＋x＋1，则ln x＋x＋1≤xex. [规律方法]　指对跨阶同构的基本模式 (1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：aea≤bln b⇔aea≤(ln b)，构造函数f(x)＝xex； ②同右构造形式：aea≤bln b⇔ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x； ③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(ln b)，构造函数f(x)＝x＋ln x. (2)商型：＜，一般也有三种同构方式： ①同左构造形式：＜⇔＜，构造函数f(x)＝； ②同右构造形式：＜⇔＜，构造函数f(x)＝； ③取对构造形式：a－ln a＜ln b－ln(ln b)，构造函数f(x)＝x－ln x. (3)和差型：ea±a＞b±ln b，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：ea±a＞b±ln b⇔ea±a＞eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x； ②同右构造形式：ea±a＞b±ln b⇔ea±ln ea＞b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x. 对点练2.已知当x＞0时，不等式≤恒成立，则实数k的最小值为(　　 ) A. B.1 C.2 D.e 解析：选A.根据题意，因为≤，所以ln x≤kx＝(ekx＋1)ln ekx， 设函数h＝ln x，可得h≤h，h'＝1＋＋ln x＝g(x)，g'＝， 所以x∈时，g'＜0；x∈时，g'＞0， 所以函数h'在上单调递减，在上单调递增， 所以h'≥h'＝2，所以h在上单调递增， 所以x≤ekx，可得ln x≤kx，则k≥， 设函数M＝，则M'＝， 所以x∈时，M'＞0；x∈(e，＋∞)时，M'＜0， 函数M在上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 所以函数M在x＝e处取得最大值M＝，所以k≥. 拓展3　零点同构型 已知x0是函数f(x)＝x2ex－2＋ln x－2的零点，则＋ln x0＝　　　　. 解：＋ln x0－2＝0，可得＝2－ln x0，即＝2－ln x0， ＝2e2－e2ln x0，x0＝－ln x0， 即x0＝·ln， 两边同取自然对数，ln x0＋x0＝ln(ln)＋ln， 所以ln()＝x0，即2－ln x0＝x0，即ln x0＝2－x0，所以＝x0， 所以＋ln x0＝x0＋ln x0＝2. 答案：2 [反思感悟]　在涉及函数的零点问题时，可根据函数式的结构或转化为方程后构造函数，其实质是把函数式简化，以达到研究函数零点的目的. 对点练3.已知函数f(x)＝xex－a(x＋ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　. 解析：f(x)＝xex－a(x＋ln x)＝ex+ln x－a(x＋ln x)， 令t＝x＋ln x，t∈R，显然该函数单调递增. 由et－at＝0有两个根，即a＝，即y＝，y＝a的图象有两个交点， 可画出函数图象得到a的范围是(e，＋∞). 答案：(e，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $