4.4 幂函数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

4.4　幂函数 知识层面 1.了解幂函数的概念，能正确区分幂函数与指数函数．　2.熟悉α＝1，2，3，，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．　3.能利用幂函数的图象与性质解决一些综合性问题． 素养层面 通过幂函数概念与图象的学习，培养数学抽象素养；借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养． 1．给出函数：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x，思考并回答： 问题1.这些函数的解析式有什么共同的特征？这类函数解析式的一般形式应如何表示？ 提示：解析式都具有幂的形式而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数，一般形式可用y＝xα表示． 2．在同一坐标系中分别画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x的图象，思考并回答： 问题2.这些函数图象有什么共同特征？ 提示：五个幂函数的图象均过定点(1，1). 问题3.在第一象限，函数图象具有哪些特点？ 提示：①当α>0时，y＝xα在第一象限内的图象由左向右呈上升趋势． ②当α<0时，y＝xα在第一象限内图象由左向右呈下降趋势． 知识点一　幂函数的概念 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数． 2．幂函数的特征 (1)xα的系数为1； (2)xα的底数是自变量x，指数为常数α； (3)项数只有一项． 符合以上三个特征的函数才是幂函数． 知识点二　常见幂函数的图象与性质 1．五个具体幂函数的图象 画函数图象的步骤：列表、描点、连线．幂函数的图象也可以按照此步骤画出，下面我们在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，如图所示． 2．五个具体幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为 增函数 在[0，＋∞) 上是增函数； 在(－∞，0] 上是减函数 在R上 为增函数 在[0，＋∞) 上是增函数 在(0，＋∞) 上是减函数； 在(－∞，0) 上是减函数 图象过定点 (0，0)，(1，1) (0，0)，(1，1) (0，0)，(1，1) (0，0)，(1，1) (1，1) 学生用书第33页 [微提醒]　(1)除函数y＝x外，其余四个函数都具有奇偶性． (2)在第一象限内，函数y＝x-1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近，我们称x轴和y轴为该函数图象的渐近线． 1．下列结论正确的是(　　) A．幂函数图象一定过原点 B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数 C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数 D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数 答案：D 解析：函数y＝x-1的图象不过原点，故A不正确；y＝x-1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确． 2．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(8)＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 答案：C 解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图象过点(3，)，可得＝3α，所以α＝，则幂函数f(x)＝x，所以f(8)＝8＝4. 3．幂函数f(x)＝x的大致图象为(　　) 答案：B 解析：由于f(0)＝0，所以排除C、D选项．而f(－x)＝(－x)＝ ＝＝x＝f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．故选B. 4．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm-1在(0，＋∞)上单调递减，则m的值为(　　) A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2 答案：A 解析：由函数为幂函数得m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝x-2，符合题意．当m＝2时，f(x)＝x，不合题意． 综上m＝－1. 5．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________． 答案：1，3 解析：当α＝1，3时，函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数；当α＝－1时，y＝的定义域是{x|x∈R且x≠0}；当α＝时，y＝x＝的定义域是{x|x≥0}． 题型一　幂函数的概念 例1　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1). 其中幂函数的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　) A．1 B．－3 C．－1 D．3 (3)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)＝________． [思路点拨]　(1)依据幂函数的定义逐个判断． (2)依据幂函数的定义列方程求m. (3)先设f(x)＝xα，再将点代入求α. 答案：(1)B　(2)A　(3) 解析：(1)符合幂函数定义只有①⑥，其余的不是幂函数．故选B. (2)因为函数是幂函数，所以m2＋2m－2＝1，所以m＝1或m＝－3，又函数在第一象限为增函数，所以m＝1.故选A. (3)设f(x)＝xα，由题意得3α＝，所以α＝－2，所以f(x)＝x-2，所以f(4)＝4-2＝. 求幂函数解析式的依据和常用方法 1．依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． 2．常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α.　　 对点练1.(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　) A． B．1 C． D．2 (2)已知f(x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数，则a＋b＝(　　) A．2 B．1 C． D．0 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.故选C. (2)因为f(x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.故选A. 题型二　幂函数的图象与性质 例2　给定一组函数解析式：①y＝x；②y＝x；③y＝x－；④y＝x－；⑤y＝x；⑥y＝x－．请把图象对 学生用书第34页 应的函数解析式的序号填在图象下面的括号内． [思路点拨]　根据幂函数的定义域、奇偶性、单调性等性质确定相应的图象． 答案：⑥　④　③　②　①　⑤(先上排，再下排) 解析：由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知α＜0，而第一个图象关于原点对称，则为奇函数；第二个图象关于y轴对称，则为偶函数；第三个图象在y轴左侧无图象，即在(－∞，0)上无意义，因而这三个图象从左到右看，下面的括号内应分别填⑥④③.由第四、五个图象在第一象限的图象特征可知0＜α＜1，而第四个图象关于y轴对称，则为偶函数；第五个图象在y轴左侧无图象，即函数在(－∞，0)上无意义，因而这两个图象从左到右看，下面的括号内应分别填②①.第六个图象对应的幂指数大于1，故填⑤. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数较大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). 2．依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝x或y＝x3)来判断．　　 对点练2.(1)已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________； (2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________． 答案：(1)f(x)＝x-1　(2)n<q<m<p 解析：(1)因为函数的图象与x轴，y轴都无交点，所以m2－1<0，解得－1<m<1；因为图象关于原点对称，且m∈Z，所以m＝0，所以f(x)＝x-1. (2)过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0， 当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；当x>1时，指数越大，图象越高，所以m>q，综上所述n<q<m<p. 题型三　幂函数的单调性质及应用 角度1　比较幂值的大小 例3　比较下列各组数的大小： (1)和； (2)3－和3.1－； (3)4.1，3.8－和(－1.9)． [思路点拨]　(1)(2)小题构造幂函数，借助幂函数的单调性来比较．(3)小题需引入中间量进行比较． 解：(1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数，且＞，所以＞. (2)因为函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.1，所以3－＞3.1－. (3)因为函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，y＝x－在(0，＋∞)上为减函数， 所以4.1＞1＝1，0＜3.8－＜1－＝1. 又(－1.9)＜0，所以(－1.9)＜3.8－＜4.1. 角度2　已知单调性求参数值或范围 例4　已知幂函数y＝x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)<(3－2a)的实数a的取值范围． 解：因为幂函数y＝x3m-9(m∈N*)在(0，＋∞)上单调递减， 所以3m－9<0，解得m<3. 又因为m∈N*，所以m＝1，2. 因为幂函数y＝x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1. 则原不等式可化为(a＋1)<(3－2a). 因为y＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减， 所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得<a<或a<－1. 故实数a的取值范围为(，)∪(－∞，－1). 对点练3.(1)比较下列各题中两个值的大小： ①2.3，2.4； ②()，()； ③(－0.31)，0.35. (2)若(3－2m)＞(m＋1)，则实数m的取值范围为________________． 答案：(2) 解析：(1)①因为y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，所以2.3<2.4. ②因为y＝x－为(0，＋∞)上的减函数，且<， 所以()>(). ③因为y＝x为R上的偶函数， 所以(－0.31)＝0.31. 又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数， 且0.31<0.35， 所以0.31<0.35，即(－0.31)<0.35. (2)因为函数y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以解得－1≤m＜.故实数m的取值范围为. 学生用书第35页 1．函数f(x)＝－x3的图象是(　　) 答案：B 解析：f(x)＝－x3与幂函数y＝x3的图象关于x轴对称，因此选项B的图象适合．故选B. 2．已知幂函数f(x)＝x4-m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于(　　) A．1 B．2 C．1或3 D．3 答案：C 解析：因为f(x)＝x4-m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0，即m<4.又因为m∈N*，所以m＝1，2，3.又因为f(x)＝x4-m是奇函数，所以4－m是奇数，因此m＝1或m＝3.故选C. 3．比较大小：2.3________2.4.(填“＞”或“<”) 答案：< 解析：因为y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，所以2.3<2.4. 4．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表： x 1 f(x) 1 则f(x)＝________；不等式f(|x|)≤2的解集是________． 答案：x　{x|－4≤x≤4} 解析：由表中数据，知＝()α，所以α＝，所以f(x)＝x.由f(|x|)≤2，得|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4. 学科网（北京）股份有限公司 $