6.2.1 向量基本定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦向量基本定理核心知识点，先通过共线向量基本定理理解向量共线的判定与应用，再过渡到平面向量基本定理，构建从一维共线到二维平面基底表示任意向量的知识支架，涵盖定义理解、基底概念及向量分解应用。 资料以问题导思激发探究（数学眼光），通过题型分类（共线判定、基底理解、向量表示）结合规律方法总结，培养逻辑推理与数学运算素养（数学思维）。课中助力教师分层教学，课后自主检测与对点练帮助学生巩固，提升用数学语言表达向量关系的能力。

6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.1　向量基本定理 知识层面 1.理解两向量共线的含义，并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题．　2.知道平面向量基本定理的含义和基底的含义．　3.理解平面向量基本定理，会用基底表示向量． 素养层面 通过共线向量基本定理的学习，培养数学运算和逻辑推理素养；借助平面向量基本定理的学习与应用， 提升数学运算及逻辑推理素养． 问题1.引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 提示：实数与向量的积与原向量共线． 问题2.已知非零向量b，对于任意的向量a，若a＝λb，λ是一个实数，则a∥b；反之，对于任意向量a，若a∥b，是否存在一个实数λ使得a＝λb? 提示：可以分以下两种情况讨论． 若a和b方向相同，则是a的单位向量，a＝|a|，即a＝b，λ＝； 若a和b方向相反，则－是a的单位向量，a＝－|a|，即a＝－b，λ＝－. 所以一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb. 学生用书第113页 知识点一　共线向量基本定理 1．共线向量基本定理 如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. [微提醒]　(1)b＝λa时，通常称为b能用a表示． (2)其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ.这是因为：由λa＝μa可知(λ－μ)a＝0，如果λ－μ≠0，则a＝0，与已知矛盾，所以λ－μ＝0，即λ＝μ. (3)共线向量基本定理是判断、证明向量共线的理论依据，其中条件“a≠0”必不可少，这是因为如果a＝0，则一定有b与a共线(零向量与任意向量共线)，此时b有两种情况：①b＝0；②b≠0.若b＝0，此时b＝λa中的λ有无数个；若b≠0，此时不存在λ使得b＝λa成立．以上两种情况违背λ“存在且唯一”的特点． (4)对于任意两个向量a，b，若存在不全为0的实数对(λ，μ)使λa＋μb＝0，则a与b共线． 证明如下：若a，b中至少有一个为零向量，结论显然成立． 若a，b均为非零向量，不妨设μ≠0，则b＝－a，说明a与b共线． (5)由共线向量基本定理还能得到一个重要的结论：若两个向量a，b不共线，而λa＝μb，则说明λ＝μ＝0. 2．三点共线的充要条件 由共线向量基本定理以及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ. 知识点二　平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb. 上述实数对(x，y)可以用如下方式找到：如图所示，将向量a与b的始点平移到一起，假设＝a，＝b，将向量c的始点也平移到O点，以OA，OB所在的直线为相邻的边，以OC为对角线作平行四边形ODCE. 因为a与b不共线，所以a≠0且b≠0，又因为∥a，因此由共线向量基本定理可得，存在唯一的x，使得＝xa；同理，存在唯一的y，使得＝yb.又由向量加法的平行四边形法则可知＝＋，从而c＝xa＋yb. [微提醒]　(1)由共线向量基本定理可知，任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示，而且这种表示是唯一的．因此，平面向量基本定理是共线向量基本定理从一维到二维的推广． (2)平面向量基本定理包括两个方面的内容，一是存在性，二是唯一性．唯一性是指如果c＝xa＋yb＝μa＋vb，那么x＝μ且y＝v. (3)当a与b不共线时，xa＋yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0. 2．基底 平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量a与b不共线时，任意一个向量c，都可以写成a与b的线性运算(简称为用a与b表示向量c)，而且表达式唯一．因此，平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式． [微提醒]　(1)由平面向量基本定理知，平面内的任一向量都可用基底表示出来．因而可以“统一”各向量，便于研究向量问题． (2)基底不唯一，同一平面可以有不同的基底，且组成基底的向量不能共线(零向量不可以作为基底中的向量).同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． 学生用书第114页 1．设e1，e2是同一平面内的两个向量，则(　　) A．e1，e2一定平行 B．{e1，e2}是该平面的一组基底 C．对该平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) D．若e1，e2不共线，则对该平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) 答案：D 解析：D选项符合平面向量基本定理，其他三个选项均不正确． 2．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．±1 答案：C 解析：向量a＋λb与b＋λa的方向相反，所以(a＋λb)∥(b＋λa).由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)b.因为a与b不共线，所以1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ.所以1－λ2＝0，λ＝±1，当λ＝1时，向量a＋b与b＋a是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．所以λ＝－1. 3．(多选)对于向量a，b有下列表示，其中，向量a，b一定共线的有(　　) A．a＝2e，b＝－2e B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2 C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2 D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2 答案：ABC 解析：对于A，a＝－b；对于B，a＝－b；对于C，a＝4b；对于D，当e1，e2不共线时，若a＝λb(λ≠0)，则e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，即(1－2λ)e1＋(1＋2λ)e2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故D中a与b不共线． 4．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为________________． 答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) 解析：若{a，b}能作为平面内一个基底，则a与b不共线．又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb(k∈R)，得e1＋2e2≠2ke1＋λke2，所以即λ≠4. 题型一　共线向量定理的应用 例1　判断向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个非零不共线的向量)： (1)a＝3e1，b＝－9e1； (2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； (3)a＝e1－e2，b＝3e1＋3e2. [思路点拨]　根据向量共线条件，若存在实数λ，使得a＝λb，则a，b共线；反之，不共线． 解：(1)因为a＝3e1，b＝－9e1， 所以b＝－3a，所以a，b共线． (2)因为a＝e1－e2，b＝3e1－2e2， 所以b＝6a，所以a，b共线． (3)假设a＝λb(λ∈R)，则e1－e2＝λ(3e1＋3e2)， 所以(1－3λ)e1＋(－1－3λ)e2＝0. 因为e1，e2不共线，所以此方程组无解． 所以不存在实数λ，使得a＝λb成立，所以a，b不共线． 向量共线定理：b与a(a≠0)共线⇔b＝λa是一个等价定理，因此用它既可以证明点共线或线共点问题，也可以根据共线求参数的值．　　 对点练1.设e1，e2为两个不共线的向量，若a＝e1＋λe2，b＝2e1－e2. 若(a＋b)∥b，求实数λ的值． 解：由题意，向量a＝e1＋λe2，b＝2e1－e2，可得a＋b＝3e1＋(λ－1)e2， 因为(a＋b)∥b，则a＋b＝μb，μ≠0， 即3e1＋(λ－1)e2＝2μe1－μe2，又e1，e2为两个不共线向量， 所以解得λ＝－. 题型二　平面向量基本定理的理解 例2　若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　) A．{e1－e2，e2－e1} B．{2e1＋e2，e1＋e2} C．{2e2－3e1，6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1－e2} 学生用书第115页 [思路点拨]　根据基底的定义可知，要判断两向量a，b能否作为基底只需判定其是否共线．另外，作为基底的向量必为非零向量．当一个平面的基底一旦确定，那么平面内的任一向量都可以由这组基底唯一地表示出来． 答案：D 解析：对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底； 对于选项B，2e1＋e2＝2，所以(2e1＋e2)∥，故该组向量不能作为该平面的基底； 对于选项C，2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．故选D. 对平面向量基本定理的理解 1．在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝xa＋yb，且x＝y＝0. 2．对于固定的不共线向量a，b而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．　　 对点练2.已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　) A．， B．， C．， D．， 答案：D 解析：如下图所示： 不平行，又不共线的向量只有与.故选D. 题型三　运用基底表示向量 例3　(1)如图①，在△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用基底{a，b}表示，，. 　　 (2)在△ABC中，＝，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图②所示，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示. [思路点拨]　通过向量的加法、减法及数乘等线性运算将各向量分解，向基底靠拢，逐步完成表示． 解：(1)＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b； ＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b； ＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b. (2)因为M为BC的中点， 所以＝＝(－)＝(b －a)， ＝(＋)＝(a＋b). 因为DN∥BM，AN与AM共线， 所以存在实数λ，μ，使得＝λ＝λ(b－a)， ＝μ＝μ(a＋b)＝a＋b. 因为＝＋＝a＋λ(b－a)＝a＋b， 所以根据平面向量基本定理，得 解得 所以＝(b－a)＝－a＋b. 平面向量基本定理的作用及注意点 1．根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算． 2．解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．　　 对点练3.如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且＝.设＝a，＝b. 试用基底{a，b}，表示，. 解析：由题意知，＝＋＝＋＝＋＝b＋a， ＝＋＝＋＝－＝a－b. 学生用书第116页 1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　) A．e1，e2　　　　　 B．e1＋e2，3e1＋3e2 C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2 答案：B 解析：因为e1和e2是两个不共线向量，所以e1和5e2，e1和e1＋e2分别是两个不共线向量，所以A，C，D均能作为基底；B中，3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，所以两向量是共线向量，不能作为基底． 2．(多选)下列叙述正确的是(　　) A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb B．b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线 C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥n D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c 答案：BCD 解析：对于A，当b＝0时，满足a，b共线，但不满足存在唯一的实数λ，使a＝λb成立，此时不存在实数λ，使a＝λb成立，故A错误；对于B，若b＝3a，则a，b方向相同，所以a，b共线，故B正确；对于C，因为m＝3a＋4b＝2＝2n，所以m∥n，故C正确；对于D，若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c，故D正确．故选BCD. 3．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，若以a，b为基底，则＝(　　) A.a－b B．a－b C．a＋b D．a＋b 答案：D 解析：连接OD，CD(图略)，显然∠BOD＝∠CAO＝60°，则AC∥OD，且AC＝OD，即四边形CAOD为菱形，故＝＋＝a＋b.故选D. 4．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________． 答案：a－b 解析：因为a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，显然a与b不共线，①＋②得a＋b＝3e2，所以e2＝，代入②得e1＝e2－b＝－b＝a－b，故有e1＋e2＝a－b＋a＋b＝a－b. 学科网（北京）股份有限公司 $