2 专题1 第2讲 基本初等函数、函数与方程（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

第2讲　基本初等函数、函数与方程　▶ 对应学生用书P4 【考情分析】　1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.　2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.　3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型. 1.(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A.(0，0.3) B.(0.3，0.5) C.(0.5，1) D.(1，2) 解析：选B.易知f(x)单调递减，又f(0)＝1＞0，f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f＝0.30.5－＝－＜0，所以f(x)的零点所在区间是. 2.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a 解析：选B.由函数y＝4.2x单调递增可知，0＜a＜1＜b，又c＝log4.20.2＜0，故b＞a＞c. 3.(2025·北京卷)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T＝klog2N(单位：h)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20 h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(　　 ) A.2 h B.4 h C.20 h D.40 h 解析：选B.设三次训练的时间分别为T1h，T2h，T3h， 由题意得 两式相减得T2－T1＝10k＝20，即k＝2， 则T3－T2＝2log24.096×109－2(log2106＋10)＝2(log2106＋12)－2(log2106＋10)＝4. 4.(2025·全国Ⅰ卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A.x＞y＞z B.x＞z＞y C.y＞x＞z D.y＞z＞x 解析：选B.法一：令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，y＝，z＝，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x. 法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f(t)，y＝3t－3＝g(t)，z＝5t－5＝h(t)，在同一平面直角坐标系中画出函数f(t)，g(t)，h(t)的图象.由图可知x，y，z的关系不可能为x＞z＞y. 考点1　基本初等函数的运算、图象和性质 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同. (1)(2025·吉林长春三模)若函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)在区间上单调递减，则实数a的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 解析：选A.f(x)＝loga是由t＝ax－，y＝logat复合而成， 由题意知：a＞0，t＝ax－在区间上单调递增， 若函数f(x)＝loga(其中a＞0且a≠1)在区间上单调递减， 所以y＝logat单调递减，可得0＜a＜1，又t＝ax－＞0对于恒成立， 所以tmin＝t(1)＝a－＞0，解得a＞. 综上所述，＜a＜1. (2)(2025·广东广州一模)已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是(　　 ) A.b＜a＜0 B.2b＜a＜0 C.0＜a＜b D.0＜2b＜a 解析：选B.设函数f(x)＝3x，g(x)＝4x，h(x)＝2x，作出函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象如右图，设3a＝4b＝t， 对于A，当0＜t＜1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标为a，b，由函数图象可知，a＜b＜0，A错误； 对于C，当t＞1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标为a，b， 由函数图象可知，0＜b＜a，C错误； 因为3a＝4b，所以3a＝22b，设3a＝22b＝t，作出函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象如图， 对于B，当0＜t＜1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标为a，2b，由函数图象可知，2b＜a＜0，B正确； 对于D，当t＞1时，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标为a，2b，由函数图象可知，0＜a＜2b，D错误. [规律方法]　(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围. (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. 对点练1.(1)当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是(　　 ) 解析：选C.当0＜a＜1时，＞1，函数y＝a－x＝为底数大于1的指数函数，是增函数，函数y＝logax为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数. (2)(2025·浙江金华二模)已知a＝log32，b＝log54，c＝log98，则(　　 ) A.c＜b＜a B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.a＜b＜c 解析：选D.由题意可知，0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1. 则＝＝×＝×＝＝＜1，所以a＜b. 则＝＝×＝×＝＝＜1，所以b＜c，所以a＜b＜c. 考点2　函数的零点 判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断. (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根. (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性. 角度1　函数零点个数的判断 (2025·河北邯郸一模)函数f(x)＝sin在上的零点个数为(　　 ) A.3 B.4 C.6 D.8 解析：选C.令函数t＝x＋，根据“对勾函数”的性质可知：函数t＝x＋在上单调递减，在上单调递增，且t＝2，t＝t＝10.1，所以当x∈(，10)时，t∈， 由y＝sin t＝0⇒t＝kπ，k∈Z. 只有当k＝1，2，3时，t的值分别对应π，2π，3π∈. 又因为x＋＝π，2π，3π在上各有2个解，所以f(x)在上有6个零点. 角度2　求参数的值或范围 (2025·湖南长沙二模)若函数f(x)＝与直线y＝a恰有三个交点，则a的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 解析：选D.画出f(x)的图象， 由图象可知a的范围是. [规律方法]　利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 对点练2.(1)函数f(x)＝2x＋log2－的零点在区间内，则实数a的取值范围为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选D.函数f(x)＝2x＋log2－在定义域上连续且单调递增， 因为函数零点在区间内，则f＜0，f＞0，解得a∈. (2)已知正数a，b，c分别是函数f(x)＝2x－，g(x)＝x＋2－，h＝x＋2－2x的零点，则(　　 ) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 解析：选B.由函数f(x)在上为增函数，又f＝－1＜0，f＝＞0，则f(x)存在唯一零点x0∈，即1＜a＜2； 令g(x)＝0，则g(x)＝x＋2－＝＝0，解得x＝1或x＝－3，则b＝1； 令h＝0，可得函数h的零点即为y＝x＋2与y＝2x的交点的横坐标，画简图如图： 可得x＝2(负值舍去)，则c＝2. 综上，b＜a＜c. 考点3　函数的模型及应用 (1)(2025·北京平谷一模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数，如果前10 h消除了50％的污染物，那么从消除60％的污染物到消除80％的污染物大约需要经历(　　 ) A.10 h B.4 h C.40 h D.8 h 解析：选A.由题意可知0.5P0＝P0e－10k，即0.5＝e－10k，即k＝， 设消除60％的污染物对应事件为t1，即0.4P0＝P0， 设消除80％的污染物对应事件为t2，即0.2P0＝P0， 两式相除可得2＝，即ln 2＝－k，所以t2－t1＝10， 即从消除60％的污染物到消除80％的污染物大约需要经历10 h. (2)(多选)(2025·云南大理模拟)某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长ω和厚度x满足：n≤log2.根据以上信息，下列说法正确的是(参考数值：lg 2≈0.3)(　　 ) A.当对折6次时，的最小值为28 B.当对折6次时，的最小值为29 C.一张长边长为20 cm，厚度为0.05 cm的矩形纸最多能对折5次 D.一张长边长为20 cm，厚度为0.05 cm的矩形纸最多能对折7次 解析：选BC.令n＝6，由题意可得log2≥6，即log2≥9，解得≥29，所以当对折6次时，的最小值为29，故B正确，A错误； 当ω＝20 cm，x＝0.05 cm时，n≤log2＝log2400＝×＝×≈×≈5.8，所以该矩形纸最多能对折5次，故C正确，D错误. [反思感悟]　构建函数模型解决实际问题的失分点 (1)不能选择相应变量得到函数模型. (2)构建的函数模型有误. (3)忽视函数模型中变量的实际意义. 对点练3.(1)(2025·山东青岛一模)近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q＝Q0，其中Q0是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为(　　 ) (ln 2≈0.693，精确到1年) A.265年 B.266年 C.276年 D.277年 解析：选D.令Q＝Q0＝Q0，可得＝，可得－＝ln＝－ln 2，所以t＝400ln 2≈277，故臭氧消失一半所需要的时间约为277年. (2)(2025·四川成都二模)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度I0为标准，天体的星等m与亮度I满足m＝－lg，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选D.令北极星与牛郎星的亮度分别为I1，I2，依题意得两式相减得－lg＝，解得＝. 学科网（北京）股份有限公司 $