4.4 幂函数-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦幂函数的概念、图象与性质，通过生活实例抽象概念，对比指数函数明确区别，探究α=1,2,3,1/2,-1时五类幂函数的图象及单调性、奇偶性等性质，构建“情境-抽象-辨析-探究-应用”的学习支架。 以买菜支付、正方形面积等实例引入，培养数学抽象能力，通过对比表格与图象分析性质，发展直观想象与逻辑推理。例题分层设计，课中辅助教师引导探究，课后分层作业助力学生查漏补缺，强化数学运算。

4.4　幂函数 学习任务 1．了解幂函数的概念，能正确区分幂函数与指数函数．(数学抽象) 2．熟悉α＝1，2，3，，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．(直观想象) 3．能利用幂函数的图象与性质解决一些综合性问题．(逻辑推理、数学运算) 给出下列五个问题： ①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数． ②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数． ③如果正方体的棱长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数． ④如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝，这里a是S的函数． ⑤如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度v＝t-1 m/s，这里v是t的函数． 问题：(1)上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？ (2)你能根据指数运算的定义，把问题(1)中的五个函数改写成统一形式吗？ [提示]　(1)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝， ⑤y＝． (2)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝，⑤y＝x-1． 知识点1　幂函数的概念 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α是常数． 幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有什么样的区别与联系？ [提示]　 函数 解析式 相同点 不同点 指数函数 y＝ax(a>0且a≠1) 右边都是幂的形式 指数是自变量，底数是常数 幂函数 y＝xα(α∈R) 底数是自变量，指数是常数 知识点2　幂函数的图象与性质 1．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图象如图． 2．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴． (4)幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性 α的分类 y＝xα的奇偶性 α∈N α是偶数 偶函数 α是奇数 奇函数 α＝(p，q互质，p，q∈Z，q≠1) q是奇数 p是奇数 奇函数 p是偶数 偶函数 q是偶数 既不是奇函数，也不是偶函数 (5)幂指数对幂函数图象的影响 当α＝1时，y＝x是一条直线； 当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)是一条不包含点(0，1)的直线； 当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表所示： α＝ α＜0 0＜α＜1 α＞1 p，q都是奇数 p为偶数，q为奇数 p为奇数，q为偶数 1．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝－x2 C．y＝2x D．y＝2x2 A　[根据幂函数的定义知，y＝x2是幂函数，y＝不是幂函数，y＝2x是指数函数，不是幂函数，y＝2x2不是幂函数．] 2．已知幂函数f (x)的图象经过点，则f的值等于(　　) A．　　 B．4 C．8　　 D． D　[设幂函数f＝xα，幂函数f的图象经过点，所以f＝5α＝， 解得α＝－1，所以f＝x-1，则f＝8-1＝．] 3．在下列幂函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上是增函数的是(　　) A．y＝x-2　　 B．y＝ C．y＝　　 D．y＝ D　[函数y＝x-2为偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，A错；函数y＝不是偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，B错；函数y＝是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，C错；函数y＝是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，D对．] 4．(教材P37习题4-4AT4改编)设a＝0.70.4，b＝0.40.7，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系为________． a>c>b　[因为y＝0.4x在R上单调递减，所以0.40.4>0.40.7，即c>b；因为y＝x0.4在(0，＋∞)上单调递增，所以0.70.4>0.40.4，即a>c．所以a＞c＞b．] 类型1　幂函数的概念 【例1】　函数f (x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f (x)是增函数，求f (x)的解析式． [解]　根据幂函数定义， 得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f (x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f (x)＝x-3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．所以f (x)的解析式为f (x)＝x3． 　判断幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即：(1)系数为1；(2)指数为常数；(3)后面不加任何项．反之，若一个函数为幂函数，则该函数必具有这种形式． [跟进训练] 1．已知f (x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f (x)是： (1)正比例函数？(2)反比例函数？ (3)二次函数？(4)幂函数？ [解]　(1)若f (x)为正比例函数， 则⇒m＝1． (2)若f (x)为反比例函数， 则⇒m＝－1． (3)若f (x)为二次函数， 则⇒m＝． (4)若f (x)为幂函数， 则m2＋2m＝1， 所以m＝－1±． 类型2　幂函数的图象及应用 【例2】　【链接教材P36例2】 (1)幂函数y＝xm2－3m－4(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　) A．－1＜m＜4　　　　　 B．0或2 C．1或3 D．0，1，2或3 (2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图所示，则将m，n，p，q的大小关系用“＜”连接起来结果是________． (3)当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限． (1)D　(2)n＜q＜m＜p　(3)四　[(1)因为幂函数图象在第一象限内为减函数，所以m2－3m－4＜0，解得－1＜m＜4，又图象关于y轴对称，说明m2－3m－4为偶数，又m∈Z，所以m的值为0，1，2或3． (2)过原点的指数α＞0，不过原点的α＜0，所以n＜0，当x＞1时，在直线y＝x上方的α＞1，下方的α＜1，所以p＞1，0＜m＜1，0＜q＜1；x＞1时，指数越大，图象越高，所以m＞q．综上所述，n＜q＜m＜p． (3)幂函数y＝x-1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限． 所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第四象限．] [母题探究] 1．(变条件)若本例(3)中条件改为“α∈”时，则幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限． 二、四　[幂函数y＝x-3，y＝的图象经过第一、三象限；y＝的图象经过第一象限．所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第二、四象限．] 2．(变结论)若本例(3)中条件不变，试确定使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值． [解]　α＝1，2，3时，函数y＝xα的定义域为R；当α＝2时，y＝xα为偶函数，当α＝1，3时y＝xα为奇函数．当α＝－1时，y＝x-1的定义域是{x|x∈R且x≠0}．当α＝时，y＝的定义域是{x|x≥0}． 综上，使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α＝1或3． 【教材原题·P36例2】 例2　讨论函数y＝的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． [解]　因为y＝＝，所以不难看出函数的定义域是实数集R． 记f (x)＝，则 f (－x)＝＝＝＝f (x)， 所以函数y＝是偶函数．因此，函数的图象关于y轴对称． 通过列表描点，可以先作出y＝在x∈[0，＋∞)时的函数图象， 再根据对称性，可作出它在x∈(－∞，0]时的图象，如图4-4-4所示． 由图象可以看出，函数y＝在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增． 　解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为： ①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝或y＝x3)来判断． 类型3　幂函数性质的简单应用 【例3】　【链接教材P36例1】 试比较下列各组数的大小： (1)1.13，0.893； (2)2．，1．； (3)，1，． [解]　(1)因为函数y＝x3在区间[0，＋∞)上是增函数，又1.1＞0.89，所以1.13＞0.893． (2)因为函数y＝在区间[0，＋∞)上是增函数，又2.1＞2＞1.8，所以2.＞＞1.． (3)因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞)上是增函数，又1＝11.3，＜1，所以＜11.3＝1． 因为函数y＝在区间[0，＋∞)上是增函数，又＝1，3＞1，所以＞＝1．于是＜1＜． 【教材原题·P36例1】 例1　比较下列各题中两个值的大小： (1)2.31.1和2.51.1； 和． [解]　(1)考察幂函数y＝x1.1，因为其在区间[0，＋∞)上是增函数，而且2.3＜2.5，所以 2．31.1＜2.51.1． (2)考察幂函数y＝，因为其在区间(0，＋∞)上是减函数，而且a2＋2≥2，所以 ． 　利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法 [跟进训练] 2．(1)设a＝20.4，b＝e0.4，c＝log0.40.5，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b>a>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a (2)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (1)A　(2)C　[(1)因为b＝e0.4>20.4＝a>1，0<c＝log0.40.5<log0.40.4＝1，所以b>a>c． (2)根据幂函数性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件． 故选C．] 1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　) A．y＝　　　　 B．y＝ C．y＝　　 D．y＝ D　[A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．] 2．函数y＝的图象大致是图中的(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D B　[∵函数y＝是奇函数，且α＝＞1，∴函数图象为B．] 3．若幂函数f (x)＝(m2－m－1)x1-m是偶函数，则实数m＝(　　) A．－1 B．2 C．3 D．－1或2 A　[因为f (x)＝(m2－m－1)x1-m为幂函数， 所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2， 又f (x)是偶函数， 则1－m为偶数，故m＝－1．] 4．若幂函数f (x)的图象过点(64，2)，则f (x)＜f (x2)的解集为________． (1，＋∞)　[设幂函数f (x)＝xα， 由于它的图象过点(64，2)， ∴2＝64α， ∴α＝，f (x)＝，则f (x)＜f (x2)， 即， ∴0≤x＜x2， ∴x＞1，故原不等式的解集为(1，＋∞)．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．简单幂函数的性质有哪些？ [提示]　(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1． (2)α＞0时，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)α＜0时，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数． 2．如何求幂函数的定义域和值域？ [提示]　幂函数y＝xα的定义域和值域的求法分为五种情况： (1)当α＝0时，y＝x0的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＝1}． (2)当α为正整数时，y＝xα的定义域为R，α为正偶数时，值域为[0，＋∞)，α为正奇数时，值域为R． (3)当α为负整数时，y＝xα的定义域为{x|x≠0}，α为负偶数时，值域为(0，＋∞)，α为负奇数时，值域为{y|y≠0}． (4)当α为正分数(m，n互质)时，化为y＝，根据m，n的奇偶性求解． (5)当α为负分数－(m，n互质)时，化为y＝，根据m，n的奇偶性求解． 课时分层作业(八)　幂函数 一、选择题 1．下列函数是幂函数的是(　　) A．y＝5x　　　　　　　　 B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 B　[函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．] 2．已知点在幂函数f (x)的图象上，则f (x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 A　[设幂函数为f (x)＝xα，因为图象过点，所以＝，解得α＝－1，故f (x)＝x-1，又f (－x)＝(－x)-1＝－f (x)且f (x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数，因此A正确，B，C，D错误．] 3．已知幂函数的图象经过点P(8，4)，则该幂函数的大致图象是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D C　[设幂函数为f (x)＝xα，则8α＝4，23α＝22，得3α＝2，得α＝，所以f (x)＝，定义域为R，且为偶数，关于y轴对称，所以排除A，B，f (0)＝0，排除D．故选C．] 4．幂函数y＝f (x)的图象过点(2，)，则函数y＝x－f (x)的值域是(　　) A．(－∞，＋∞) B． C． D． C　[设f (x)＝xα，代入点(2，)得2α＝，所以α＝，所以f (x)＝，则y＝x－，令t＝，t≥0， 所以y＝t2－t＝－≥－， 函数y＝x－f (x)的值域是．] 5．(教材P37习题4-4AT4改编)将a＝，b＝1.，c＝这三个数按从小到大的顺序排列，正确的是(　　) A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．a<c<b A　[因为a＝，b＝，c＝，y＝，y＝在[0，＋∞)上都是增函数，>，>， 所以， 所以，即c<a<b．] 二、填空题 6．函数y＝的定义域是________，值域是________． [答案]　(0，＋∞)　(0，＋∞) 7．已知幂函数f (x)＝(m－1)2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k．则实数m的值是________，当x∈[1，2]时，记f (x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，则实数k的取值范围是________． 0　[0，1]　[因为幂函数f (x)＝(m－1)2在(0，＋∞)上单调递增，则解得m＝0． 此时，f (x)＝x2，当x∈[1，2]时，1≤x2≤4，即A＝[1，4]， 当x∈[1，2]时，g(x)＝2x－k∈[2－k，4－k]，即B＝[2－k，4－k]， 因为A∪B＝A，则B⊆A，所以解得0≤k≤1，因此，实数k的取值范围是[0，1]．] 8．若幂函数f (x)＝ (m∈Z)的图象与坐标轴无公共点，且关于原点对称，则实数m的取值集合为________． {0，2}　[幂函数f (x)＝ (m∈Z)的图象与坐标轴无公共点，且关于原点对称，可得m2－2m－3＜0(m∈Z)，并且m2－2m－3为奇数，解得m＝0，或m＝2，则实数m的取值集合为{0，2}．] 三、解答题 9．已知幂函数f (x)＝(2m2－3m－1)xm(其中m为实数)在(0，＋∞)上单调递减． (1)若f (a)＝，求a2＋a-2的值； (2)解关于x的不等式lg f (x)＞f (16)． [解]　(1)幂函数f (x)＝(2m2－3m－1)xm(其中m为实数)在(0，＋∞)上单调递减， ∴解得m＝－，∴f (x)＝，∴f (a)＝＝，即＝4， ＝16，得a-1＋2＋a＝16，即a-1＋a＝14，∴(a-1＋a)2＝196，得a2＋2＋a-2＝196， 即a2＋a-2＝194． (2)由(1)得lg f (x)＞f (16)，即，解得不等式解集为． 10．(多选)已知幂函数f (x)＝ (m，n∈N＋，m，n互质)，下列关于f (x)的结论正确的是(　　) A．m，n是奇数时，幂函数f (x)是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数f (x)是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数f (x)是偶函数 D．0<<1时，幂函数f (x)在(0，＋∞)上是减函数 AB　[f (x)＝＝，当m，n是奇数时，幂函数f (x)是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数，幂函数f (x)是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，幂函数f (x)在x<0时无意义，故C中的结论错误；当0<＜1时，幂函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，故D中的结论错误．] 11．(多选)若4x－4y＜5－x－5－y，则下列关系正确的是(　　) A．x＜y B．y-3＞x-3 C．＜ D．＜3－x ACD　[由4x－4y＜5－x－5－y，得4x－5－x＜4y－5－y，令f (x)＝4x－5－x，则f (x)＜f (y)，因为y＝4x，y＝－5－x在R上都是增函数，所以f (x)在R上是增函数，所以x＜y，故A正确；当x＝1，y＝2时，＝y-3＜x-3＝1，故B错误；由x＜y知，故C正确；因为y＝在R上单调递减，由x＜y知，＜，即＜3－x，故D正确．故选ACD．] 12．若幂函数f (x)过点(2，8)，则满足不等式f (a－3)＋f (a－1)≤0的实数a的取值范围是________． (－∞，2]　[由题意，不妨设f (x)＝xα，因为幂函数f (x)过点(2，8)，则f (2)＝2α＝8，解得α＝3，故f (x)＝x3为定义在R上的奇函数，且f (x)为增函数，因为f (a－3)＋f (a－1)≤0，则f (a－3)≤－f (a－1)＝f (1－a)，故a－3≤1－a，解得a≤2，从而实数a的取值范围是(－∞，2]．] 13．已知幂函数f (x)＝(m2－5m＋7)x－m-1(m∈R)为偶函数． (1)则f＝________； (2)若f (2a＋1)＝f (a)，则实数a的值为________． (1)16　(2)－1或－　[(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或3． 当m＝2时，f (x)＝x-3是奇函数，不满足题意， ∴m＝2舍去； 当m＝3时，f (x)＝x-4，满足题意， ∴f (x)＝x-4， ∴f＝＝16． (2)由f (x)＝x-4为偶函数和f (2a＋1)＝f (a)可得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，解得a＝－1或a＝－．] 14．已知幂函数f (x)＝(k∈N＋)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数． (1)求函数f (x)的解析式； (2)若a>k，比较(ln a)0.7与(ln a)0.6的大小． [解]　(1)因为幂函数f (x)＝(k∈N＋)在区间(0，＋∞)上是减函数，所以k2－2k－3<0， 解得－1<k<3． 因为k∈N＋，所以k＝1，2． 又因为幂函数f (x)＝(k∈N＋)的图象关于y轴对称， 所以k＝1，函数的解析式为f (x)＝x-4． (2)由(1)知，a>1． 当1<a<e时，0<ln a<1， (ln a)0.7＜(ln a)0.6； 当a＝e时，ln a＝1，(ln a)0.7＝(ln a)0.6； 当a>e时，ln a＞1，(ln a)0.7＞(ln a)0.6． 综上所述，当1＜a＜e时，(ln a)0.7＜(ln a)0.6； 当a＝e时，(ln a)0.7＝(ln a)0.6； 当a＞e时，(ln a)0.7＞(ln a)0.6． 15．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线．设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂 函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么αβ等于__________． 1　[因为BM＝MN＝NA，点A(1，0)，点B(0，1)， 所以M，N，分别代入y＝xα，y＝xβ，则α＝lo，β＝lo． 所以α·β＝lo·lo＝1．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $