1.7.3 正切函数的图象与性质 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 1.7.3 正切函数的图象与性质 互动设计课程 1 学 习 目 标 理解并掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性。。。 返回主页 1 会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，掌握正切曲线的作法理解并掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性 能利用正切函数的性质解决比较大小、求值域、解简单不等式等问题掌握正切函数图象的特征：渐近线、对称中心、周期性 2 经历从正切线到正切曲线的作图过程，体会数形结合思想通过类比正弦函数的研究方法，自主探究正切函数的性质培养观察、归纳、概括的能力情感态度与价值观感受数学图象的奇异美（渐近线特征）培养严谨的数学思维和科学的探究精神 情 境 引 入 【情境一：复习引入】 返回主页 【情境二：生活实例】 【情境一：复习引入】 复习提问： 正切函数的定义域是什么？为什么？ 正切函数的周期是多少？与正弦、余弦有何不同？ 如何用正切线表示正切函数值？ 思考问题：既然可以用正弦线画出正弦曲线，能否用正切线画出正切曲线？正切曲线的形状会是什么样的？ 【情境二：生活实例】 过山车轨道设计：某过山车轨道在一段区域内呈现周期性上下起伏，但不同于正弦波的平滑，该段轨道在某些点附近几乎垂直。这种形状与哪种函数图象相似？ 分析：正切函数在 附近，函数值趋向于无穷大，图象无限接近垂直直线（渐近线），与描述相符。 互 动 设 计 【【活动1：正切曲线的作图】 返回主页 【活动2：图象特征观察】 【活动1：正切曲线的作图】 步骤一：作正切线 在单位圆中，过点 作切线 对于角 ，延长终边交切线于点 ，有向线段 步骤二：描点 在区间 内取特殊点： ， ， ， ， 步骤三：连线 用光滑曲线连接各点 观察：当 时，；当 时， 步骤四：扩展 利用周期性，将图象向左、右平移 个单位，得到整个定义域内的图象 演示：正切函数图象画法 【活动2：图象特征观察】 小组讨论： 1. 正切曲线与 轴的交点在哪里？ 2. 正切曲线有没有最高点、最低点？ 3. 正切曲线的上升、下降趋势如何？ 4. 正切曲线有没有对称轴？有没有对称中心？ 探 求 新 知 1. 正切函数的图象 返回主页 2. 正切函数的性质 3. 对称性 4. 与正弦、余弦函数的对比 1. 正切函数的图象 正切曲线：在区间 内的图象称为正切曲线的主支，向左、右平移 （）个单位得到其他分支。 1. 正切函数的图象 图象特征： 渐近线：直线 （），正切曲线无限接近但永不相交 过原点：曲线过点 单调上升：在每个周期内，曲线从左下向右上无限延伸 2. 正切函数的性质 性质 内容 说明 定义域 即 值域 （全体实数） 无最大值、无最小值 周期 最小正周期 正弦、余弦周期为 奇偶性 奇函数 图象关于原点对称， 单调性 在每个区间 内单调递增 在整个定义域内不是增函数 3. 对称性 对称中心：点 （） 包括与 轴的交点 以及渐近线与 轴的交点 无对称轴：正切曲线不是轴对称图形 4. 与正弦、余弦函数的对比 性质 定义域 值域 周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 有增有减 有增有减 只有增区间 最值 有 有 无 渐近线 无 无 有 典 例 铺 路 【类型一：求定义域】 【类型二：比较大小】 【类型三：求值域】 【类型四：解不等式】 【类型五：综合应用】 【类型一：求定义域】 例1 求下列函数的定义域： （1） （2） 解： （1）由 ，得 （） 定义域为 （2）需满足 由 得 （） 定义域为 （） 【类型二：比较大小】 例2 比较下列各组数的大小： （1） 与 （2） 与 解： （1）∵ ，且 在 内单调递增 ∴ （2） ∵ ，∴ ，即 ∴ ，即 【类型三：求值域】 例3 求函数 ， 的值域。 解： ∵ 在 上单调递增 ∴ 当 时， 当 时， 值域为 【类型四：解不等式】 例4 解不等式： 解： 在同一坐标系中画出 和 的图象 由 得 （） 结合图象，不等式的解集为 （） 【类型五：综合应用】 例5 求函数 的周期、 定义域和单调递增区间。 解： 周期： 定义域：由 得 ，即 （） 单调递增区间： 由 得 即 （） 单调递增区间为 （） 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 函数 的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 答案：A 【基础训练】 2. 函数 ， 的值域是（ ） A. B. C. D. 答案：B 【基础训练】 3. 函数 的定义域为______。 答案： （） 【基础训练】 4. 比较大小：______（填”>“或”<“） 答案：> 【能力提升】 5. 解不等式： 答案： （） 【能力提升】 6. 求函数 ， 的最小值和最大值。 答案： 最小值 （当 时），最大值 （当 时） 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 函数 的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 答案：C 2. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：D 3. 函数 在 内的图象与直线 的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无穷多个 答案：B 4. 函数 的定义域为（ ） A. B. 且 C. D. 答案：B 【填空题】（每题5分） 5. 函数 的定义域为______。 答案： 【填空题】（每题5分） 6. 函数 的图象的对称中心为______。 答案： （） 【填空题】（每题5分） 7. 若 tanx>√3，则 x 的取值范围是______。 答案： (π/3+kπ,π/2+kπ)（k∈Z） 8. 函数 ， 的最大值为______。 答案： 【解答题】（10分） 9.（10分）求函数 的定义域、周期和单调递减区间。 答案： 定义域： 周期： 单调递减区间：（） 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 正切函数 y = tan x │ ├── 图象特征 │ ├── 渐近线：x = + kπ │ ├── 过原点，关于原点对称 │ └── 每个周期内单调递增 │ └── 性质 ├── 定义域：x ≠ + kπ ├── 值域：R ├── 周期：π ├── 奇函数 └── 单调性：在(-+kπ, +kπ)内递增 48 2. 方法小结 性质 内容 定义域 值域 周期 奇偶性 奇函数 单调性 在 内单调递增 对称中心 【易错警示】 正切函数在定义域内不是单调递增，而是在每个周期区间内递增 ⚠️ 求单调区间时，若 ω<0，需先用诱导公式化为正 正切函数无最值，值域为全体实数 $