重难点3-3 分类讨论（4重难点题型+题型特训）-2026年高考数学二轮复习【重点•难点•热点】精练（新高考通用）

重难点3-3 分类讨论 三年考情分析 考题统计 2025年考向预测 本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分。本节内容是新高考卷的必考内容，一般会在解答题考查，同时小题也会考查用导数判断函数单调性，且近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。 2024年新I卷，第10题,6分 2024年新I卷，第18题,17分 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 2023年新I卷，第19题,12分 2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 2022年新I卷，第7题,5分 近三年来，高考对于函数与导数的考查逐年增多．题目不仅要求考生理解定义的概念和运算规则，还要求考生能够灵活运用导数进行综合分析和推理． 【函数与导数解题策略】： ①分离参数＋函数最值； ②直接化为最值＋分类讨论； ③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。 通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。 重难点题型【一】 基本类型（） 1．（2026·福建泉州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)证明：当时，； (3)证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、裂项相消法求和 【分析】（1）求出，就、分类讨论后可得的极值情况； （2）设，由（1）的分析可得的单调性，从而可得当时，恒成立，故可证题设中的不等式； （3）由（2）中的不等式可得，利用裂项相消法证明. 【详解】（1）， 当时，在上单调递增，函数无极值； 当时，令得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以当时，取得极小值，无极大值. （2）令， 由（1）知，取时，， 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以时，； 又因为，所以时，， 综上当时，，即，当且仅当时等号成立. （3）令，则, 则由（2）中结论可得即， 因此， 所以. 2．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，最大值小于等于即可. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故 . 3．（2026·湖南永州·一模）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）对函数求导后先分析的取值范围，若易得单调递减，若，则令，求得极值点后即可根据导数的正负判断函数的单调性； （2）由题意得，分类讨论与1的位置关系，由此确定，进而可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得， ①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减； ②当时，令，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 若恒成立，则有， ①若，即时，则在上单调递减，则， 由得，此时前后矛盾，故舍； ②若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 则， 由得，解得， 综上所述，的取值范围是. 4．（2026·广西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）对参数范围进行讨论，再利用导数求解单调性即可. （2）利用导数求出单调区间，进而得到最值证明不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，可得，此时在上单调递增， 当时，令，， 令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， （2）由题意得， 令，则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，而， 可得，即得证. 5．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 重难点题型【二】 函数零点的大小情况分类 1．（25-26高三上·山东·月考）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值点 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，，分类讨论研究函数的单调性，进而利用极值点的定义求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴在处的切线方程为，即． （2）由题意，函数的定义域为． ， ①当时，由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值． ②当时，， ∴在上单调递增，无极值． ③当时，由，得或， 由，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． ④当时，由，得或， 由，得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． 综上，当时，的极值点个数为0； 当时，有1个极值点； 当且时，有2个极值点． 2．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，分、、、四种情况讨论； （2）结合第1问的单调性求出最值即可； （3）利用参变分离求最值即可. 【详解】（1）求导得， 当时，，则，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 当时，，则，得或，，得， 则在内单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则，得或，，得， 则在区间内单调递减，在和上单调递增， 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在内单调递减，在和上单调递增； 时，在区间上单调递增； 时，在区间内单调递减，在和上单调递增. （2）由（1）知，当时，在内单调递增， 则，解得与矛盾； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 令则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. （3）由可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，. (1)讨论的单调性； (2)若，讨论的零点个数； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，分，，对函数进行讨论； （2）由（1）可知函数的单调性，然后按，或，进行讨论判断. 【详解】（1）由题可知：函数的定义域为 ，由，令，所以或， 当时，令，；令，或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 当时，在恒成立，所以函数在单调递减； 当时，令，；令，或， 所以函数在单调递增，在单调递减 （2）由（1）可知：当时，函数在单调递增，在单调递减， 当时，；当时，，又， 若，所以，使得，，则函数有3个零点； 若，，，则函数有2个零点； 若，则，则函数有1个零点； 若，则，则函数有2个零点； 若，则，所以，使得则函数有3个零点； 综上所述：当，函数有3个零点； 当或，函数有2个零点； 当，函数有1个零点. 4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，. (1)讨论函数的极值点情况； (2)设，若对任意，，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）根据函数极值点和函数导数之间的关系，分类讨论函数导数的情况，分别判断每种情况下的单调性和极值点取值情况. （2）根据题目构造函数，可知构造函数单调递增，由此得函数导数大于零恒成立，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，则或， 因为，所以，当，即时，， 所以在单调递增，无极值点， 当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以是极大值点，是极小值点， 当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以是极大值点，是极小值点， 综上，当时，无极值点， 当时，是极大值点，是极小值点， 当时，是极大值点，是极小值点， （2）当时，， 不妨设，则恒成立，等价于恒成立， 令，，则在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 由均值不等式（当且仅当时取等号）， 所以，则，故实数的取值范围是. 5．（2025·福建·模拟预测）已知函数. (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1)极小值点为，无极大值点 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数、求已知函数的极值点 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点； （2）分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得. 6．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）先求导，然后对a分类讨论，判断符号的正负，从而可得单调区间； （2）转化为，，进而可得a的取值范围. 【详解】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 重难点题型【三】 二次函数类型（） 1．（2025·山东烟台·三模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，，且，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得解； （2）由韦达定理，，，通过换元构造函数，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，， ①当时，，， 所以函数在上单调递减． ②当时，，， 所以函数在，上单调递减， 在上单调递增． （2）由（1）可知当时，函数存在两个极值点，， 且满足，， 所以 ， 令，所以， ，所以在单调递增， ，所以的最大值为． 2、已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性； (2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当时，的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在，上 单调递增，在上单调递减. (2)由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：, 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：, 与联立得， 化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得, ， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和. 【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根. 3、已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程. （2）讨论的单调性； （3）若，证明：. 【答案】（1）； （2）当a≤时，f(x)在(0,+∞)上单调递减. 当时，f(x)在上单调递增，在上单调递减； 若时，f(x)在与上单调递减，在上单调递增.； （3）证明见解析. 【分析】 （1）求出、，代入切线方程：即可；（2）先求定义域，求导后导函数是含参的二次函数，利用根的判别式与两根的分布情况进行分类讨论；（3）结合条件进行放缩，然后在不等式两边同除以x构造一个新函数进行证明（利用两个函数的凹凸性）. 【详解】 （1）解：当时，， 则，，， 所求切线方程为，即. （2）解：的定义域为，， 对于二次方程，有. 当时，恒成立，在上单调递减. 当时，方程有两根，， 若，，，在上单调递增，在上单调递减； 若，，在与上单调递减，在上单调递增. （3）证明：要证，即证，因为，，所以. 当时，不等式显然成立. 当时，因为，所以只需证， 即证.令，则， 由得；由，得.所以在上为增函数，在上为减函数，所以. ，则，易知在上为减函数，在上为增函数，所以， 所以恒成立，即. 【点睛】 函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 4．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，即可求得函数的单调区间； （2）方法一：根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果. 【详解】（1）的定义域为，. （i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减. （ii）若，令得，或. 当时，； 当时，.所以在单调递减，在单调递增. （2）［方法一］：【通性通法】消元 由（1）知，存在两个极值点当且仅当. 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于 ， 所以等价于. 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，，所以，即. ［方法二］：【通性通法】消元 由（1）知且是方程的两根，不妨设，即．此时． 欲证不等式成立，只需证． 因为，所以，只需证． 令， 所以，在区间内单调递减，且，所以，即证． ［方法三］：硬算 因为， 所以有两个相异的正根（不妨设）． 则且即． 所以． 而，，所以． 设，则． 所以在上递减，，问题得证． ［方法四］：【最优解】对数平均不等式的应用 由（1）知，存在两个极值点当且仅当． 由于的两个极值点满足，所以．不妨设，则．由于． 由对数平均不等式可得，即． 故． 【整体点评】（2）方法一：根据消元思想，先找到极值点之间的关系，再消元转化为一个未知元的不等式恒成立问题，属于通性通法； 方法二：同方法一，只是消元字母不一样； 方法三：直接硬算出极值点，然后代入求证，计算稍显复杂； 方法四：根据式子形式利用对数平均不等式放缩，证明简洁，是该题的最优解． 5．（2025·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数. (1)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，结合导函数特征，分与两种情况，结合，得到实数a的取值范围； （2）在第一问的基础上，取，得到在上恒成立，令，则，从而，再用裂项相消法求和，不等式得证. 【详解】（1），，，， ， 时，， ∴，函数在上单调递增， ∴恒成立，满足条件. 时，对于方程，其，方程有两个不相等的实数根， ，， ， 当时，，此时函数单调递减， ，则，不满足条件，舍去. 综上可得：实数a的取值范围是. （2）证明：由（1）可知：取时，函数在上单调递增， ∴在上恒成立， 令，则， ∴， ∴， ∴. 【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 6．（2025·广东茂名·统考二模）已知函数，为常数，且. (1)判断的单调性； (2)当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）运用导数，分类讨论与时的单调性. （2）计算的值，结合已知可得，运用的单调性进而可设，运用的单调性及已知条件等量代换将问题转化为求证（），构造函数，运用导数研究其单调性即可求证. 【详解】（1）∵， ∴，， 记， ①当，即时，恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增. ②当，即时， 方程有两个不等实根，且，， ∴，，，单调递增， ，，，单调递减， ，，，单调递增， 综上所述：①当时，在上单调递增， ②当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）∵，∴， 由（1）可知时，在上单调递增， 故不妨设， 要证：，即证：， 又∵当时，在上单调递增，∴只需证， 又∵，∴只需证：， 即证：，（）， 记，， ， ∴当时，恒成立，单调递增， ∴， ∴原命题得证.即. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 重难点题型【四】 其他综合情况 1．（2025·广东·模拟预测）已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性； (3)若，为自然对数的底数，证明：. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】求函数的零点、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）根据零点的定义直接求解可得； （2）利用导数的正负判断函数的单调性； （3）要证的不等式转化为，再构造函数用导数证明可得. 【详解】（1）若，则，得或（舍），所以. 所以的零点为. （2）若，，函数的定义为， 所以，令，得或， 即或. ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）因，要证， 只需证，即， 令，， 因此只需证即可. ， 再令，则 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，. 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即. 所以在有唯一零点，且当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以对，都有成立. 所以，成立. 2．（2026·陕西延安·一模）已知 (1)讨论的单调性 (2)对于恒成立；求的取值范围 (3)设，为函数的两个零点；证明． 【答案】(1)当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求，讨论和这两种情况，解出的解为的单调递增区间，解出的解为的单调递减区间； （2）由（1）可知：当时，利用的单调性及特殊值可得不成立；当时，由的单调区间得到的最大值为，只需即可，解出这个不等式就是的取值范围； （3）由（1）及零点存在性定理由存在两零点可得，且，故可转化为证明，构造，利用导数法证明，由此证明. 【详解】（1）定义域，； 当时，的解为，则在上为单调递增函数； ，的解为，的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 综上可知，当时，在上为单调递增函数； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. （2）由（1）可知：当时，在上为单调递增函数，， 不满足，故不成立； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 则当时，取最大值为，令，解得， 故对于恒成立的的取值范围为. （3）由（1）知，要使函数存在两个零点，则，且其最大值必须大于0， 的最大值为， 令，解得， 则存在两零点，可得， 设，为函数的两个零点，则，， 解得①，②， ①减去②得到， 解得，要证明，只需证明， 设， ， 则在上是单调递增函数，故， 设，，，， ，， ，，，. 3．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，其中. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点． （i）求的值； （ii）若，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）由恒成立，分参配方即可求解； （2）（i）由题意列出方程组，消去得，求导分析的整数零点，即可求； （ii）求导分析单调性，得出，构造函数证明，构造函数证明，由不等式的性质即可证明. 【详解】（1）， 由题意恒成立，则， 则. （2）（i）由题意，存在使得， 消去得， 设， 则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极大值，当时， 极小值， ， 则在存在1个零点， 综上的整数零点只有0， 则. （ii）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 设， 则， 由基本不等式，则，单调递增， 则时，， 则， 由于，在单调递增， 则， 设， 则 则，单调递增， 当时，， 则， 即， 由于，在单调递增， 则， 由，可得， 则， 即. 4．（2026·河南鹤壁·一模）已知函数． (1)讨论在上的单调性； (2)若，证明：； (3)设函数，若有两个不同的零点，且，求的取值范围． 【答案】(1)结论见解析； (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，利用分类讨论可求得函数的单调区间； （2）不等式变形为，设，通过构造函数法可证明不等式； （3）由题意可得方程有两个不同的实根，令，求导可得的单调性，进而画出函数的图像，数形结合可得，且，结合已知可求的取值范围． 【详解】（1）由题意得． 若，则，即恒成立，所以在上单调递减； 若，则，即恒成立，所以在上单调递增； 若，令，得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）若，则． 要证明，即证明，即． 设，由，可得，待证不等式转化为． 右边：设，则， 所以在上单调递减，故，即． 左边：设，则， 所以在上单调递增，故，即． 综上，原命题得证． （3）由题意知是的两个相异的零点，即方程有两个不同的实根． 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 且当时，，当时，． 画出的大致图像，如图，可知若曲线与直线有两个交点， 交点的横坐标分别为，则，且．    先考虑的情形： 由，得， 所以，此时． 当时，，从而，符合条件； 当时，，从而，不符合条件． 所以要使，必须，得， 故的取值范围是． 5．（2026·陕西西安·三模）已知函数. (1)讨论在的单调性； (2)证明：当时，； (3)设，为正数，若点关于直线的对称点在曲线上，证明：. 【答案】(1)在单调递增 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用函数导数判断函数的单调性； （2）设，结合导数判断函数的单调性证得不等式； （3）根据对称性结合函数的导数证得函数的不等关系； 【详解】（1）根据题意有. 当时，； 当时，，，故， 所以在单调递增. （2）设，则， 设，则， 当时，，单调递增， 故， 故单调递增， 故当时，，即. （3）因为点关于直线的对称点为，且在上，故. 由（1）可知在单调递增，且由（2）可知， 故. 由可知，等价于. 设， 则. 设， 则当时，， 故当时，单调递增，， 所以当时，，单调递增.     又由（1）及（2）可知，，所以，即. 综上，. 1．已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； (2)讨论函数的单调性； (3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义依次得到关于的方程，解之即可得解； （2）对求导，分类讨论和两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （3）利用（2）中结论，分析的单调性，从而将问题转化为在上的最大值，从而得到关于的不等式组，再利用恒成立问题的解法即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又在点处的切线方程为， ，解得，则， 由切点在直线上，得，解得， 所以. （2）因为， 当时，，函数在上单调递增， 当时，令，得或； 令，得或； 所以在和上单调递增，和上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，和上单调递减； （3）因为，所以， 所以由（2）知，在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最大值为和中的较大者， 因为对于任意的，不等式在上恒成立， 所以，即，得， 因为上述不等式组对任意的成立，所以，故. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析. (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当. 3．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； (2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论. 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； (2)若选择条件①： 由于，故，则， 而， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②： 由于，故，则， 当时，，， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当时，构造函数，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 注意到，故恒成立，从而有：，此时： ， 当时，， 取，则， 即：， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用． 4．已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间； （2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果. 【详解】（1）当时，，， 令，解得，令，解得， 所以的减区间为，增区间为； （2）若有两个零点，即有两个解， 从方程可知，不成立，即有两个解， 令，则有， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 而时，，当时，， 所以当有两个解时，有， 所以满足条件的的取值范围是：. 【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果. 1 学科网（北京）股份有限公司 $重难点3-3分类讨论 考情分析 三年考情分析 考题统计 2025年考向预测 本节内容是新高考卷的必考 2024年新1卷，第10题，6分 近三年来，高考对于函数与 内容，设题稳定，难度较大，分 2024年新1卷，第18题，17分 导数的考查逐年增多，题目不仅 2024年新Ⅱ卷，第11题，6分 要求考生理解定义的概念和运算 值为13-17分。本节内容是新高考 2024年新Ⅱ卷，第16题，15分 规则，还要求考生能够灵活运用 卷的必考内容，一般会在解答题 2023年新1卷，第19题，12分 导数进行综合分析和推理. 考查，同时小题也会考查用导数 2023年新Ⅱ卷，第22题，12分 判断函数单调性，且近年来导数 2022年新1卷，第7题，5分 和其他版块知识点关联密集，是 新高考备考的重要内容。 网络钩建 1、大于、等于或小于0 2、 根的判别式 函数与导数之分论讨论 3、 比较根的大小 4、 综合应用 1 一夯基·必备基础知识梳理 【函数与导数解题策略】： ①分离参数十函数最值；②直接化为最值+分类讨论： ③缩小范围十证明不等式；④分离函数+数形结合。 通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法， 高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不 易掌握分类标准。 一提升·必考题型归纳 重难点题型【-】基本类型(a>0,a=0,a<0) 1.(2026福建泉州二模)已知函数f)=x-al血(x+1 )讨论/。 的极值： 2证明：当xe0,时，x≤nlx+1: 2 2913 ln2026 (3)证明：名2 2.(2026陕西宝鸡一模)已知函数f儿=lnr+-2,4eR (④)讨论的单调性. 2若对任意x(0,+)都有20恒成立，求a的取值范围。 2 3。(2026湖南永州一模)已知函数f)=ar--Ins,aeR 讨论八的单调区间： 2若a>0,且当x∈(0，时，f≥恒成立，求“的取值范围 4.(2026旷广西模拟预测)已知函数f=r-3ar+a 4)讨论的单调性： 2)当a>-l时，证明：fa>-3 3 5.已知函数f=ae+a-x 讨论f的单调性： 2证明：当a>0时，f>2ha+ 6。(2024-全国甲卷高考真题)已知函数/川=a(x-1刂-lhx+1 山求的单调区间： 2)当a≤2时，证明：当>l时，f<e 恒成立 4 重难点题型【二】函数零点的大小情况分类 1.(2526高三上山东月考)已知函数fe2+口-小e-a,aeR。 1求函数f在(0，f0 处的切线方程： 2讨论函数八刊极值点的个数。 2.(25-26高三上湖南邵阳月考)已知函数f)=c-}-(a+1nx x (x) (1)讨论 的单调性： 2若f四在(0，内的最大值为2，求“的值： 3)若f(x≥x- ,求a的取值范围. 5 3.(2024陕西西安模拟预测)已知f)=am)-(a+血x+2x-2,a>0 f(x) (1)讨论”的单调性： a∈(0，e).f(x) (2)若 ,讨论的零点个数： 4.(2025山东泰安模拟预)已知函数八)=r-a+a-lhx,a>1 讨论函数的极值点情况： f(x)-f(x2>b (2)设a=2,若对任意x,x2∈(0，+0)，x≠x2,有七-x2 恒成立，求实数b的取值范围。 6 5.(2025:福建模拟预测)已知函数f(d=r-2alnx(a>0) 口求函数的极值点： 2若函数（在区间凸⊙上的最小值为0，求实数“的值。 6.（2025辽宁大连模拟预测)已知=r-2nx,x∈(0，，其中是自然对数的底数. (x) (1)讨论的单调性； a设a心。，=5+n后。存在X与e0g使得F-小<9成立，试求实藏。的取值粒固. 7 重难点题型【三】二次函数类型（△>0，△=0，△<0） 1.(2025山东烟台三模)已知函数f(x)=lnx+ar-(a<0 4)讨论（的单调性： 2若八存在两个极值点X,点，且5≥2x,求)-x)的最大值 2、已知函数f)=x-x+ar+1 (1)讨论的单调性： (2)求曲线'过坐标原点的切线与曲线'=八的公共点的坐标. 8 3、已知函数f(=ahr-2+3x+3a (①)当a=l时，求f的图象在点山f)处的切线方程 (2)讨论f八)的单调性： (3)若0a< ，证明：<g-+3x 1 4.已知函数f)=！-x+alnx. f(x) (1)讨论的单调性； f(x)-f()<a-2 (2)若fx)存在两个极值点x,x2,证明：x-x2 9 5。(2025江苏苏州苏州中学校考模拟预测)已知函数f八)=x-】-a1nx. 但若不等式/≥0在L+切)上恒成立，求实数a的取值范围； 1）sn+2(n-1) (2)证明：子1ni2n(n+1). 62025广东茂名：统考三模)已知函数x三大+mx一2a ,a为常数，且a>0. 判断f(的单调性： 2)当0<a<1时，如果存在两个不同的正实数m,”且m+fm川=1-4a,证明：m+n>2. 10