6.1.3 向量的减法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学向量的减法，在向量加法基础上，通过差向量定义、三角形法则、几何意义及相反向量转化，构建从概念到运算的学习支架，涵盖作图、化简、向量表示及模的计算等应用。 以问题导思激发探究，通过作图实践培养直观想象，借助化简与模的计算提升逻辑推理。题型示例与自主检测结合，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固，有效落实数学核心素养。

6.1.3　向量的减法 知识层面 1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义．　2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义．　3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算． 素养层面 通过向量减法的学习，培养直观想象素养；借助向量减法的应用， 提升直观想象和逻辑推理素养． 问题　已知向量是向量与向量x的和，如图所示． (1)指出表示x的有向线段； (2)向量x的模与||，||有什么关系？ 提示：(1)表示向量x.(2) ||－||＜|x|. 知识点一　向量的减法 1．差向量 一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－b． 不难看出，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，注意到＋＝，因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即 学生用书第104页 2.向量减法的三角形法则 当a与b不共线时，求a－b的差，如图所示，此时向量a，b，a－b正好能构成一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则． 知识点二　向量减法的几何意义 如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量． 此外，由＝－可得，一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记为“终点向量减始点向量”． 知识点三　相反向量 　给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a，因此，的相反向量是－，而且－＝.因为零向量的始点与终点相同，所以－0＝0. [微提醒]　(1)在用三角形法则作两个向量的差向量时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减向量”即可． (2)任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即 a＋(－a)＝0，＋(－)＝0. (3)向量的减法也可以看成向量加法的逆运算，即 a－b＝a＋(－b). 也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量． (4)a－b＝－b＋a，(a－b)－c＝(a－c)－b＝a－(b＋c). (5)如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则＝a＋b，＝a－b(＝b－a)，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并牢记． 1．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．若＝，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形 B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．互为相反向量的两个向量模相等 D．＋＋－＝0 答案：CD 解析：对于A，＝，则A，B，C，D四点有可能在一条直线上，不一定构成平行四边形，故A错误；对于B，显然b＝0不正确，故B错误；对于C，相反向量方向相反模相等，故C正确；对于D，＋＋－＝＋＋＝0，故D正确． 2．在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　) A．a＋b　　　　　　　 B．a－b C．－a＋b D．－a－b 答案：C 解析：＝＋＝－＝b－a＝－a＋b.故C正确． 3．平行四边形ABCD中，＋－等于(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：如图， 因为四边形ABCD为平行四边形，所以＋－＝＋＝.故选B. 4．化简＋－－＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：＋－－＝＋＋＋＝.故选D. 5．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________． 答案：2 解析：因为||＝||＝|－|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|＋|＝2. 学生用书第105页 题型一　向量的减法(作图) 例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [思路点拨]　先作＝a，＝b，再求，的和，然后作＝c；即可求a＋b－c. 解：方法一　如图(1)所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二　如图(2)，同方法一作出＝a＋b，再过点B作＝c，则＝a＋b－c. 作两向量的差的步骤 　　 对点练1.如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c. 解：在平面内作＝a，＝b，则a－b＝，再以点C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c. 题型二　向量的减法(运算) 例2　化简下列各式： (1)(＋)＋(－－)； (2)－－. [思路点拨]　利用向量的减法运算法则求向量． 解：(1)方法一　原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 方法二　原式＝＋＋＋ ＝＋(＋)＋ ＝＋＋＝＋0＝. (2)方法一　原式＝－＝. 方法二　原式＝－(＋)＝－＝. 向量减法运算的常用方法 　　 对点练2.(多选)下列四式可以化简为的是(　　) A．＋(＋) B．(＋)＋(－) C．＋－ D．＋－ 答案：ABC 解析：A项中，＋(＋)＝(＋)－＝－＝；B项中，(＋)＋(－)＝(－)＋(＋)＝；C项中，＋－＝－＝；D项中，＋－＝－≠.故选ABC. 题型三　用图形中的已知向量表示其他向量 例3　如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC上的 学生用书第106页 任意一点，O为AE与BD的交点，已知＝a，＝b，＝c，＝e，试用a，b，c，e表示. [思路点拨]　本题考查利用三角形法则表示向量，解题时要结合图形，寻找未知向量所在的三角形，并逐步把未知向量用已知向量表示出来． 解：在△OBE中，＝＋＝e－c， 在△ABO中，＝＋＝e－c－a， 在△ABD中，＝＋＝a＋b， 因此，在△OAD中，＝＋＝e－c－a＋a＋b＝e－c＋b. 　 在某个图形中用几个已知向量表示未知向量的一般步骤 第一步：先观察各个向量在图形中的位置； 第二步：寻找(或作出)相应的平行四边形或三角形； 第三步：运用法则找关系(当运用三角形法则时，要注意两个向量需“首尾相连”，当两个向量共始点时，可以考虑用减法)； 第四步：化简得结果．　　 对点练3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝a，＝b，用a，b分别表示向量，，，. 解：因为平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝a，＝b， 所以＝＝－＝－b， ＝＝－＝－a， ＝－＝b－a， ＝－＝a－b. 题型四　向量和与差的模 例4　已知|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝1，则|a－b|＝(　　) A．1 B． C． D．2 [思路点拨]　根据向量加法的平行四边形法则，在以a和b为邻边的平行四边形中表示出a＋b和a－b，再利用平面几何的知识求解． 答案：B 解析：如图，根据向量加法的平行四边形法则可知，当|a|＝|b|＝1时，平行四边形ABDC为菱形． 又||＝|a＋b|＝1，所以△ABD为正三角形， 所以∠ABD＝60°. 所以|a－b|＝||＝2||＝2＝2× ＝.故选B. 与向量的和与差有关的模的计算问题，要注意结合平面几何知识，通过构造直角三角形利用勾股定理求解．　　 对点练4.已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的范围是________． 答案：2　(0，4) 解：因为－＋＝＋＋＝，又||＝2，所以|－＋|＝||＝2.又因为＝＋，且在菱形ABCD中||＝2，所以|||－|||<||＝|＋|<||＋||，即0<||<4. 1．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则的相反向量是(　　) A．a－b　　　　　　　 B．b－a C．a＋b D．－a－b 答案：A 解析：＝－＝b－a，所以的相反向量为a－b. 2．(多选)下列各式中能化简为的是(　　) A．(－)－ B．－(＋) C．－(＋)－(＋) D．－－＋ 答案：ABC 解析：选项A中(－)－＝＋＋＝＋＋＝；选项B中－(＋)＝－0＝；选项C中－(＋)－(＋)＝－－－－＝＋＋＋＝(＋＋)＋＝.选项D中－－＋＝＋＋＝2＋，不能化简为. 3．已知向量a与b共线，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝________． 答案：0或2 解析：a与b可能同向也可能反向，故|a－b|＝0或2. 4．化简：(－)－(－)＝________． 答案：0 解析：法一：(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋＝0. 法二：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－) ＝＋＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $