第5章 5.3.2 事件之间的关系与运算(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

5.3.2　事件之间的关系与运算 学业标准 素养目标 1.理解事件之间的关系与运算，能进行事件的混合运算．(难点) 2．理解互斥、对立事件的概念，会用加法公式求事件的概率．(重点) 1.通过事件之间的关系与运算等相关概念的学习，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过区别互斥与对立事件，以及求互斥与对立事件的概率，主要提升学生逻辑推理等核心素养． 导学1 事件之间的关系与运算 　一粒骰子掷一次，记事件C：出现的点数为偶数，事件D：出现的点数小于3，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事件C，D至少有一个发生时呢？ [提示]　事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点数为2，即C∩D＝{2}．事件C，D至少有一个发生，掷出的点数可以是1，2，4，6.即C＋D＝{1，2，4，6}． ◎结论形成 名称 定义 表示法 图示 包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”) A⊆B(或B⊇A) 相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等” A＝B 事件的和 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) A＋B(或A∪B) 事件的积 给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) AB(或A∩B) 导学2 事件的互斥与对立 　一枚骰子掷一次，事件E：出现的点数为3，事件F：出现的点数大于3，事件G：出现的点数小于4，则事件E与F能够同时发生吗？事件G与F能够同时发生吗？事件G与F可能都不发生吗？ [提示]　事件E与F不能同时发生，事件G与F不能同时发生，但二者必有一个发生． ◎结论形成 1．事件的互斥与对立 名称 定义 图形表示 符号表示 互斥事件 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥 AB＝∅ 对立事件 给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作 A＝∅且A＋＝Ω 2.互斥事件的概率加法公式 (1)在一次试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． (2)如果事件A1，A2，…，An是两两互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 3．对立事件的概率 事件A的对立事件记为，则P(A)＋P()＝1． 点睛 对立事件与互斥事件的比较 (1)对立事件是针对两个事件来说的．一般地，若两个事件对立，则这两个事件是互斥事件；若两个事件是互斥事件，则未必是对立事件，所以对立事件是特殊的互斥事件． (2)若A，B为对立事件，则在一次试验中，事件A与B只能发生其中一个，并且必然发生其中一个． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)互斥事件一定对立．(　　) (2)对立事件一定互斥．(　　) (3)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．(　　) (4)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B).(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数． 在上述各对事件中，是对立事件的是(　　) A．①　　　　　　　　　 B．②④ C．③ D．①③ 解析　从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件． 答案　C 3．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　) A．A⊆B B．A＝B C．A＋B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3 解析　设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{1}，A＋B＝{1，2，3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3. 答案　C 4．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，则不中奖的概率是 ． 解析　中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65. 答案　0.65 题型一　事件关系的判断（一题多变） 　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由． [解析]　(1)是互斥事件，不是对立事件． 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件． 理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件． 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件． [母题变式] 1．(变结论)本例的条件不变，除本例中三个小题给出的事件，你还能给出互斥事件吗？ 解析　互斥事件有：“抽出的牌点数大于7”与“抽出的牌点数小于5”，“抽出方块”与“抽出梅花”等．(答案不唯一) 2．(变结论)本例的条件不变，除本例中三个小题给出的事件，你还能给出对立事件吗？ 解析　对立事件有：“抽出的牌点数大于或等于7”与“抽出的牌点数小于7”，“抽出的牌点数为偶数”与“抽出的牌点数为奇数”等．(答案不唯一) [素养聚焦]　　利用互斥事件、对立事件的概念进行事件类型的判断，体现了数学抽象的核心素养． 判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一样的，二是考虑事件的交事件和并事件，可考虑用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可列出全部结果，再进行分析.　 [触类旁通] 1．在掷骰子试验中，可以得到以下事件： A：{出现1点}；B：{出现2点}；C：{出现3点}；D：{出现4点}；E：{出现5点}；F：{出现6点}；G：{出现的点数不大于1}；H：{出现的点数小于5}；I：{出现奇数点}；J：{出现偶数点}． 请判断下列两个事件的关系： (1)B H；(2)D J； (3)E I；(4)A G. 解析　因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况， 所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H； 同理D⊆J，E⊆I； 又易知事件A与事件G相等，即A＝G. 答案　(1)⊆　(2)⊆　(3)⊆　(4)＝ 题型二　事件的运算 　抛掷两枚骰子，一枚是红色的，一枚是蓝色的．设A＝“红骰子的点数是2”，B＝“蓝骰子的点数是3”． (1)写出样本空间Ω，并用样本点表示事件A，B； (2)计算A∩B； (3)计算A∪B． [解析]　(1)用(i，j)表示红骰子的点数是i，蓝骰子的点数是j，则试验的样本空间是 Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． 依题意A＝{(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)}，B＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}． (2)A∩B＝{(2，3)}＝“红骰子是2点，蓝骰子是3点”． (3)A∪B＝{(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(1，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}＝“红骰子是2点或蓝骰子是3点”． 事件间运算方法 (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． (2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.　 [触类旁通] 2．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}． 问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的积事件是什么事件？ (3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么关系？C与F的积事件是什么？ 解析　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A＋B． (2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A． (3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D． 题型三　互斥事件、对立事件的概率（一题多解） 　某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示： 人数 0 1 2 3 4 大于或等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 (1)求派出医生至多2人的概率； (2)求派出医生至少2人的概率． [解析]　设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04. (1)“派出医生至多2人”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)解法一　“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 解法二　“派出医生至少2人”的概率为1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74. 求复杂事件的概率的两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件．一般情况下，当一个事件包含多个基本事件时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). (2)将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，若需要分类太多，而其对立事件的分类较少，则可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.　 [触类旁通] 3．在第3，6，16路公共汽车的一个停靠站，假定这个停靠站只能停靠一辆汽车，有一位乘客需5分钟之内赶到厂里，他可乘3路或6路车到厂里．已知3路车、6路车在5分钟内至此停靠站的概率分别为0.2和0.6，则此乘客在5分钟内能乘到所需车的概率为(　　) A．0.2　　　　　　　　 B．0.6 C．0.8 D．0.12 解析　乘客在这个停靠站乘3路车与其乘6路车是不可能同时发生的，是互斥事件，所以所求的概率是0.2＋0.6＝0.8. 答案　C 知识落实 技法强化 1.事件之间的关系与运算． 2.事件的互斥与对立． 1.若A⊆B，则P(A)≤P(B). 2.只有两事件A，B互斥时，才有P(A＋B)＝P(A)＋P(B). [必备知识·基础巩固] 1．某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是(　　) A．至少有一次中靶 B．两次都中靶 C．两次都不中靶 D．恰有一次中靶 解析　某人在打靶中，连续射击2次的所有可能结果为： ①第一次中靶，第二次中靶； ②第一次中靶，第二次未中靶； ③第一次未中靶，第二次中靶； ④第一次未中靶，第二次未中靶． 至多有一次中靶包含了②③④三种可能，故其对立事件为①，即两次都中靶． 答案　B 2．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有(　　) ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有1件为次品”，B：“所取3件中有2件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有1件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有1件是正品”； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 解析　在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件． ∵所取3件中有1件为次品与所取3件中有2件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件． ∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有1件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件． ∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有1件是正品都包含2件次品1件正品，以及1件次品2件正品，以及3件正品，所以④不是互斥事件，故选B． 答案　B 3．已知事件A，B，C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是(　　) A．事件A发生一定导致事件C发生 B．事件B发生一定导致事件C发生 C．事件发生不一定导致事件发生 D．事件发生不一定导致事件发生 解析　由已知可得A⊆C，又因为A⊆B，B⊆C，如图，事件A，B，C用集合表示为 则选项A，B正确，事件⊆，则C正确，D错误，故选D． 答案　D 4．掷一枚骰子，设事件A＝“出现的点数不大于3”，B＝“出现的点数为偶数”，则(　　) A．A∪B＝Ω B．事件A与B是互斥事件 C．A∩B＝{2} D．事件A与B是对立事件 解析　掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果， 即Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{1，2，3}，B＝{2，4，6}， 故A∪B＝{1，2，3，4，6}≠Ω，A∩B＝{2}，即事件A，B既不互斥也不对立． 显然C正确． 答案　C 5．已知事件A与事件B是互斥事件，P(A∪B)＝0.8，P(B)＝0.2，则P(A∩B)＝ ，P(A)＝ ． 解析　由于A，B互斥，所以事件A，B不可能同 时发生，因此，P(A∩B)＝0，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，所以P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.8－0.2＝0.6. 答案　0　0.6 6．同时抛掷两枚骰子，5点，6点都没有的概率为，则至少出现一个5点或6点的概率为 ． 解析　设“既没有5点，也没有6点”的事件为A，“至少出现一个5点或6点”的事件为B，则A与B是对立事件．所以P(B)＝1－P(A)＝1－＝. 答案　 7．同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数和是2，3，4，…，11，12中的一个，事件A＝{2，5，7}，事件B＝{2，4，6，8，10，12}，那么A＋B＝ ，A＝ ． 解析　∵事件A＝{2，5，7}， 事件B＝{2，4，6，8，10，12}， ∴A＋B＝{2，4，5，6，7，8，10，12}， ＝{3，5，7，9，11}，∴A＝{5，7}． 答案　{2，4，5，6，7，8，10，12}　{5，7} 8．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“只订乙报”，事件C为“至少订一种报纸”，事件D为“至多订一种报纸”，事件E为“一种报纸也没订”，事件F为“两种报纸都订”．根据上述事件回答下列问题： (1)请列举出包含关系的事件； (2)用和事件的定义判断上述事件中哪些是和事件； (3)从上述事件中找出几对互斥事件和对立事件． 解析　(1)由题意可知，A发生，C一定发生，即A⊆C．同理，B⊆C，F⊆C，A⊆D，B⊆D，E⊆D． (2)由题意及事件的相互关系可知，C＝A＋B＋F，D＝A＋B＋E，全集Ω＝A＋F＋B＋E. (3)由互斥事件及对立事件的定义知，互斥事件有A和B，A和E，A和F，B和E，B和F，E和F，D和F，C和E；对立事件有C和E，D和F. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)在一次随机试验中，事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是(　　) A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件 B．(A1∪A2)∪A3是必然事件 C．P(A2∪A3)＝0.8 D．P(A1∪A2)≤0.5 解析　事件A1，A2，A3不一定两两互斥，所以P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)－P(A1A2)≤0.5，P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3)≤0.8，P[(A1∪A2)∪A3]≤1，所以(A1∪A2)∪A3不一定是必然事件，无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件，所以A、B、C说法错误．故选ABC． 答案　ABC 10．甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%，甲不输的概率为90%，则乙不输的概率为(　　) A．60% B．50% C．40% D．30% 解析　设A＝{甲获胜}，B＝{甲不输}，C＝{甲、乙和棋}，则A，C互斥，且B＝A＋C，则P＝P＝P＋P， 所以P＝P－P＝40%，乙获胜的概率为10%， 则乙不输的概率为50%＋10%＝60%. 答案　A 11．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是 ． 解析　由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9. 答案　[0，0.9] 12．黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表： 血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35 已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．则： (1)任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是 ； (2)任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是 ． 解析　任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，①“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′，根据概率的加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64；③B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37. 答案　(1)0.64　(2)0.37 13．某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能乘何种交通工具去？ 解析　(1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件任意两个都不可能同时发生，故它们彼此互斥，故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7，即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为P， 则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8. (3)由于0.3＋0.2＝0.5，0.1＋0.4＝0.5，1－(0.3＋0.2)＝0.5，1－(0.4＋0.1)＝0.5，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． [核心价值·探索创新] 14．甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶的概率为 ；乙射击一次，不中靶的概率为 ． 解析　由P1满足方程x2－x＋＝0知，P－P1＋＝0，解得P1＝.因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，所以P2＝，因此甲射击一次，不中靶的概率为1－＝， 乙射击一次，不中靶的概率为1－＝. 答案　　 15．从某大学数学系图书室中任选一本书．设A表示事件“任选一本书，这本书为数学书”；B表示事件“任选一本书，这本书为中文版的书”；C表示事件“任选一本书，这本书为2020年后出版的书”．问： (1)AB表示什么事件？ (2)在什么条件下有ABC＝A? (3)⊆B表示什么意思？ (4)如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？ 解析　(1)AB表示事件“2020年或2020年前出版的中文版的数学书”． (2)在“图书室中所有数学书都是2020年后出版的且为中文版”的条件下才有ABC＝A． (3)⊆B表示2020年或2020年前出版的书全是中文版的． (4)是．＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．同时＝B又可等价成＝A，因而也可解释为：图书室中所有的数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书． 学科网（北京）股份有限公司 $