第4章 4.5 增长速度的比较(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

　增长速度的比较 学业标准 素养目标 1.通过平均变化率比较指数函数、一次函数、对数函数的增长速度的差异．(难点) 2．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．(重点、难点) 1.通过对线性增长、指数增长等不同函数增长含义的认识，培养学生直观想象等核心素养． 2．通过实际例子抽象出相应的函数模型，主要提升学生数学建模核心素养． 导学 用平均变化率比较函数的增长速度 　计算f1(x)＝6x－8，f2(x)＝2x，f3(x)＝log100x在[3，4]上的平均变化率，并比较它们的大小． [提示]　＝6，＝8， ＝log100＜log10010＝， 故＜＜. ◎结论形成 1．平均变化率 (1)定义 函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率为＝． (2)作用 平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值将增加个单位．因此可用平均变化率来比较函数值变化的快慢． 2．三种函数的增长速度的比较 (1)三种函数的性质及增长速度比较 名称 指数函数 对数函数 一元一次函数 解析式 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝kx(k＞0) 单调性 在(0，＋∞)上单调递增 图象(随x的增大) 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 直线逐渐上升 增长速度(随x的增大) y的增长速度越来越快 y的增长速度越来越慢 y值逐渐增加 增长关系 存在一个x0，当x＞x0时，ax＞kx＞logax (2)指数增长与线性增长 将类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长，是爆炸式增长). 将类似于一次函数的增长称为线性增长(或直线增长). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数logx的衰减速度越来越慢．(　　) (2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　) (3)若a>1，n>0，对于任意x0∈R，一定有.(　　) (4)当a>1，k>0时，对∀x∈(0，＋∞)，总有logax<kx<ax. (　　) 解析　(1)由函数y＝logx的图象可知其衰减速度越来越慢． (2)一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变． (3)如23<32. (4)如a＝2，k＝，x＝8. 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　) A．y＝3x　　　　　　　 B．y＝1 000x C．y＝log2x D．y＝x3 解析　指数函数模型增长速度最快． 答案　A 3．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1 解析　在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3. 答案　B 4．函数f(x)＝2x－8，g(x)＝3x，h(x)＝log2x在区间[1，2]上的平均变化率分别为 、 、 ． 解析　＝2，＝＝6， ＝＝1. 答案　2　6　1 题型一　求函数的平均变化率 　(1)函数f(x)＝x2＋＋4在区间[1，2]上的平均变化率为 ． (2)函数f(x)＝ln x在区间[1，e]上的平均变化率为 ． [解析]　(1)Δx＝2－1＝1，Δy＝f(2)－f(1)＝4＋＋4－(1＋1＋4)＝， ∴f(x)在[1，2]上的平均变化率为. (2)Δy＝f(e)－f(1)＝1. ∴＝， 即f(x)在[1，e]上的平均变化率为. [答案]　(1)　(2) 平均变化率的求解步骤 (1)确定区间[x1，x2](x1＜x2). (2)求出Δx＝x2－x1. (3)求出Δy＝y2－y1. (4)求出平均变化率＝.　 [触类旁通] 1．y＝2x＋1在[1，2]内的平均变化率为(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析　＝＝2. 答案　C 题型二　平均变化率的大小比较 　已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率的大小． [解析]　因为＝＝2×3a， ＝＝2，－＝log3，又a＞1，所以2×3a＞2×31＝6，log3＜log3＝log32＜log33＝1＜6，因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 不同函数平均变化率大小的比较 计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小.　 [触类旁通] 2．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝3x，分别计算这两个函数在区间[3，4]上的平均变化率，并比较它们的大小． 解析　f(x)＝2x在区间[3，4]上的平均变化率为＝＝＝8.g(x)＝3x在区间[3，4]上的平均变化率为＝＝＝54. 由于8＜54，故f(x)在区间[3，4]上的平均变化率比g(x)小． 题型三　函数增长速度的应用(（一题多变） 　(1)高为H，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图象是(　　) (2)函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. ①请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； ②结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 024)，g(2 024)的大小． [解析]　(1)水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的．故选B． (2)①C1对应的函数为g(x)＝x3， C2对应的函数为f(x)＝2x. ②因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)， f(10)＞g(10)，所以1＜x1＜2，9＜x2＜10， 所以x1＜6＜x2，2 024＞x2， 从图象上可以看出当x1＜x＜x2时， f(x)＜g(x)，所以f(6)＜g(6)； 当x＞x2时，f(x)＞g(x)， 所以f(2 024)＞g(2 024). 又因为g(2 024)＞g(6)， 所以f(2 024)＞g(2 024)＞g(6)＞f(6). [答案]　(1)B　(2)略 [母题变式] (变条件)在本例(2)中，若将函数“f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第①题呢？ 解析　由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x. [素养聚焦]　本题主要考查指数函数及幂函数增长速度的比较，突出考查直观想象核心素养． 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.　 [触类旁通] 3．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 解析　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)； 当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)； 当x＞x2时，g(x)＞f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x). 知识落实 技法强化 1.平均变化率的意义． 2.指数、对数函数与一元一次函数增长速率的比较． 几种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型． (3)当要求增长速度比较均匀，常常选用一次函数模型． [必备知识·基础巩固] 1．下图是红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　) A．指数函数：y＝2t　　　 B．对数函数：y＝log2 t C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2 解析　由散点图可知，与指数函数拟合最贴切． 答案　A 2．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是(　　) A．2x＞x＞lg x B．2x＞lg x＞x C．x＞2x＞lg x D．lg x＞x＞2x 解析　结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x＞x＞lg x. 答案　A 3．(多选题)若函数f(x)＝x2由x＝1至x＝1＋Δx的平均变化率的取值范围是(1.975，2.025)，则增量Δx的取值可以为(　　) A．－0.1 B．0.001 C．0.01 D．0.1 解析　函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的增量 Δf＝f(1＋Δx)－f(1)＝(Δx＋1)2－12 ＝Δx2＋2Δx， ∴f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝Δx＋2. ∵Δx＋2∈(1.975，2.025)， ∴Δx∈(－0.025，0.025)，故选BC． 答案　BC 4．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x＞1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x.如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体对应的函数关系是(　　) A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x 解析　由增长速率可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D． 答案　D 5．函数f(x)＝－3x＋9，g(x)＝在[1，2]上的平均变化率分别为 ． 解析　＝－3，＝－. 答案　－3，－ 6．已知f(x)＝3x＋2在任意区间上的平均变化率为 ，当自变量每增加1个单位时，函数值增加 个单位． 解析　设区间[a，a＋1]， 则＝＝3， 当自变量每增加1个单位时，函数值增加3个单位． 答案　3　3 7．若函数f(x)在任意区间内的平均变化率比g(x)＝1在同一区间内的平均变化率大，则函数f(x)可以为 ． 答案　f(x)＝x(答案不唯一) 8．比较函数f(x)＝4x，g(x)＝x＋1在区间[a－1，a](a＜0)上的平均变化率的相对大小． 解析　因为＝＝4a-1(4－1)＝3×4a-1， ＝＝，又a＜0， 所以＝3×4a-1＜3×40-1＝3×4-1＝，所以函数f(x)在区间[a－1，a]上的平均变化率比g(x)的小． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]内的平均气温，不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有(　　) 解析　由题图知，当t＝6时，C(t)＝0，故C不正确；当t＝12时，C(t)＝10，故D不正确；在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃，故B不正确． 答案　BCD 10．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中最有可能正确的是(　　) 解析　即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A，D；即时价格若一直上升，则平均价格也应一直上升，排除B．(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A、D)，故选C． 答案　C 11．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是 ． 解析　当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比x ln x增长得要快． 答案　y＝x2 12．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示． 以下四种说法： ①前三年中，产量增长的速度越来越快； ②前三年中，产量增长的速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产； ④第三年后，年产量保持不变． 其中说法正确的序号是 ． 解析　由t∈[0，3]的图象联想到幂函数y＝xa(0<a<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确． 答案　②③ 13．已知函数f(x)的定义域为R，分别判断下列条件下f(x)的单调性： (1)f(x)在任意区间内的平均变化率均为正数； (2)f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝2在同一区间内的平均变化率小． 解析　(1)f(x)是增函数，理由如下：取x1，x2∈R且x1＜x2，则x2－x1＞0， 由题意知f(x)在任意区间[x1，x2]内的平均变化率＝＞0.所以f(x2)－f(x1)＞0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)是增函数． (2)f(x)是减函数，理由如下：取任意区间[x1，x2]，则f(x)在该区间上的平均变化率为＝，g(x)＝2在该区间上的平均变化率为＝＝＝0.由题意＜0. 因为x1＜x2，所以x2－x1＞0, 所以f(x2)－f(x1)＜0， 所以f(x1)＞f(x2)，所以f(x)是减函数． [核心价值·探索创新] 14．小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据： x/月份 2 3 4 5 6 … y/元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 … 小明选择了模型y＝x，他的同学却认为模型y＝更合适？ (1)试问用哪个函数模型更合适； (2)大约在几月份小学生零花钱超过100元？ 解析　(1)根据表格提供的数据，画出散点图，并结合y＝x及y＝的图象(如图所示)，观察可知，这些点基本都落在y＝的图象上或附近，因此用y＝这一模型更符合． (2)当＝100时，2x＝300. 则x＝log2300＝＝≈8.230. ∴x＝9. ∴大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元． 15．甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款，捐款方式如下： 甲公司：在10天内，每天捐款5万元给灾区；乙公司：在10天内，第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元；丙公司：在10天内，第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番． 你觉得哪个公司最慷慨？ 解析　三个公司在10天内捐款情况如下表所示． 公司捐款数量/万元时间 甲 乙 丙 第1天 5 1 0.1 第2天 5 2 0.2 第3天 5 3 0.4 第4天 5 4 0.8 第5天 5 5 1.6 第6天 5 6 3.2 第7天 5 7 6.4 第8天 5 8 12.8 第9天 5 9 25.6 第10天 5 10 51.2 总计 50 55 102.3 由上表可以看出，丙公司捐款最多，为102.3万元，即丙公司最慷慨． 学科网（北京）股份有限公司 $