7 专题1 第7讲 零点问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

第7讲　零点问题　　　　　　▶ 对应学生用书P13 【考情分析】　在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，考查形式多样，难度中等偏上，若以压轴题出现，则难度较大. (2025·天津卷节选)已知函数f(x)＝ax－(ln x)2，f(x)有3个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求a的取值范围. 解：第1步：转化问题 因为x＞0，所以原问题可转化为：方程a＝有3个不相等的实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3. 令g(x)＝，则问题转化为：直线y＝a与函数g(x)的图象有3个不同的交点. 第2步：求导，并研究g(x)的单调性 g'(x)＝＝， 令g'(x)＝0，得(2－ln x)ln x＝0. 则ln x＝0或ln x＝2，解得x＝1或x＝e2. 当0＜x＜1时，ln x＜0，2－ln x＞0，所以g'(x)＜0，g(x)在(0，1)上单调递减； 当1＜x＜e2时，ln x＞0，2－ln x＞0，所以g'(x)＞0，g(x)在(1，e2)上单调递增； 当x＞e2时，ln x＞0，2－ln x＜0，所以g'(x)＜0，g(x)在(e2，＋∞)上单调递减. 第3步：求g(x)的极值与极限 由g(x)的单调性可知，g(x)的极小值为g(1)＝0，g(x)的极大值为g(e2)＝. 当x→0＋时，ln x→－∞，(ln x)2→＋∞，→＋∞，所以g(x)→＋∞. 当x→＋∞时，g(x)→0. 第4步：确定a的取值范围 因为直线y＝a与函数g(x)的图象有3个不同的交点， 结合g(x)的图象可知，0＜x1＜1＜x2＜e2＜x3且0＜a＜. 故a的取值范围为(0，). 考点1　利用导数判断函数零点的个数 (2025·山东聊城二模)已知函数f(x)＝ln(x＋2)－ax2，a≤0. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点，证明：f(x)有且只有一个零点. 解：(1)函数的定义域为(－2，＋∞)，f'(x)＝－ax＝. 当a＝0时，f'(x)＞0恒成立，即f(x)在定义域内单调递增. 当a＜0时，令g(x)＝－ax2－2ax＋1(x＞－2)， 则g(x)的对称轴为x＝－1，g(0)＝g(－2)＝1. 若Δ＝4a2＋4a≤0，即a∈[－1，0)时，g(x)≥0，f'(x)≥0，f(x)在定义域内单调递增. 若Δ＝4a2＋4a＞0，即a∈(－∞，－1)时，g(x)有两个零点：x1＝，x2＝，且x2＞x1＞－2. 当x∈和时，g(x)＞0，f'(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈时，g(x)＜0，f'(x)＜0，f(x)单调递减. 综上所述，当a∈(－∞，－1)时，f(x)在(－2，)和(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减； 当a∈[－1，0]时，f(x)在(－2，＋∞)上单调递增. (2)由f(x)有两个极值点，则由(1)可得a＜－1且f(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值. 当a＜－1时，x2＝＝－1＋∈(－1，0)， 所以f(x)的极小值为f＝ln－a＞0， 又f(x)在单调递增， 所以f(x)在上没有零点. x1＝＝－1－∈(－2，－1)， 由a＜－1得，－2＜e4a－2＜0， 又f＝ln－a＝·a[8－(e4a－2)2]＜0，f＞f＞0，且f(x)在上单调递增， 所以存在唯一的实数m∈，使得f(m)＝0， 故f(x)有且只有一个零点. [规律方法]　三步求解函数零点(方程根)的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解. 对点练1.(2025·安徽淮北二模节选)已知函数f(x)＝x2－2x＋aln x，求证：当a≥0时，f(x)有且仅有一个零点. 解：f(x)的定义域为，f'(x)＝x－2＋＝， 当a＝0时，f(x)＝－2x，f(x)有且仅有一个零点4； 当a≥1时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增， 由f＜0，f＝aln 4＞0，知f(x)存在唯一零点x0∈； 当0＜a＜1时，令f'(x)＝0得x1＝1－，x2＝1＋，0＜x1＜1＜x2， 当x∈时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增； 当x∈时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当x∈时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增； 当x∈时，－2x＜0，aln x≤0， 所以f(x)＜0，函数f(x)无零点； 因为当x∈时，f(x)单调递减，当x∈时，f(x)单调递增， 且f＜f＜0，f＝aln 4＞0， 所以f(x)存在唯一零点x0∈. 综上所述，当a≥0时，f(x)有且仅有一个零点. 考点2　由零点个数求参数范围 (2025·安徽马鞍山二模)已知函数f(x)＝2ae2x＋2ex－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 解：(1)f(x)的定义域为，f'(x)＝4ae2x＋2ex－1＝·， 若a≤0，则f'(x)＜0，则f(x)在上单调递减； 若a＞0，则由f'(x)＝0得x＝－ln 2a. 当x∈时，f'(x)＜0；当x∈(－ln 2a，＋∞)时，f'(x)＞0， 所以f(x)在上单调递减，在(－ln 2a，＋∞)上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在上单调递减； 当a＞0时，f(x)在上单调递减，在(－ln 2a，＋∞)上单调递增. (2)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点. 若a＞0，由(1)知，当x＝－ln 2a时，f(x)取得最小值，最小值为f＝1－＋ln 2a. ①当a＝时，由于f＝0，故f(x)只有一个零点； ②当a∈时，因为y＝1－单调递增，y＝ln 2a单调递增，所以y＝1－＋ln 2a单调递增， 所以1－＋ln 2a＞1－＋ln＝0， f＞0，故f(x)没有零点； ③当a∈时，由于1－＋ln 2a＜0， 即f(－ln 2a)＜0， 又f＝2ae－4＋2e－2＋2＝＋2－＞2－＞0， 故f(x)在有一个零点. 设正整数n0满足n0＞ln， 则f＝－n0＞－n0＞0， 故f(x)在有一个零点. 综上，a的取值范围为. [规律方法]　已知零点求参数的取值范围 (1)结合图象与单调性，分析函数的极值点； (2)依据零点确定极值的范围； (3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论. 对点练2.(2025·山东烟台一模改编)已知函数f(x)＝x(x－3)2，若函数g(x)＝f(x)＋a有三个不同的零点，求实数a的取值范围. 解：因为函数f(x)＝x(x－3)2， 求导可得f'(x)＝3， 令f'(x)＝0，解得x＝1或3，可得下表： x 1 3 f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的极大值为f＝4，极小值为f＝0， 函数g(x)＝f(x)＋a存在三个零点，等价于函数f(x)图象与直线y＝－a存在三个交点，如图， 由图可得0＜－a＜4，则－4＜a＜0. 考点3　隐零点问题 (2025·浙江杭州三模节选)已知函数f(x)＝aex－2x，当＜a＜时，证明：f(x)＞－3. 证明：f'(x)＝axex－2， 设g(x)＝axex－2，则g'＝aex， 因为＜a＜，ex＞0， 所以当x＜0时，axex－2＜0，f'(x)＜0. f'＝ae－2＜×e－2＝0，f'＝2ae2－2＞2××e2－2＝0， 所以存在唯一的x0∈，使得f'＝0，即＝， 且当x∈时，f'＜0，f(x)单调递减； 当x∈时，f'＞0，f(x)单调递增； 所以当＜a＜时，函数f(x)在x＝x0处取得极小值，即为最小值， 所以f(x)≥f＝a－2x0＝2－2， 因为x0∈，所以x0＋∈， 故－3＜2－2＜－2， 则f(x)＞－3，得证. [反思感悟]　已知函数f(x)，导函数方程f'(x)＝0的根存在，却无法求出，利用零点存在定理判断零点存在，设方程f'(x)＝0的根为x0，则①有关系式f'(x0)＝0成立，②注意确定x0的范围. 对点练3.已知函数f(x)＝xex. (1)求函数f(x)的极值； (2)若f(x)－ln x＋ax≥1恒成立，求实数a的取值范围. 解：(1)函数f(x)＝xex的定义域为R，求导得f'(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)， 令f'(x)＞0，解得x＞－1，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增， 令f'(x)＜0，解得x＜－1，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减， 所以函数f(x)在x＝－1处取得极小值f(－1)＝－，无极大值. (2)不等式f(x)－ln x＋ax≥1恒成立，即xex－ln x＋ax－1≥0，x∈(0，＋∞)恒成立， 不等式等价于a≥－ex＋，x∈(0，＋∞)恒成立， 令g(x)＝－ex＋，x＞0， g'(x)＝－ex＋＝－ex＋＝－， 令h(x)＝x2ex＋ln x，x＞0， 求导得h'(x)＝(2x＋x2)ex＋＞0， 函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又h()＝－1＜0，h(1)＝e＞0，则存在唯一x0∈(，1)，使得h＝＋ln x0＝0， 则x0＝·ln，即x0＝ln·， 于是f(x0)＝f(ln)， 由(1)知，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则x0＝ln＝－ln x0. 当x∈时，h(x)＜0，g'(x)＞0，则函数g(x)在(0，x0)上单调递增； 当x∈时，h(x)＞0，g'(x)＜0，则函数g(x)在(x0，＋∞)上单调递减， 因此g(x)max＝g(x0)＝－＋＝－＋＝－1，则a≥－1， 所以实数a的取值范围为[－1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $