课时分层评价55 球的表面积和体积-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价55　球的表面积和体积 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9小题，每小题5分，共45分) 1.已知球的表面积为144π cm2，则该球的体积是(　　) A.64π cm3 B.144π cm3 C.216π cm3 D.288π cm3 答案：D 解析：设球的半径为R，则4πR2＝144π，R＝6，所以球的体积为R3＝×63＝288π cm3.故选D. 2.已知球O的体积为36π，球O被一个平面所截得的截面面积为5π，则球心O到该截面的距离为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：设球O的半径为R，则R3＝36π，解得R＝3.由截面圆面积为5π，得截面圆半径r＝，所以球心O到该截面的距离d＝＝2.故选B. 3.春节期间，某景点为迎接八方来客在门口搭建了一个雪人雕像(如图)，其下半部分可看成直径约为2 m的球体，则雪人下半部分的体积(单位：m3)约为(　　) A.π B.π C.π D.π 答案：A 解析：因为直径约2 m，所以球的体积为×13＝.故选A. 4.(多选题)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球面面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 答案：CD 解析：因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则圆柱的侧面积为2πR·2R＝4πR2，故A错误；圆锥的母线长l＝＝R，侧面积为πRl＝πR2，故B错误；球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确；因为V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2，故D正确.故选CD. 5.已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设圆锥的底面半径为R，母线长为l.由题意可得πR2＋πRl＝4πR2，解得l＝3R，则圆锥的高h＝＝2R，所以＝＝.故选C. 6.(多选题)“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径.记球的表面积为S球，体积为V球；圆柱的表面积为S圆柱，体积为V圆柱，则(　　) A.S圆柱∶S球＝3∶2 B.V圆柱∶V球＝3∶2 C.S圆柱∶V圆柱＝3∶2 D.S球∶V球＝3∶2 答案：AB 解析：设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，则S球＝4πR2，V球＝πR3，S圆柱＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，所以S圆柱∶S球＝6πR2∶4πR2＝3∶2，故A正确；V圆柱∶V球＝2πR3∶πR3＝3∶2，故B正确；S圆柱∶V圆柱＝6πR2∶2πR3＝3∶R，故C错误；S球∶V球＝4πR2∶πR3＝3∶R，故D错误.故选AB. 7.若球O1，O2表面积之比＝，则它们的半径之比＝　　　　. 答案： 解析：因为球O1，O2表面积之比＝，所以＝，则＝. 8.一个正方体的内切球的表面积和它的外接球的表面积之和是16π，则该正方体的体积为　　　　. 答案：8 解析：设正方体的棱长为2a，则正方体的内切球的半径为a，外接球的半径为a，依题意得4πa2＋4π(a)2＝16π，解得a＝1，所以正方体的体积为(2a)3＝8a3＝8. 9.(新定义)我国古代数学名著《九章算术》中给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d＝.规定：“一个近似数与它准确数的差的绝对值叫这个近似数的绝对误差，相对误差指的是测量所造成的绝对误差与被测量[约定]真值之比.”那么用这个公式所求的直径d结果的相对误差是　　　　. 答案：1－ 解析：设球的直径为d，则V＝π·，由近似公式求得的直径的近似值为＝d，因为＜1，所以＜1，所以绝对误差为d，相对误差为＝＝1－. 10.(13分)如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球(球A和球B)，圆柱的底面直径为2＋，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球B. (1)求球A的体积； (2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比. 解：(1)设圆柱的底面半径为R，小球的半径为r，且r＜R， 由圆柱与球的性质知AB2＝(2r)2＝(2R－2r)2＋(2R－2r)2，即r2－4Rr＋2R2＝0. 因为r＜R，所以r＝(2－)R＝(2－)×＝1， 所以球A的体积为V＝πr3＝π. (2)球B的表面积S1＝4πr2＝4π，圆柱的侧面积S2＝2πR·2R＝4πR2＝(6＋4)π， 所以圆柱的侧面积与球B的表面积之比为. (11－13小题，每小题5分，共15分) 11.如图，圆O1和圆O2是球O的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心O在两个截面之间，记圆O1，圆O2的半径分别为r1，r2，若r2＝3r1＝3，O1O2＝4，则球O的表面积为(　　) A.40π B.42π C.44π D.48π 答案：A 解析：设球O的半径为R，依题意，O＋＝R2＝O＋，则＋1＝O＋9，解得OO2＝1，因此R2＝10，所以球O的表面积S＝4πR2＝40π.故选A. 12.(新情境)辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图①)出土于辽宁省喀左县小波汰沟.此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕.它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图②所示.已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为(　　) A.R B.R C.R D.R 答案：A 解析：由球的半径为R，则圆柱体的高为R，此鼎主体部分的容积约为：×πR3＋πR2×R＝πR3，此鼎主体部分外表面积约为×4πR2＋2πR×R＝4πR2，所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为：＝R.故选A. 13.把一个铁制的底面半径为4，侧面积为π的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为　　　　. 答案：2 解析：设球的半径为R，实心圆柱的母线长为＝，由实心圆柱的体积等于球的体积得π×42×＝πR3，解得R＝2. 14.(15分)如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积. 解：过O作几何体的截面如图所示，过C作CO1⊥AB于点O1，由题意得∠BCA＝90°， 因为∠BAC＝30°，AB＝2R， 所以AC＝ABcos ∠BAC＝2R×＝R，BC＝ABsin ∠BAC＝2R×＝R，CO1＝＝＝R. 所以S球＝4πR2，＝π×R×R＝ πR2，＝π×R×R＝πR2， 所以S几何体表＝S球＋＋＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2. 又V球＝πR3，＝·AO1×π×C＝πR2·AO1，＝·BO1×π×C＝πR2·BO1， 所以V几何体＝V球－＝πR3－ ＝πR3－πR2＝πR3－πR2×2R＝πR3. 15.(5分)葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄、多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上、中、下三个几何体的高度之比为3∶3∶4，且总高度为20 cm，则下面球的体积与上面球的体积之差约为(　　) A.1 184 cm3 B.364 cm3 C.256 cm3 D.148 cm3 答案：D 解析：由葫芦摆件总高度为20 cm，且高度之比为3∶3∶4，可得两个球的直径分别为6 cm，8 cm，故它们的半径分别为3 cm，4 cm，所以下面球的体积与上面球的体积之差为π×≈×3×＝148 cm3.故选D. 16.(17分)如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球面直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C. (1)求球冠所在球的半径R(结果用h，r表示)； (2)已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球面的表面积. 解：(1)如图所示，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆的圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高，依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r， 在Rt△OO1A中，OA2＝O＋O1A2，即R2＝(R－h)2＋r2，整理化简得：R＝，所以球冠所在球的半径R＝. (2)因为球冠底面圆周长C＝500π， 则r＝＝250， 又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65 000π， 则h＝＝，由(1)知R＝， 即65 000＝＋2502，解得R＝650， 于是得＝＝，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π， 所以，球冠所在球面的表面积是1 690 000π. 学科网（北京）股份有限公司 $