6 专题1 第6讲 恒成立与能成立问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

第6讲　恒成立与能成立问题　▶ 对应学生用书P12 【考情分析】　恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，可以出现在选择、填空或解答题中，也经常以压轴解答题形式出现，难度较大. (2024·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 解：f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x，x∈[0，＋∞)，则f'(x)＝－aln(1＋x)－， 设g(x)＝－aln(1＋x)－， 则g'(x)＝－－. 因为当x≥0时，f(x)≥0，且f(0)＝0，f'(0)＝0， 所以g'(0)＝－2a－1≥0，得a≤－， 故a≤－是原不等式成立的一个必要条件. 下面证明其充分性： 当a≤－，x≥0时，g'(x)≥－＝≥0， 所以f'(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f'(x)≥f'(0)＝0， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(x)≥f(0)＝0. 综上，a的取值范围是(－∞，－］. 考点1　利用导数研究不等式恒成立问题 (2025·江西新余一模)已知函数f(x)＝ex＋e－x＋a｜x｜＋bcos x，其中a，b∈R，当b＝－2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 解：由f(－x)＝e－x＋ex＋a｜－x｜－2cos(－x)＝ex＋e－x＋a｜x｜－2cos x＝f(x)且定义域为R， 所以f(x)为偶函数，即函数图象关于y轴对称，只需研究x≥0时，f(x)≥0恒成立， 由f(0)＝0，要使f(x)≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，必有f'(0)≥0(必要性)， 由f(x)＝ex＋e－x＋ax－2cos x，则f'(x)＝ex－e－x＋a＋2sin x，即f'(0)＝a≥0， 下证(充分性)：a≥0时，恒有f(x)≥0在x∈(0，＋∞)上成立， 在x∈(0，＋∞)上f(x)＝ex＋e－x＋ax－2cos x＞2－2cos x＋ax＝2(1－cos x)＋ax， 又a≥0，且1－cos x≥0，故2＋ax≥0，即f(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立； 当a＜0时，令g(x)＝f'(x)，则g'(x)＝ex＋e－x＋2cos x， 在x∈(0，＋∞)上ex＋e－x＞2≥2cos x≥－2，即g'(x)＞0恒成立， 所以x∈(0，＋∞)上g(x)单调递增， 当x趋向于0时，g(x)趋向于a(a＜0)，当x趋向于＋∞时，g(x)趋向于＋∞， 所以∃x0∈(0，＋∞)，使g(x0)＝f'(x0)＝0， 即x∈(0，x0)，g(x)＝f'(x)＜0，则f(x)在x∈(0，x0)上单调递减， 又f(0)＝0，故存在区间x∈(0，x0)上f(x)＜0，不合题设. 综上，a≥0. [规律方法]　由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 (1)求最值法.将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. (2)分离参数法.将参数分离出来，进而转化为a＞f(x)max或a＜f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围. 对点练1.(2025·山东淄博一模)已知函数f(x)＝－ex－1＋x＋2，若对于任意x∈(e，＋∞)，f(x)＜λx恒成立，求实数λ的取值范围. 解：因为x∈(e，＋∞)， 所以由－ex－1＋x＋2＜λx，即λ＞－＋＋1. 设g(x)＝－＋＋1，x∈(e，＋∞)， 则g'＝－－＝＜0在(e，＋∞)上恒成立， 所以函数g(x)在(e，＋∞)上单调递减， 所以g(x)＜g＝－ee－2＋＋1， 所以λ≥－ee－2＋＋1，即实数λ的取值范围是［－ee－2＋＋1，＋∞). 考点2　利用导数研究不等式能成立问题 (2025·山东菏泽一模)已知函数f(x)＝aex－x. (1)求f(x)的单调区间； (2)当a＞0时，存在x∈，使得≥2，求a的取值范围. 解：(1)f'(x)＝aex－1， 当a≤0时，f'(x)＜0恒成立，此时f(x)在R上单调递减； 当a＞0时，令f'(x)＝0，则x＝－ln a， 当x∈时，f'(x)＜0，此时f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 当x∈时，f'(x)＞0，此时f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增； 综上所述，当a≤0时，f(x)的减区间为，无增区间； 当a＞0时，f(x)的减区间为(－∞，－ln a)，增区间为(－ln a，＋∞). (2)因为存在x∈，使得≥2，只需f≥2或f≤－2， 因为a＞0，所以f(x)＝aex－x＞－x＞－1， 所以只需f≥2， 由(1)知f为f与f中的较大者， 所以f＝ae－1≥2或f＝ae－1＋1≥2，解得a≥或a≥e， 所以a≥， 综上所述，a的取值范围为. [规律方法]　含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法： 若a＞f(x)在x∈D上能成立，则a＞f(x)min； 若a＜f(x)在x∈D上能成立，则a＜f(x)max. 注意：不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别. 对点练2.(2025·河北张家口一模节选)已知f(x)＝ln x－a(x＋1)，a∈R，若∃x0∈(0，2]，使f＞0，求a的取值范围. 解：因为∃x0∈(0，2]，使得f＞0即ln x0－a·(x0＋1)＞0， 所以a＜， 令g(x)＝，x∈(0，2]，则g'＝＝，x∈(0，2]， 所以h'＝－－＜0在(0，2]上恒成立， 所以函数h在(0，2]上单调递减， 所以h≥h＝－ln 2＝ln＞0， 所以g'＞0在(0，2]上恒成立， 所以函数g(x)在(0，2]上单调递增， 所以g＝g＝， 所以a＜. 学科网（北京）股份有限公司 $