重难点3-2 函数构造的应用（5重难点题型+题型特训）-2026年高考数学二轮复习【重点•难点•热点】精练（新高考通用）

重难点3-2 函数构造的应用 三年考情分析 考题统计 2025年考向预测 近年来，对导数与函数的考查，常涉及对函数构造方面的问题．这些题目要求考生在理解函数定义的基础上，根据函数与导数性质，利用构造函数解决问题，难度较大. 2025年新I卷，第19题,17分 2025年新Ⅱ卷，第18题,15分 2024年新I卷，第10题,6分 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 2023年新I卷，第11题,5分 2023年新I卷，第22题,12分 近三年来，高考对构造函数的考察，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好构造函数，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了． 秒杀技巧与性质1、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质2、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质3、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质4、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质5、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质6、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质7、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质8、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质9、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质10、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质11、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质12、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质13、对于，构造 秒杀技巧与性质14、对于，构造 秒杀技巧与性质15、；；； 秒杀技巧与性质16、；． 重难点题型【一】、利用幂函数与原函数构造 1．（25-26高三上·江苏无锡·期末）已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，利用导数，结合题目所给条件可得单调性及其奇偶性，再利用，可得，则可得及时的的取值范围，再分与计算即可得解. 【详解】令，则， 由时，，故， 即在上单调递减，又为偶函数，则， 则也是定义在的偶函数， 由，则， 则当时，，且， 当时，，且， 令，则有或， 对，解得；对，解得， 故的解集为. 故选：A. 2．（2026·云南大理·二模）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数根据导数判断单调性，结合单调性求解不等式即可. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 则原不等式等价于，因为，所以， 故，所以， 解得，所以不等式的解集为． 故选：D 3．（25-26高三上·河南·月考）已知定义在上的可导函数的导函数为，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，，利用导数判断出在上单调递减，由已知可得，再利用的单调性可得答案. 【详解】因为，，所以， 令，， 则， 因为，，所以， 所以在上单调递减， 因为，所以，所以， 即，可得， 又因为在上单调递减， 所以，解得. 故选：A. 4．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】令，则， 由题意知当时，，故在上单调递增， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， 所以是定义域为的偶函数， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 所以， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 则不等式的解集为. 故选：D. 5．已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（    ） A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023） 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】导数的乘除法、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，使得，然后根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题设，所以在上单调递减，又，即，又函数的定义域为，所以，综上可得：. 故选：D. 6．已知函数的图像关于直线对称，且当，成立，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先得到为偶函数，再构造函数，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系. 【详解】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，当，，故在上单调递减，且易知为奇函数，故在上单调递减，由，所以. 故选：D. 7．已知函数满足，且当时，成立，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】构造函数，利用奇函数的定义得函数是偶函数，再利用导数研究函数的单调性，结合，再利用单调性比较大小得结论. 【详解】解：因为函数满足，即，且在上是连续函数，所以函数是奇函数， 不妨令，则，所以是偶函数， 则，因为当时，成立， 所以在上单调递减， 又因为在上是连续函数，且是偶函数，所以在上单调递增， 则，，， 因为，，， 所以，所以， 故选：D. 8．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性解不等式，即可求解. 【详解】根据题意，构造函数，，则， 所以函数的图象在上单调递减. 又因为，所以， 所以，解得或（舍）. 所以不等式的解集是. 故选：B. 9．（2025高二·全国·专题练习）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，结合函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，设，， 则； 由已知当时，，则有， 即在上单调递增， 又，变形可得， 即， 又函数在上单调递增， 则有， 解得：， 故选：B． 10、设函数是奇函数的导函数， 当时，，则使得f (x)0成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，因为为奇函数，所以为偶函数，由于 ，当时， ，所以在上单调递减，根据对称性在上单调递增，又，， 数形结合可知，使得成立的的取值范围是． 重难点题型【二】、利用指数函数与原函数构造 1．（2025高二·全国·专题练习）已知是定义域为的函数的导函数，满足，且为奇函数，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构建函数，求导判断单调性，转化不等式为，代值计算即可. 【详解】令，则． 因为，所以，在上单调递减． 欲解，即解，又因为为奇函数，可得，而， 所以解，即解．因为单调递减，所以可得， 故选：B． 2．（24-25高三下·四川达州·期末）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造，利用导数得在上单调递减，把转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】，， 构造， 所以， 所以在上单调递减，且， 不等式可化为，即，所以， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足，（为的导函数），若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】利用构造函数的导数来研究原函数的性质，再利用数形结合来研究不等式，从而可得取值范围. 【详解】因为，所以， 即（为常数）， 又，所以，即. ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又，当时，，当时，， 且当时，，当时，， 所以作出的大致图象如图所示. 令，易知的图象恒过点， 在同一平面直角坐标系中作出的图象，易知，数形结合可知， 若存在唯一的整数，使得，则 即，得， 故选：B. 4．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，结合题意得，所以在上单调递增，，即，即，根据单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以在上单调递增， ，即， 又，则， 所以，即， 所以，解得. 故选：. 5．（23-24高二下·福建·期中）设在上存在导数，满足，且有的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题目中已知和，以及不等式结构特征可构造函数，再由函数的特殊值和单调性性质即可求解. 【详解】令， 则， 所以函数在上单调递增，又由题， 所以，即，即的解集为， 故选：D. 6．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据已知条件构造函数，要求解的不等式可化为，判断单调性即可求解． 【详解】设，则， ∵，∴， ∴，即在定义域R上单调递减． ∵，∴， ∴不等式等价于，即，解得， 故选：D． 7．（24-25高三下·四川宜宾·月考）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，则不等式可化为，即，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， 不等式，即，即， 所以，解得，所以不等式的解集是. 故选：C 8．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解. 【详解】设函数，可得， 所以函数在上单调递减， 由，可得，即， 可得，所以，即不等式的解集为. 故选：D. 9．（2025·辽宁鞍山·二模）已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】构造函数，利用的奇偶性和单调性求得正确答案. 【详解】设， ， 所以是奇函数. 当时，， 则， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 不等式即， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键点有两点，一个是函数的奇偶性，奇偶性可以转化为来进行判断；一个是构造函数法，有关和的不等关系式，在解题过程中可以考虑利用构造函数法，然后结合导数来进行求解. 10．（2025·广东佛山·校考模拟预测）已知是函数的导函数，对于任意的都有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：构造特殊函数.令，则满足题目条件，把代入得解得， 故选：. 法二：构造辅助函数.令，则， 所以在上单调递增， 又因为，所以，所以， 故选：D. 重难点题型【三】、利用对数函数与原函数构造 1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数的导函数为，当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．在上单调递减 D．当时， 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】A选项，令得；D选项，构造函数，得到的单调性，然后利用单调性和的性质即可得到结论；BC选项，根据的正负判断. 【详解】在中令得，故A错； 令，则， 因为当时，， 所以，在上单调递增， 因为，所以当时，，时，， 因为在时，，时，， 所以时，，故D正确； ，则，，故的正负不确定，故B错； 当时，，，故在的单调性不确定，故C错. 故选：D. 【点睛】方法点睛：构造函数的常见类型： ①乘积形式：例如，； ②商的形式：例如，. 2．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知定义在上的函数的导函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】设，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的单调性逐项判断即可. 【详解】设，则， 所以，函数在上为增函数， 对于AB选项，，即， 所以，AB无法判断； 对于CD选项，，即，可得，C错D对. 故选：D. 3．（2025届高三数学临考冲刺原创卷（四））已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据，得． 设（），则， 则函数在上单调递增，且， 则不等式，可化为， 则，解得. 故选：C． 4．已知函数的定义域为，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，其中， 则， 所以，函数在上单调递减， 易知，当时，，，此时， 当时，，，此时， 因为函数的定义域为，图象关于原点对称，即函数为奇函数， 若或时，，且， 由可得， 当时，即，可得或，此时，可得； 当时，即，可得，此时，可得. 因此，不等式的解集为. 故选：C. 5．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则的定义域为 且，所以在上单调递减. 因为，所以当时，； 当时，. 又当时，，当时，， 所以当时，恒有. 因为是上的奇函数，所以当时，， 所以等价于或 解得或， 所以不等式的解集是. 故选：D. 6．（广东省梅州市2025届高三二模数学试题）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令， 则， 所以函数在上递增， 又因， 所以当时，， 当时，， 又因当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 又因为，所以当时，， 因为是定义在上的奇函数， 所以，当时，， 由不等式， 得或， 解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 7．定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 ， 则，由于, 故,故在单调递增， 而 ， 由，得 ， ∴ ，即 , ∴不等式的解集为, 故选：D． 重难点题型【四】、利用三角函数与原函数构造 1．函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】导数的乘除法、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由题意可构造函数，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，结合，即可求得答案. 【详解】令，则， 由于当时，，故此时， 则在上单调递减， 由于函数是定义在上的奇函数， 则，即为上的偶函数， 则在上单调递增， 而，故， 故当或时，，当或时，， 由可得或，解得或， 故不等式的解集为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，并得出其单调性、奇偶性，由此即可顺利得解. 2．（25-26高三上·福建莆田·期末）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】令，根据已知条件，可判断，所以在上单调递增.据此可判断，进而得出，，选出正确答案. 【详解】因为，所以. 由，得， 所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以，即，即 即. 所以. 因为不能判断的取值，所以A错误，B,C不能确定，只有D选项一定正确. 故选：D. 3．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的应用 【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，化简得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】设，所以， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增， 因为， 且，所以，所以， 故选：B. 4．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】构造函数法证明不等式、利用导数证明不等式、导数的运算法则 【分析】根据结构，考虑构造，则，结合题目给出条件可知在上单调递减，故有，化简后即可得出答案. 【详解】构造函数，则. ， 即在上单调递减. 故有，即， 即①. 对于A：由①式可知，即，因此无法判断，故A错误； 对于B、C：由①式可知，即，故无法判断，故B错误，C正确； 对于D：由①式可知，即，故D错误. 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 6．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性，进而比较大小. 【详解】当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 因此，又是定义域为的偶函数，则， 而，则． 故选：B 7．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数的导数为，且有，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，根据条件判断出的正负，由此可知的单调性，再根据结合的单调性可判断出大小关系. 【详解】设，所以， 因为，所以，所以在上单调递增， 因为，，， 且，所以，所以， 故选：A. 8．设是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】设函数，利用导数判断出单调性可得答案. 【详解】设函数，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 因为，， ， 又，所以． 故答案为：． 9．（2024·云南·模拟预测）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由已知，设，可得函数单调递减，则由，可得，即为不等式的解集. 【详解】设，， 所以函数在上单调递减， ， 即，得， 所以，所以不等式的解集为． 故答案为：． 10．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，进而比较大小. 【详解】构造函数，，， 则时，， 所以函数在上单调递增， 于是， 即， 所以， 故答案为：. 重难点题型【五】、其它复杂型构造问题 1．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，由题意可得当时，，即可得的单调性，结合，可得，又，结合单调性即可得解. 【详解】令，则， 由当时，，则当时，， 即在上单调递减， 由，则， 由，即，故. 故选：D. 2．已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 构造函数，当时，， 所以函数在区间内单调递增，且， 又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数， 所以在区间内单调递减，且． 不等式整理可得：， 即，当时，，则，解得；当时，，则， 解得，又，所以． 综上，不等式的解集为． 故选：A． 3．已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可.由，可得， 即，令， 则. 令，， 所以在上是单调递减函数. 不等式， 等价于， 即，， 所求不等式即， 由于在上是单调递减函数， 所以，解得， 且，即， 故不等式的解集为. 故选：D 4．已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， ， ， 当时，，则， 在上单增； 当时，，则， 在上单减； ， 不等式即为不等式， 关于直线对称， ， 解得或， 故选：． 5．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值 C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值 【答案】C 【解析】因为，， 所以，所以， 因为函数是连续函数，所以由，可得， 代入，可得， 所以， 当时，， 令，所以， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以当时，取得极小值即最小值， 所以，所以函数在上单调递增， 所以既没有极大值，也没有极小值， 故选C. 1．（2025·江苏南通·二模）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、利用导数研究不等式恒成立问题、函数方程组法求解析式 【分析】先对求导，得出，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得出，再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】因为偶函数，则①， 对两边求导得，②， 在③中，用代替得④， 由①②④可得，⑤， 联立③⑤得，， 则化简为，， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故， 则实数的取值范围是. 故选：A 2．（23-24高二下·四川自贡·期中），均有成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】首先不等式转化为，再构造函数，转化为函数在区间上恒成立，利用参变分离，转化为最值问题，求的取值范围. 【详解】不妨设， 由，得， 即，两边同时除以，得， 令，即，所以函数在区间上单调递减， ，即恒成立， 所以，上恒成立，函数在区间上单调递减， 所以的最大值为1， 所以. 故选：B 3．（2024·四川宜宾·模拟预测）定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】由条件单调函数，对任意的都有，故必有 ，且，即可求得，再根据导数研究函数的性质，求得方程 有两个不同的实根满足的条件，求得的取值范围. 【详解】由于函数为单调函数，则不妨设，则， 且，解得，所以. 设， 则方程有两个不同的实数根等价于函数与有两个不同的交点. ， 易得当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以. 又，且当时，. 故函数与有两个不同的交点则. 故选：B 4．（25-26高三上·湖北·月考）已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，根据题干中已知条件凑出问题中的不等式即可求解. 【详解】构造函数，则，且， 因为对于任意的，都有， 所以，故函数在R上单调递减， 所以解不等式即，即解，所以， 故不等式的解集为. 故答案为： 5．（24-25高二下·江西·月考）若为自然对数的底数，是定义在上的函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，则问题转化为，结合单调性解得即可. 【详解】令， 则， ∵， ∴， ∴，则在上单调递减， ∵， ∴，等价于， 根据的单调性解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：． 6．（23-24高三上·山东枣庄·期中）设定义在上的函数满足，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】由可知，令，由，可知，利用的单调性解不等式即可. 【详解】由可知， 令，则，所以在上单调递增. 因为，所以， 因为所以， 所以，又因为在上单调递增. 所以 故答案为： 7．（24-25高三下·重庆·开学考试）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】构造函数，对其求导并结合已知可得，所以，即可解不等式. 【详解】令，则， 故（c为常数）， ∵，∴，， ∴， 令，解得． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知构造函数，对其求导可确定函数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点3-2 函数构造的应用 三年考情分析 考题统计 2025年考向预测 近年来，对导数与函数的考查，常涉及对函数构造方面的问题．这些题目要求考生在理解函数定义的基础上，根据函数与导数性质，利用构造函数解决问题，难度较大. 2025年新I卷，第19题,17分 2025年新Ⅱ卷，第18题,15分 2024年新I卷，第10题,6分 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 2023年新I卷，第11题,5分 2023年新I卷，第22题,12分 近三年来，高考对构造函数的考察，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好构造函数，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了． 秒杀技巧与性质1、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质2、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质3、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质4、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质5、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质6、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质7、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质8、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质9、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质10、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质11、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质12、对于不等式，构造函数 秒杀技巧与性质13、对于，构造 秒杀技巧与性质14、对于，构造 秒杀技巧与性质15、；；； 秒杀技巧与性质16、；． 重难点题型【一】、利用幂函数与原函数构造 1．（25-26高三上·江苏无锡·期末）已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南大理·二模）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南·月考）已知定义在上的可导函数的导函数为，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（    ） A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023） 6．已知函数的图像关于直线对称，且当，成立，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数满足，且当时，成立，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高二·全国·专题练习）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10、设函数是奇函数的导函数， 当时，，则使得f (x)0成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 重难点题型【二】、利用指数函数与原函数构造 1．（2025高二·全国·专题练习）已知是定义域为的函数的导函数，满足，且为奇函数，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高三下·四川达州·期末）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足，（为的导函数），若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·福建·期中）设在上存在导数，满足，且有的解集为（   ）． A． B． C． D． 6．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·四川宜宾·月考）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁鞍山·二模）已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·广东佛山·校考模拟预测）已知是函数的导函数，对于任意的都有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 重难点题型【三】、利用对数函数与原函数构造 1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数的导函数为，当时，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．在上单调递减 D．当时， 2．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知定义在上的函数的导函数满足，则（     ） A． B． C． D． 3．（2025届高三数学临考冲刺原创卷（四））已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（广东省梅州市2025届高三二模数学试题）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 重难点题型【四】、利用三角函数与原函数构造 1．函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建莆田·期末）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数的导数为，且有，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．设是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 9．（2024·云南·模拟预测）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 10．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为 . 重难点题型【五】、其它复杂型构造问题 1．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数 A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值 C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值 1．（2025·江苏南通·二模）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川自贡·期中），均有成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川宜宾·模拟预测）定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北·月考）已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 . 5．（24-25高二下·江西·月考）若为自然对数的底数，是定义在上的函数，且，则不等式的解集为 . 6．（23-24高三上·山东枣庄·期中）设定义在上的函数满足，若，，则的最小值为 ． 7．（24-25高三下·重庆·开学考试）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $