8 专题1 微点突破1 函数的公切线问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

微点突破1　函数的公切线问题　▶ 对应学生用书P15 【考情分析】　函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养. (2024·全国Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝　　　　. 解析：由题，令f(x)＝ex＋x，则f'(x)＝ex＋1，所以f'＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g' ＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln＋a，所以a＝ln 2. 答案：ln 2 重点1　求两函数的公切线 与曲线y＝和曲线y＝－ln x－2均相切的直线的方程为　　　　　. 解析：设y＝在点A和y＝－ln x－2在点B的切线重合， y'＝－，y'＝－，故－＝－，即＝x1，x0＝ln x1， 在点A处的切线方程为y－＝－， 将B代入，得－ln x1－2－＝－(x1－x0)， 即－ln x1－2－＝－， 所以－ln x1＝x1＋1， 又x1＞0，故x1＝，则x0＝ln＝－1， 故切线方程为y－e＝－e，即y＝－ex. 答案：y＝－ex [规律方法]　求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f'(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 对点练1.已知f(x)＝ex－1(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋1，请写出f(x)与g(x)的一条公切线的方程　　　　　. 解析：设公切线与f(x)相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点， 因为f'(x)＝ex，g'＝，则公切线斜率k＝em＝， 所以公切线方程为y－em＋1＝em或y－ln n－1＝， 整理得y＝emx－em－1或y＝x＋ln n， 所以 即 所以em＋1－m＝＝0，解得m＝1或m＝0， 所以公切线方程为ex－y－1＝0或x－y＝0. 答案：ex－y－1＝0或x－y＝0(写出其中一条即可) 重点2　与公切线有关的求值问题 已知曲线y＝ln x与曲线y＝a(x－)有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则a＝(　　 ) A.2 B. C.1 D. 解析：选D.当a＝0时，曲线y＝a＝0与曲线y＝ln x有唯一交点(1，0)， 当a≠0时，因为y＝x和y＝－在上单调递增， 故函数y＝a在上单调， 因为曲线y＝ln x在上单调递增，且两曲线有相同切线， 所以函数y＝a在上单调递增，故a＞0， ∵ln 1＝0，a＝0，∴y＝ln x与y＝a的交点为(1，0)， ∵(ln x)'＝，∴y＝ln x在(1，0)处的切线斜率k＝1， ∵'＝a＋，∴a＋＝1，解得a＝. 记f(x)＝ln x－，则f'(x)＝－＝－≤0， 所以f(x)在上单调递减，故ln x－＝0有唯一解， 即曲线y＝ln x与曲线y＝a有唯一交点，满足题意. [规律方法]　利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程. 对点练2.已知直线y＝kx＋b是曲线y＝ex的切线，也是曲线y＝－e－x的切线，则k＋b＝(　　 ) A. B.1 C.e D.1＋e 解析：选C.设直线y＝kx＋b与曲线y＝ex的切点为，与曲线y＝－e－x的切点为， 对函数y＝ex求导得y'＝'＝ex，对函数y＝－e－x求导得y'＝'＝e－x， 则曲线y＝ex在x＝x1处的切线方程为y－＝·，即y＝x＋－x1， 曲线y＝－e－x在x＝x2处的切线方程为y＋＝， 即y＝x－x2－， 所以 解得 故k＝＝e，b＝e＝0，所以k＋b＝e. 重点3　判断公切线的条数 曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是(　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：选C.设公切线与y＝x2的切点为(x1，)， 与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)， y＝x2的导数为y'＝2x，y＝ln x的导数为y'＝， 则在切点(x1，)处的切线方程为y－＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－， 则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)， 即y＝x＋ln x2－1， 所以整理得到－ln x1＝1＋ln 2， 令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)，则f'(x)＝2x－＝， f'(x)＞0⇒x＞，f'(x)＜0⇒0＜x＜， 所以f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增， 则f(x)min＝f()＝＋ln 2＜1＋ln 2， 即函数f(x)与y＝1＋ln 2的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的图象与直线y＝1＋ln 2有两个交点，则方程－ln x1＝1＋ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是2. [反思感悟]　运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况. 对点练3.已知函数f(x)＝－，g(x)＝xln x，则函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的公切线有(　　 ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：选B.设在函数y＝f(x)与函数y＝g(x)处的切点分别为(x1，－)，(x2，x2ln x2)， 则f'(x)＝，因此k1＝(x1≠0)，可得切线方程为y＋＝(x－x1)，即y＝x－； 由g'(x)＝ln x＋1，则k2＝ln x2＋1(x2＞0)， 因此切线方程为y－x2ln x2＝(ln x2＋1)(x－x2)， 即y＝(ln x2＋1)x－x2. 令因此可得－4ln x2－4＝0(x2＞0)， 设h(x)＝x2－4ln x－4(x＞0)，则h'(x)＝2x－＝， 令h'(x)＞0，解得x＞，即h(x)在(，＋∞)上单调递增， 令h'(x)＜0，解得0＜x＜，即h(x)在(0，)上单调递减， 当x→0，h(x)→＋∞， 又h()＝2－4ln －4＝－2－2ln 2＜0，h(4)＞0， 因此函数h(x)在(0，＋∞)上有两个零点，即公切线有2条. 重点4　求参数的取值范围 若两曲线y＝ln x与y＝ax2＋1存在公切线，则正实数a的取值范围为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选C.设公切线与曲线y＝ln x与y＝ax2＋1的交点分别为，，其中x1＞0， 对于y＝ln x，得y'＝，则与y＝ln x相切的切线方程为y－ln x1＝，即y＝·x＋ln x1－1， 对于y＝ax2＋1，得y'＝2ax，则与y＝ax2＋1相切的切线方程为y－＝2ax2，即y＝2ax2x－a＋1， 由公切线，得＝2ax2，ln x1－1＝－a＋1， 有－＝ln x1－2，＝2－ln x1(x1＞0)， 令g(x)＝2x2－x2ln x(x＞0)，则g'＝3x－2xln x＝x， 令g'＝0，得x＝， 当x∈时，g'＞0，g(x)单调递增， 当x∈时，g'＜0，g(x)单调递减. 所以g(x)max＝g＝e3，故≤e3，即a≥e－3. [反思感悟]　利用导数的几何意义，构造参数，建立关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两个函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解. 对点练4.若至少存在一条直线与曲线f(x)＝2x2＋3和g(x)＝3－tln x均相切，则t的取值范围是(　　 ) A.　　　　　 B. C.∪ D.∪ 解析：选D.f'(x)＝4x，g'＝－，设公切线与曲线y＝f(x)相切于点，与曲线y＝g(x)相切于点， 则切线方程分别为y＝4x1x－2＋3，y＝－x＋t＋3－tln x2， 所以 由①得＝，代入②得t＝8ln x2－8. 令h＝8x2ln x－8x2(x＞0)，则h'＝8x， 所以当0＜x＜时，h'＜0，当x＞时，h'＞0， 所以h在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以h(x)min＝h＝－4e，又当x→＋∞时，h→＋∞，所以h的值域为， 所以t的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $