4.6 函数的应用(二)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

4.6　函数的应用(二) 4.7　数学建模活动：生长规律的描述(略) 知识层面 1.了解幂函数、指数函数、对数函数的广泛应用．　2.通过数据的合理分析，能建立恰当的函数模型，解决实际问题． 素养层面 通过三种函数模型应用题的学习，培养学生的数学建模素养；借助拟合函数模型的学习，提升数学运算、数据分析素养． 爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理．例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式．假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%. 问题：五期后的本利和是多少？ 提示：解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五期的本利和为y＝1000(1＋2.25%)5. 知识点　常见的几类函数模型及其应用 1．指数函数模型 能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，且b≠1)表达的函数模型叫做指数函数模型，若a＞1，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“爆炸式增长”．指数类型的函数在实际问题中的应用比较广泛，主要有以下两类． (1)平均增长率问题：若原来产值或产量的基数为N，平均增长率为P，则对于时间x的产值或产量y，可以用公式y＝N(1＋P)x(N≠0)表示． (2)储蓄中的复利计算问题：若本金为a元，每期利率为r，本息和为y，存期为x，则y＝a(1＋r)x(a≠0). 2．对数函数模型 能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，且a≠1)表达的函数模型叫做对数函数模型，若a＞1，则其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着自变量的逐渐增大，函数值增大的速度越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”． 有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，对于此类问题，我们要从中提炼出数据，代入函数关系式求出参数的值，然后解答实际问题． 3．幂函数模型 能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随xα中α的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型． 学生用书第40页 1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则每年沙漠面积增加值y关于年数x的函数关系较为近似的是(　　 ) A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 答案：C 解析：当x＝1时，排除选项B；当x＝3时，排除选项A、D，检验C项较为接近． 2．某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为(　　) A． B． C．－1 D．－1 答案：D 解析：设1月份产值为a，月平均增长率为x，则有a(1＋x)11＝ma，所以x＝－1. 3．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　 ) 答案：B 解析：v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小．故选B. 4．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的细沙，则再经过________min，容器中的细沙只有开始时的八分之一． 答案：16 解析：将代入函数得a＝ae-8b，所以－8b＝ln ，b＝ln 2，所以y＝ae.当y＝a时，a＝ae，解得t＝24，24－8＝16(min)，所以填16. 5．我国将正常视力规定为5分，无光感规定为0，使所有视力等级连成一个完整的数字系统.5分记录法是用5分减去视角的对数值来表达视力：L＝5－t lg α(L表示视力，α表示视角，t为参数)，已知近视力表最大视标的视角为100′，此时α＝102，L＝3.0，则α＝10-0.1时，L＝________． 答案：5.1 解析：由3＝5－t lg 100，解得t＝1，所以L＝5－lg α，将α＝10-0.1代入上式，得L＝5－lg (10-0.1)＝5＋0.1＝5.1. 题型一　指数函数模型的应用 例1　一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)， 则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝， 解得x＝1－. (2)设经过m年剩余面积为原来的， 则a(1－x)m＝a，即＝， 即＝，解得m＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年． 对点练1.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，若当空气温度为30 ℃时，某物体的温度从90 ℃下降到60 ℃用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________ ℃. 答案：37.5 解析：因为θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，又因为当空气温度为30 ℃时，某物体的温度从90 ℃下降到60 ℃用时14分钟，所以60＝30＋(90－30)e-14k，解得e-14k＝，则再经过28分钟后，相当于当过了42分钟后，θ＝30＋(90－30)e-42k＝30＋60×(e-14k)3＝30＋60×＝37.5 (℃). 题型二　对数函数模型的应用 例2　2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕、落、回”圆满收官．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国 学生用书第41页 在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0×ln 计算火箭的最大速度v m/s，其中v0 m/s是喷流相对速度，m kg是火箭(除推进剂外)的质量，M kg是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为1000 m/s. (1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值． 参考数据：ln 200≈5.3，2.718<e<2.719. 解：(1)当总质比为200时，v＝1 000×ln 200， 由参考数据得v≈1 000×5.3＝5 300 m/s， 所以当总质比为200时，A型火箭的最大速度约为5 300 m/s. (2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1 500 m/s，总质比变为， 要使火箭的最大速度至少增加500 m/s， 则需1 500×ln －1 000×ln ≥500， 化简，得3ln －2ln ≥1， 所以ln ()3－ln ()2≥1，整理得ln ≥1， 所以≥e，则≥27 e， 由参考数据，知2.718<e<2.719， 所以73.386<27×e<73.413， 所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74. 对点练2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　) A．1010.1　　　　　　　　 B．10.1 C．lg 10.1 D．10-10.1 答案：A 解析：由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，lg ＝－25.25，所以lg ＝－10.1，lg ＝10.1，＝1010.1.故选A. 题型三　拟合函数模型的建立与应用 例3　某品牌手机销售商今年1月份、2月份、3月份分别销售该品牌手机1万部、1.2万部、1.3万部，为了估计以后每个月的销量，以这三个月的销量为依据，用一个函数模型来描述该品牌手机的月销量y(单位：万部)与月份x的关系，现从二次函数或函数y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)中选用一个拟合效果好的函数进行模拟．已知4月份的销量为1.37万部，则5月份的销量为________万部． [思路点拨]　 →→→→ 答案：1.375 解：设二次函数的解析式为f(x)＝px2＋qx＋r(p，q，r为常数，p≠0)， 依题意，有 解得 所以f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7， 则f(4)＝1.3. 对于函数g(x)＝a·bx＋c， 依题意，有解得 所以g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，则g(4)＝1.35. 经比较可知，1.35比1.3更接近4月份的实际销量1.37. 则函数g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4的拟合效果较好． g(5)＝－0.8×0.55＋1.4＝1.375，故5月份的销量为1.375万部． 建立拟合函数模型的步骤 第一步：收集数据； 第二步：根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图； 第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型； 第四步：选择其中的几组数据求出函数模型； 第五步：将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)；若符合实际，则进入下一步． 第六步：用所得函数模型解释实际问题． 由于根据散点图建立的函数模型有时候并不唯一，阅卷时不好评分，近几年高考中，命题人倾向于给出几个待选的函数模型，要求考生判断哪个模型更合理，更倾向于解释函数模型．　　 学生用书第42页 对点练3.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，还可以美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表． 上市时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个能够最佳反映芦荟种植成本Q与上市时间t的关系的函数：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt； (2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本． 解析：(1)由所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的关系的函数不可能是常值函数，用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，而上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述． 将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得 解得a＝，b＝－，c＝. 所以，能够最佳反映芦荟种植成本Q与上市时间t的关系的函数为Q＝t2－t＋. (2)由第(1)问知，当t＝－＝150时，芦荟种植成本最低，为×1502－×150＋ ＝100(元/10 kg). 1．如图给出了某种豆类生长枝数y(枝)与时间t(月)的图象，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是(　　) A．y＝2t2　　　　　 B．y＝log2t C．y＝t3 D．y＝2t 答案：B 解析：因为由图象知模型增长越来越缓慢，所以只有B符合条件． 2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用(　　) A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 答案：D 解析：结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件．故选D. 3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 答案：C 解析：由题意知，4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝10＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C. 4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则到第7年它们的数量为________只． 答案：300 解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)中，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，则y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300. 学科网（北京）股份有限公司 $