3 专题1 第3讲 导数的几何意义及函数的单调性（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

第3讲　导数的几何意义及函数的单调性　▶ 对应学生用书P6 【考情分析】　1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.　2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等，属综合性问题. 1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 解析：选A.f'(x)＝， 所以f'(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝. 2.(2023·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 解析：选C.依题可知，f'(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a＞0，所以xex≥， 设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g'(x)＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)在(1，2)上单调递增， g(x)＞g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1. 3.(2025·全国Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则＝　　. 解析：设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为(x0，＋x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y'＝＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a)，又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4. 答案：4 4.(2022·新高考Ⅱ卷)写出曲线y＝ln｜x｜过坐标原点的切线方程：　　　　，　　　　. 解析：因为y＝ln， 当x＞0时y＝ln x，设切点为，由y'＝， 所以y'＝，所以切线方程为y－ln x0＝， 又切线过坐标原点，所以－ln x0＝，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝，即y＝x； 当x＜0时y＝ln，设切点为，由y'＝，所以y'＝，所以切线方程为y－ln＝(x－x1)， 又切线过坐标原点，所以－ln＝，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝，即y＝－x. 答案：y＝x　y＝－x 考点1　导数的几何意义及计算 1.导数的几何意义 (1)函数在x＝x0处的导数即曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率. (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同. (3)切点既在切线上，又在曲线上. 2.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x. (1)(2025·山东聊城一模)曲线y＝xln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　 ) A.4 B.3 C.1 D. 解析：选D.对函数y＝xln x求导得y'＝ln x＋1，故所求切线斜率为k＝ln 1＋1＝1，切点坐标为，所以曲线y＝xln x在x＝1处的切线方程为y＝x－1， 该切线交x轴于点，交y轴于点， 因此，曲线y＝xln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×12＝. (2)若过点(1，m)可以作y＝(x＋1)ex的三条切线，则实数m的取值范围是(　　 ) A.(－4e－2，0) B.(－6e－3，0) C.(－6e－3，2e) D.(e，2e) 解析：选B.依题意，设切点坐标为(t，(t＋1)et)，由y＝(x＋1)ex，求导得y'＝(x＋2)ex， 则函数y＝(x＋1)ex的图象在点(t，(t＋1)et)处的切线方程为y－(t＋1)et＝(t＋2)et(x－t)， 由切线过点(1，m)，得m＝(t＋1)et＋(t＋2)et(1－t)＝(－t2＋3)et， 令g(t)＝(－t2＋3)et，依题意，直线y＝m与函数y＝g(t)的图象有3个公共点， g'(t)＝(－t2－2t＋3)et＝－(t＋3)(t－1)et，当t＜－3或t＞1时，g'(t)＜0，当－3＜t＜1时，g'(t)＞0， 则函数g(t)在(－∞，－3)，(1，＋∞)上单调递减，在(－3，1)上单调递增， 当t＝－3时，函数g(t)取得极小值g(－3)＝－6e－3，当t＝1时，g(1)＝2e， 当x→－∞时，g(x)→0，当x→＋∞时，g(x)→－∞，因此当－6e－3＜m＜0时，直线y＝m与函数y＝g(t)的图象有3个公共点，所以实数m的取值范围是(－6e－3，0). [规律方法]　求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. 对点练1.(1)(2025·天津和平二模)曲线f(x)＝与曲线g(x)＝ex在点处的切线互相垂直，则实数a＝(　　 ) A.2 B.0 C.－ D.－ 解析：选D.f'(x)＝ ， 则f'＝＝3， 由g(x)＝ex可得g'＝(ax＋a＋1)ex， 故g'＝a＋1， 由于两切线互相垂直，因此g'f'＝－1，所以a＝－. (2)(2025·湖南郴州三模)已知函数f(x)＝x2＋2aln x，若函数f(x)在区间(1，2)的图象上存在两条斜率之积为－4的切线，则实数a的取值范围为(　　 ) A.(－2，1) B.(－2，－1) C.(－2，0) D.(－3，－2) 解析：选D.由f(x)＝x2＋2aln x⇒f'(x)＝2x＋， 不妨设这两条切线的切点为，，且f'·f'＝－4， 若a≥0，则f'(x)＞0恒成立，不符合题意，可排除A项. 所以a＜0，此时y＝f'(x)在上单调递增， 依题意需使 解得a∈. 考点2　利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求函数y＝f(x)的定义域. (2)求f(x)的导数f'(x). (3)求出f'(x)的零点，划分单调区间. (4)判断f'(x)在各个单调区间内的符号. (2025·湖南岳阳二模节选)已知函数f(x)＝x2－x＋2aln x，讨论函数f(x)的单调性. 解：易知x∈，f'(x)＝x－＋＝＝， 当a≤0时，由f'(x)＜0，得0＜x＜2；由f'(x)＞0，得x＞2， 此时，f(x)在上单调递减，在上单调递增； 当0＜a＜2时，由f'(x)＜0，得a＜x＜2； 由f'(x)＞0，得0＜x＜a或x＞2， 此时，f(x)在上单调递减，在和上单调递增； 当a＝2时，f'(x)＝≥0对任意的x＞0恒成立， 此时，f(x)在上单调递增； 当a＞2时，由f'(x)＜0，得2＜x＜a； 由f'(x)＞0，得0＜x＜2或x＞a， 此时，f(x)在上单调递减，在和上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增； 当0＜a＜2时，f(x)在上单调递减，在和上单调递增； 当a＝2时，f(x)在上单调递增； 当a＞2时，f(x)在上单调递减，在和上单调递增. 变式　已知函数f(x)＝x3＋3ax＋16，讨论函数f(x)的单调性. 解：当a≥0时，则f'(x)＝3x2＋3a≥0，函数f(x)在R上单调递增； 当a＜0时，令f'(x)＝3x2＋3a＝0， 解得x＝±， 当x∈时，f'(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－)上单调递增， 当x∈时，f'(x)＜0，函数f(x)在(－，)上单调递减， 当x∈时，f'(x)＞0，函数f(x)在(，＋∞)上单调递增， 综上，当a≥0，函数f(x)在R上单调递增； 当a＜0时，函数f(x)在上单调递增，在(－，)上单调递减，在上单调递增. [规律方法]　(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制； (2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论； (3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论. 对点练2.(2025·江西萍乡一模节选)已知函数f(x)＝e2x－ex＋2ax＋1，其中a∈R，讨论f(x)的单调性. 解：f'(x)＝e2x－ex＋2a＝(ex－2)， 当a≤0时，ex－a≥0，令f'(x)＞0，得x＞ln 2；令f'(x)＜0，得x＜ln 2， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减. 当a＝2时，f'(x)＝≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增. 当a＞2时，令f'(x)＞0，得x＞ln a或x＜ln 2；令f'(x)＜0，得ln 2＜x＜ln a， 所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 当0＜a＜2时，令f'(x)＞0，得x＞ln 2或x＜ln a；令f'(x)＜0，得ln a＜x＜ln 2， 所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当a≤0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减； 当0＜a＜2时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减； 当a＝2时，f(x)在上单调递增； 当a＞2时，f(x)在，(ln a，＋∞)上单调递增，在上单调递减. 考点3　函数单调性的应用 (1)(2025·湖南邵阳二模)已知函数f(x)＝3x3－sin x＋x，则满足f(x)＋f(4－3x)＜0的x的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 解析：选C.f(x)＝3x3－sin x＋x，定义域为R， f＝－3x3＋sin x－x＝－f(x)为奇函数， 又f'(x)＝9x2－cos x＋1≥0，所以f(x)在R上单调递增， 所以f(x)＋f＜0，即f(x)＜－f(4－3x)＝f⇒x＜3x－4⇒x＞2，即x的取值范围是. (2)(2025·湖北鄂州一模)已知函数f(x)＝ex－e－x，若∀x1≥0，x2≤0，x1＋x2＞0，均有＞λ，则λ的最大值为(　　 ) A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：选D.因为函数f(x)＝ex－e－x的定义域为R，则f＝e－x－ex＝－f(x)， 若∀x1≥0，x2≤0，x1＋x2＞0，均有＞λ， 则f＋f＞λx1＋λx2， 可得f－λx1＞－f＋λx2＝f－λ， 令g(x)＝f(x)－λx＝ex－e－x－λx，则g＞g， 由题意可知x1≥0，－x2≥0，x1＞－x2， 所以函数g(x)＝ex－e－x－λx在区间上为增函数， 所以g'＝ex＋e－x－λ≥0，则λ≤ex＋e－x， 由基本不等式可得ex＋e－x≥2＝2， 当且仅当ex＝e－x时，即当x＝0时，等号成立，故λ≤2， 所以λ的最大值为2. [反思感悟]　1.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立. (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f'(x)＞0(或f'(x)＜0)在该区间上存在解集. 2.利用函数的单调性比较大小或解不等式，一般要根据题目条件构造函数，然后利用函数的单调性求解. 对点练3.(1)(2025·安徽马鞍山一模)已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，若a＝f，b＝f，c＝f，则(　　 ) A.b＞a＞c B.a＞b＞c C.a＞c＞b D.c＞a＞b 解析：选D.函数定义域为R，且f＝·(－x)2＋(－x)sin(－x)＋cos(－x)＝x2＋xsin x＋cos x＝f(x)， 故函数f(x)为偶函数， 又在(0，)上f'(x)＝x(＋cos x)＞0，即f(x)在(0，)上单调递增， 因为a＝f＝f(－log2e)＝f(log2e)，且0＜sin 1＜1＜log2e＜log2＝＜， 所以f(sin 1)＜f(log2e)＜f()，即b＜a＜c. (2)(2025·山东菏泽一模)已知函数f(x)＝ax2－ln x在区间单调，则a的取值范围是(　　 ) A.∪ B.∪ C. D. 解析：选B.由已知得f'(x)＝2ax－，当a＞0时， 令f'(x)＝0，得x＝， 令f'(x)＞0，解得x＞；令f'(x)＜0，解得0＜x＜ ； 故f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增， 所以若f(x)在区间上单调，则需满足≥2或≤1，即0＜a≤或a≥， 所以a的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $