5.3.2 事件之间的关系与运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“事件之间的关系与运算”核心知识点，系统梳理事件的包含与相等关系，和事件、积事件的概念及运算，互斥事件与对立事件的判定及概率公式，构建从基础关系到运算应用的递进学习支架。 该资料通过掷骰子、订阅报纸等实例设计问题导思与合作探究，培养学生逻辑推理与数据分析素养，自主检测和随堂演练环节助力课中教学效果提升，课后学生可通过实例解析与练习查漏补缺，强化数学运算能力。

5.3.2　事件之间的关系与运算 知识层面 1.了解事件间的包含关系和相等关系．　2.理解互斥事件与对立事件的概念与关系．　3.会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率．　4.了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算． 素养层面 通过互斥事件与对立事件关系的判定，培养逻辑推理素养；通过互斥与对立事件的概率计算，培养数据分析与数学运算素养． 在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数不大于3}，D3＝{出现的点数不大于5}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点 学生用书第68页 数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}． 问题　在上述事件中，(1)事件C1与事件C2的并事件是什么？ (2)事件D2与G及事件C2间有什么关系？ (3)事件C1与事件C2间有什么关系？ (4)事件G与事件H间有什么关系？ 提示：(1)C1∪C2＝{出现1点或2点}． (2)D2∩G＝C2. (3)为互斥事件． (4)为对立事件． 知识点一　事件的包含与相等 1．包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A⊆B(或B⊇A).用图形表示为： 2．相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B. [微提醒]　(1)包含关系 ①不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件，即C⊇∅(C为任一事件). ②事件A也包含于事件A，即A⊆A. ③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生． ④A⊆B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件． (2)相等关系 ①两个相等事件总是同时发生或同时不发生． ②所谓事件A＝B，就是说事件A，B是同一事件． ③在验证两个事件是否相等时，常用到相等事件的定义． ④A＝B⇔A⊆B且B⊆A.A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充要条件． 知识点二　和事件与积事件 1．事件的和(并) 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B). 事件A与B的和可以用如图中的阴影部分表示： 2．事件的积(交) 给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B). 事件A与B的积可以用如图中的阴影部分表示： [微提醒]　(1)和事件 ①按照定义可知，事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生． ②不难看出，A⊆(A＋B)且B⊆(A＋B)，因此P(A)≤P(A＋B)且P(B)≤P(A＋B)，而且，直观上可知P(A＋B)与P(A)＋P(B)的大小关系为P(A＋B)≤P(A)＋P(B). (2)积事件 ①按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生． ②P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B). 知识点三　事件的互斥与对立 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅). 学生用书第69页 互斥事件的概率加法公式：若A与B互斥(即AB＝∅)时，有：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．事件A的对立事件记为：.则：P(A)＋P()＝1． [微提醒]　 (1)事件A与事件B互斥表示事件A与事件B不可能同时发生，即A与B两个事件同时发生的概率为0. (2)用集合的观点来看，是A在Ω中的补集，如上图所示．如果B＝，则称A与B相互对立． 1．(多选)抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　) A．A⊆B B．A＝B C．A＋B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是2 答案：CD 解析：由题意可得A＝{1，2}，B＝{2，3}，则AB＝{2}，A＋B＝{1，2，3}，所以A＋B表示向上的点数是1或2或3.故选CD. 2．设A，B是随机事件，下列关系式正确的是(　　) A．A＋B＝A B．AB⊇A C．A＋AB＝A D．B⊆A 答案：C 解析：对于A，利用集合并集思想分析，两个事件的和事件可能等于其中的事件A，也可能包含事件A.故选项A错误；对于B，AB表示A，B的积事件，利用集合交集思想分析，AB不一定包含A事件．故选项B错误；对于C，利用集合的交集和并集的思想可知，A＋AB＝A表示的等式成立．故选项C正确；对于D，利用补集的思想和交集的概念可知，B表示的事件A不发生的同时事件B发生，故选项D错误．故选C. 3．2024年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B(　　) A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件，也不是对立事件 答案：A 解析：事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件， 不是对立事件，比如他还可以选择化学和政治．故选A. 4．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是(　　) A．恰好有一个白球与都是红球 B．至多有一个白球与都是红球 C．至多有一个白球与都是白球 D．至多有一个白球与至多一个红球 答案：A 解析：选项A，从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，表示的事件分别为(红，白)，(红，红)，(白，白)三种情况，故选项A互斥不对立，故A正确；选项B，至多有一个白球表示的是(红，白)，(红，红)，与都是红球不互斥，故B错误；选项C，由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误；选项D，至多有一个红球表示的是(红，白)，(白，白)，所以两个事件不互斥，故D错误．故选A. 5．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝，P(C)＝，则P(A＋B)＝________ . 答案： 解析：因为随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝，P(C)＝，所以P(B)＝1－P(C)＝，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 题型一　事件关系的判断 例1　盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}． (1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的积事件是什么事件？ [思路点拨]　根据事件运算的定义解题，对于事件C和事件D需列出其包含的所有结果． 解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故D＝A＋B. (2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3个红球，故CA＝A. 学生用书第70页 事件间运算方法 1．利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． 2．利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．　　 对点练1.在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题： (1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件． 解：(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生， 所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3. 同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F，G；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5. 且易知事件C1与事件D1相等， 即C1＝D1. (2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}， 所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6). 同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G. 题型二　互斥事件与对立事件的判定及应用 例2　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E. [思路点拨] →→→ 解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件． (2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件． (3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件． (4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件． (5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件． 辨析互斥事件与对立事件的思路 辨析互斥事件与对立事件，可以从以下几个方面入手： 1．从公式的角度看 (1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件，如果事件A，B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)≤1. (2)对立事件是必有一个发生的互斥事件，事件A的对立事件通常记作，有P(A)＋P()＝P(A＋)＝1. 2．从发生的角度看 (1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生． (2)两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生．即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例． 3．从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．　　 学生用书第71页 对点练2.一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次正面向上”的互斥事件是(　　) A．至多有一次正面向上 B．两次都正面向上 C．只有一次正面向上 D．两次都反面向上 答案：D 解析：对于A，至多有一次正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次都正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次都反面向上与至少有一次正面向上，不能够同时发生，是互斥事件．故选D. 题型三　概率公式的应用 例3　某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示： 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 (1)求派出医生至多2人的概率； (2)求派出医生至少2人的概率． [思路点拨] →→ 解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.　 (1)“派出医生至多2人”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)方法一　“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 方法二　“派出医生至少2人”的概率为1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74. 应用概率的思想来解释日常生活中的现象 1．规律性：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中蕴含着规律性，而概率恰是这种规律性在数量上的反映． 2．频率与概率不同：对一定数量的试验来说，事件发生的频率并不一定与概率完全相等．概率是频率的科学抽象，要通过大量重复试验来求得其近似值，因而概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性.　　 对点练3.某运动员射击一次，若事件A(中靶)的概率为0.95，则的概率＝________；若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率＝________；事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率＝________． 答案：0.05　0.3　0.25 解析：P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.依据题意，事件C与事件B是对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3.依据题意，事件C是事件D与事件的和事件，且事件D与事件互斥，故P(C)＝P(D)＋P()，故P(D)＝P(C)－P()＝0.3－0.05＝0.25. 1．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则(　　) A．A⊆B　　　　　　　 B．A＝B C．A与B互斥 D．A与B对立 答案：C 解析：由于事件A与B不可能同时发生，故A与B互斥． 2．国庆节期间，某商场抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项，已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.1，那么本次活动中，中奖的概率为(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.7 答案：B 解析：由于中一等奖，中二等奖为互斥事件，故中奖的概率为0.1＋0.1＝0.2.故选B. 3．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 答案：B 解析：因为支付方式只有现金和非现金两种，所以群体中的成员有三类：只用现金、只用非现金和既用现金又用非现金，所以不用现金支付的概率为用非现金支付的概率，即1减去另外两类概率的和，所以不用现金支付的概率为1－(0.45＋0.15)＝0.4.故选B. 4．给出四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙未射中目标”．其中是互斥事件的有________对． 答案：2 解析：某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生，故①是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”可能同时发生，故②不是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”这两个事件不可能同时发生，故③是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙未射中目标”，前者包含后者，故④不是互斥事件．综上可知，①③是互斥事件，故共有2对事件是互斥事件． 学科网（北京）股份有限公司 $