1 专题1 第1讲 函数的图象与性质（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

第1讲　函数的图象与性质　▶ 对应学生用书P1 【考情分析】　1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.　2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题. 1.(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f(－)＝(　　) A.－ B.－ C. D. 解析：选A.当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f(－)＝1－＝－. 2.(2025·天津卷)已知函数y＝f的图象如图所示，则f的解析式可能为(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 解析：选D.由题图可知函数f(x)的定义域为{x｜x≠±1}，且f(x)为偶函数，易得f(x)＝与f＝均为奇函数，排除选项A，B.由题图可知当x＞1时，f(x)＞0，易得当x＞1时，f＝＜0，f＝＞0，排除C. 3.(2024·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞) 解析：选B.因为函数f(x)在R上单调递增，且当x＜0时，f＝－x2－2ax－a，所以f＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，0]. 4.(2022·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　) A.－3 B.－2 C.0 D.1 解析：选A.因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0，可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6. 因为f(2)＝f(1)f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)f(1)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4， 所以f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. 考点1　函数的概念与表示 1.复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域. (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域. 2.分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集. (1)已知函数y＝f的定义域是，则y＝的定义域是(　　 ) A. B. C. D. 解析：选A.因为函数y＝f的定义域是，所以x∈，2x－1∈，所以y＝f(x)的定义域为， 又因为x＋2＞0，即x＞－2，所以－2＜x≤5， 所以函数y＝的定义域为(－2，5]. (2)已知f(x)＝则不等式f(x)＜2的解集是(　　 ) A.(－∞，2) B.(－∞，3) C.[0，3) D.(3，＋∞) 解析：选B.当x＜0时，不等式f(x)＜2可化为－x2－2x＜2，所以x2＋2x＋2＞0，可得x＜0； 当x≥0时，不等式f(x)＜2可化为log2＜2，所以x＋1＜4，且x＋1＞0，所以0≤x＜3. 所以不等式f(x)＜2的解集是(－∞，3). [规律方法]　(1)解决抽象函数定义域问题时，谨记f(g(x))中g(x)的值域与f(x)中x的范围相同. (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解. 对点练1.(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　 ) A.函数v＝与u＝表示同一函数 B.函数v＝x2－2x＋2与u＝t2－2t＋2是同一函数 C.函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 026的图象至多有一个交点 D.函数f(x)＝－x，则f＝0 解析：选BC.对于A：v＝＝因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A错误； 对于B：函数v＝x2－2x＋2与u＝t2－2t＋2定义域相同，解析式一致，故是同一函数，故B正确； 对于C：根据函数的定义可知，函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 026的图象至多有一个交点，故C正确； 对于D：因为f(x)＝－x，所以f＝－＝0，则f＝f＝－0＝1，故D错误. (2)设x∈R，用表示不超过x的最大整数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知函数f(x)＝则y＝[f(x)]的值域为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选A.当x≤0时，f(x)＝2x∈，此时y＝＝0或1； 当0＜x≤时，f(x)＝4x∈，此时y＝＝0或1； 当x＞时，f(x)＝－1∈， 此时y＝＝－1. 所以y＝的值域为. 考点2　函数的图象 1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点. 角度1　函数图象的识别 (2025·江西赣州一模)函数f(x)＝cos πx的部分图象大致为(　　 ) 解析：选A.函数f(x)的定义域为∪(0，＋∞)，函数f＝cos＝－cos πx＝－f(x)，f(x)是奇函数，所以排除B，C；又当x＞0时，函数f(x)在原点附近的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数，如0.1，得f＝cos＜0，所以排除D. 角度2　函数图象的变换及应用 (1)函数y＝f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为(　　 ) A.y＝f B.y＝－f C.y＝f D.y＝－f 解析：选B.函数y＝f(x)的图象如题图1，关于y轴对称可得y＝f(－x)， 再将y＝f(－x)的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得y＝f(－x)， 再将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位长度得y＝f［－(x－2)］＝f(1－x)，即得 再将f(1－x)的图象沿x轴翻折可得－f(1－x)，即得题图2. (2)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m(m≠1)有四个解，分别为x1，x2，x3，x4，其中x1＜x2＜x3＜x4，则＋＋＋的取值范围是　　　　. 解析：作出函数f(x)＝的图象，由f(x)＝m(m≠1)有4个解x1，x2，x3，x4，得0＜m≤4. 当x≤1时，由x2＋2x＋1＝m，得x2＋2x＋1－m＝0，则x1＋x2＝－2，x1x2＝1－m， 于是＋＝＝∈(－∞，－2)∪［，＋∞)， 当x＞1时，由｜ln(x3－1)｜＝｜ln(x4－1)｜，得ln(x3－1)＋ln(x4－1)＝0， 即(x3－1)(x4－1)＝1，整理得＋＝1， 所以＋＋＋的取值范围是(－∞，－1)∪［，＋∞). 答案：∪ 对点练2.(1)(2025·天津河东二模)如图所示，图象对应的函数解析式为(　　 ) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 解析：选D.对于A，因为f(x)＝，x∈∪，所以f(－x)＝＝＝－f(x)，即函数f(x)＝是奇函数，故A错误； 对于B，因为f(x)＝，x∈R，所以f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)＝是偶函数，当x＝时，f()＝＝0，故B错误； 对于C，因为f(x)＝，x∈R，所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)＝是奇函数，故C错误； 对于D，因为f(x)＝，x∈∪，所以f(－x)＝＝＝＝f(x)，所以f(x)＝是偶函数，f＞0，符合题意，故D正确. (2)已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)满足f(x)＝f，f(x)在区间上单调递减，f＋f＝0，则关于x的不等式＜0的解集为(　　 ) A. B.∪ C. D.∪ 解析：选D.由f(x)＝f得f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f＝f，得f＋f＝2f＝0，解得f＝f＝0， 由f(x)在上单调递减，可知f(x)在上单调递增， 画出f(x)的大致图象如图所示， 结合图象及＜0，可得或解得0＜x＜2或x＞4， 故不等式＜0的解集为(0，2)∪(4，＋∞). 考点3　函数的图象与性质 1.函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f(x)是偶函数⇔ f(－x)＝f(x)＝f(｜x｜)； f(x)是奇函数⇔ f(－x)＝－f(x). (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数＝偶函数). 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. 3.函数的周期性 若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2｜a｜. 4.函数图象的对称中心和对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称. (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 角度1　单调性与奇偶性 (2025·山东泰安二模)定义在R上的奇函数f(x)在上单调递增，且f＝0，则不等式≤0的解集为(　　 ) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 解析：选D.由函数f(x)为奇函数，且在上单调递增，则函数f(x)在上单调递增， 且f＝－f＝0，f＝0， 当x∈∪时，f(x)＜0；当x∈(－，0)∪(，＋∞)时，f(x)＞0， 由当x∈时，x－2＜0，当x∈时，x－2＞0， 则不等式≤0的解集为∪. 角度2　奇偶性、周期性与对称性 (多选)(2025·河南驻马店模拟)已知函数f(x)是R上奇函数，g(x)是R上偶函数，且f(x)－g(1－x)＝2，则(　　 ) A.g(x)的图象关于点(1，－2)对称 B.f(x)是周期函数 C.f(2 026)＝－1 D.g＝－38 解析：选ABD.对于A，因为函数f(x)是R上奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 因为函数g(x)是R上偶函数，所以g(x)＝g(－x)， 对于f(x)－g(1－x)＝2，取x为－x得：f(－x)－g(1＋x)＝2，即－f(x)－g(1＋x)＝2， 联立可得g(1－x)＋g(1＋x)＝－4， 所以函数g(x)关于点(1，－2)对称，故A正确； 对于B，对于f(x)－g(1－x)＝2，取x为x＋1， 得f(x＋1)－g(－x)＝2， 因为g(x)＝g(－x)，所以f(x＋1)－g(x)＝2， 由A选项知－f(x)－g(1＋x)＝2，取x为x－1，得－f(x－1)－g(x)＝2， 联立得f(x＋1)＋f(x－1)＝0， 取x为x＋1，得f(x＋2)＋f(x)＝0， 取x为x＋3，得f(x＋4)＋f(x＋2)＝0， 所以f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，故B正确； 对于C，由函数f(x)是R上奇函数可知f(0)＝0，g(1)＝f(0)－2＝－2， 因为g(x)是R上偶函数，所以g(－1)＝g(1)＝－2， 所以f(2)＝2＋g(－1)＝2－2＝0， 又因为f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 026)＝f(2)＝0，故C错误； 对于D，由A选项知g(1－x)＋g(1＋x)＝－4，所以g()＋g()＝－4，g()＋g()＝－4，…，g()＋g()＝－4， 由C选项知g(1)＝－2，所以g＝－4×9＋g＝－36＋g＝－38，故D正确. [反思感悟]　(1)奇偶性与单调性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(｜x｜)； (2)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解； (3)对称性：常围绕图象的对称中心或对称轴设置试题，利用图象对称中心或对称轴的性质简化所求问题. 对点练3.(1)(2025·江苏泰州一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f，且f(x)在上单调递增.设a＝f，b＝f，c＝f，则(　　 ) A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.b＜c＜a 解析：选D.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f，则f(x)的图象的对称轴是x＝2， 所以f(x)＝f＝－f，则f(x＋4)＝－f(x)， 则f＝－f＝f(x)，所以f(x)的周期是8， 所以b＝f＝f，c＝f＝f＝f， 因为f(x)在上单调递增，所以b＝f＜c＝f＜a＝f. (2)(多选)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f＝f(x)，g＝－g(x)，且f(2＋x)＝g(x)＋1，则(　　 ) A.f(x)的图象关于点对称 B.f(x)是周期函数 C.g(x)在R上单调递增 D.f＝2 025 解析：选ABD.在f(2＋x)＝g(x)＋1　①中，用－x代替x，得f＝g＋1， 因g＝－g(x)，则f＝g(－x)＋1＝－g(x)＋1　②， ①②两式相加可得f(2＋x)＋f＝2， 因此f(x)的图象关于点对称，故A正确； 由A选项可知f(x)＋f＝2， 又f(x)为偶函数，则f＝f，所以f(x)＋f＝2，可得f＋f(x)＝2， 则f＝f，所以f(x)＝f， 即f(x)是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，易知g＝0，则f＝g＋1＝1，又f＝f＝f＝1，所以g＝f－1＝0，则g＝g，故C错误； 对于D，因f＋f＝1＋1＝2，则f(4k－2)＝f＋f＋f＋…＋f＝1 012×＋f＝1 012×2＋1＝2 025，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $