课时分层评价48 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实4、等角定理以及异面直线)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价48　刻画空间点、线、面位置关系的公理 (基本事实4、等角定理以及异面直线) (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9小题，每小题5分，共45分) 1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　) A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 答案：D 解析：可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).故选D. 2.如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是(　　) 答案：D 解析：对于A，显然P，Q，N在正方体的上底面，且三点不共线，M不在正方体的上底面，所以P，Q，N，M四点不共面，故A错误；对于B，如图①所示， MN∥BA，即A，B，M，N四点共面，即Q，M，N三点共面，且三点不共线，又P∉平面ABMN，所以P，Q，N，M四点不共面，故B错误；对于C，显然P，M，N在正方体的下底面，且三点不共线，Q不在正方体的下底面，所以P，Q，N，M四点不共面，故C错误；对于D，如图②所示， 连接AC，则PQ∥AC，又AC∥MN，所以PQ∥MN，所以P，Q，N，M四点共面，故D正确.故选D. 3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝，则异面直线CD与A1C1所成的角的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：A 解析：因为CD∥C1D1，所以∠A1C1D1是异面直线CD与A1C1所成的角或其补角.在直角△A1C1D1中，A1D1＝AD＝1，C1D1＝AB＝，tan ∠A1C1D1＝＝，所以∠A1C1D1＝30°，所以异面直线CD与A1C1所成的角是30°.故选A. 4.已知直线a，b，c，若a∥b，且b与c相交，则a与c的位置关系是(　　) A.相交 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 答案：B 解析：因为b与c相交，所以b与c确定一个平面，不妨设为α，又a∥b，所以a⊂α或a∥α，若a⊂α，则a与c相交，若a∥α，则a与c异面；综上可得a与c的位置关系是相交或异面.故选B. 5.已知空间三条直线l，m，n.若l与m异面，且l与n异面，则(　　) A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 答案：D 解析：空间三条直线l，m，n.若l与m异面，且l与n异面，则m与n可能平行(图①)，也可能相交(图②)，也可能异面(图③)，故选D. 6.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，B1C1的中点，则(　　) A.BD与EF异面 B.A1B1与EF的夹角为45° C.DD1与EF异面 D.A1B与EF的夹角为45° 答案：AD 解析：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，B1C1的中点.对于A，BD与EF异面，故A正确；对于B，A1B1与BB1的夹角为90°. 又BB1∥EF，所以A1B1与EF的夹角为90°，故B错误；对于C，由DD1∥BB1∥EF，得DD1与EF共面，故C错误；对于D，A1B与BB1的夹角为45°. 又BB1∥EF，所以A1B与EF的夹角为45°，故D正确.故选AD. 7.若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a与b的位置关系不可能是　　　　.(填“相交”“平行”“异面”之一) 答案：相交 解析：若两个平面平行，则两个平面没有公共点，所以分别在两个平面内的直线可能平行，可能异面，不可能相交.故答案为相交. 8.已知空间两个角∠ABC与∠A'B'C'，若AB∥A'B'，BC∥B'C'，∠ABC＝66°，则∠A'B'C'＝　　　　. 答案：66°或114° 解析：因为AB∥A'B'，BC∥B'C'，故∠A'B'C'＝66°或∠A'B'C'＝114°. 9.在空间四边形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为6和8，异面直线AC与BD所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为　　　　. 答案：6 解析：设AB，BC，CD，AD的中点分别为H，E，F，G，连接EF，FG，GH，HE，如图所示.由题意可得HE＝FG＝AC＝3，GH＝EF＝BD＝4，且HE∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形. 因为异面直线AC与BD所成的角为60°，所以直线HG与HE所成的角等于60°. 所以S四边形EFGH＝GH·HEsin 60°＝4×3×＝6. 10.(13分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点. 求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形； (2)∠BMC＝∠B1M1C1. 证明：(1)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以AD＝A1D1，且AD∥A1D1. 又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，所以AM＝A1M1且AM∥A1M1， 所以四边形AMM1A1为平行四边形，所以MM1＝AA1且MM1∥AA1. 又AA1＝BB1且AA1∥BB1，所以MM1＝BB1且MM1∥BB1， 所以四边形BB1M1M为平行四边形. (2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，所以B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，所以C1M1∥CM. 因为∠BMC和∠B1M1C1对应边分别平行，且方向相同，所以∠BMC＝∠B1M1C1. (11－13小题，每小题5分，共15分) 11.在以下四图中，直线a与直线b可能平行的位置关系只能是(　　) 答案：C 解析：对于A、B、D，平面α，β内的两直线异面，则a与b异面；对于C，平面α，β内的两直线相交，两相交直线能确定一个平面，则a与b有可能平行.故选C. 12.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述中正确的是(　　) A.CC1与B1E是异面直线 B.CC1与AE共面 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1的夹角为60° 答案：C 解析：对于A，由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故CC1与B1E是共面的，故A错误；对于B，由于CC1在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故CC1与AE是异面直线. 同理，AE与B1C1是异面直线，所以B错误，C正确；对于D，AE与B1C1夹角就是AE与BC的夹角，且E是BC的中点，△ABC为正三角形， 所以AE⊥BC，即AE与B1C1的夹角为90°，故D错误.故选C. 13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为　　　　. 答案：2 解析：连接B1C，如图所示，设三棱柱的高为h，在Rt△ABB1和Rt△CBB1中，AB1＝CB1＝，所以△B1AC是等腰三角形.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，则∠B1AC是异面直线AB1与A1C1所成的角，所以cos ∠B1AC＝. 因为cos ∠B1AC＝＝，所以＝，所以h＝2，所以该三棱柱的高为2. 14.(15分)如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，C1C，A1A的中点. (1)证明：M，N，A1，B四点共面； (2)求异面直线PD1与MN所成角的余弦值的大小. 解：(1)证明：如图①所示，连接MN，A1B，CD1. 由已知可得，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B∥CD1. 又M，N分别是C1D1，C1C的中点，所以MN∥CD1， 所以MN∥A1B， 所以M，N，A1，B四点共面. (2)如图②所示，连接DP，D1P，CP，AC. 因为P是AA1的中点，所以PA＝PA1＝1. 又A1D1⊥A1A，所以PD1＝＝. 在Rt△PAC中，PC＝＝3. 又D1C＝＝2， 在△PCD1中，有PC＝3，D1C＝2，PD1＝， 由余弦定理可得，cos ∠PD1C＝＝＝. 又MN∥CD1，所以异面直线PD1与MN所成角的大小即等于直线PD1与CD1所成角的大小， 即异面直线PD1与MN所成角的余弦值为. 15.(5分)若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A，B，C，D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：A 解析：①由题意作图①：由图易知△OCD为等腰直角三角形，则直线AB与CD的夹角为45°； ②由题意作图②： 　 由图易知△OCD为等边三角形，则直线AB与CD的夹角为60°； ③由题意作图③：由图易知OA⊥AB，因为CD∥OA，则直线AB与CD的夹角为90°.而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为30°.故选A. 16.(17分)在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，DN∥BC，DN与EF相交于M.将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D'的位置，G，H分别为AD'和BC'的中点. 求证：(1)四边形EFGH为平行四边形； (2)∠C'EB＝∠D'MN. 证明：(1)因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， 所以EF∥AB且EF＝. 又C'D'∥EF，EF∥AB，所以C'D'∥AB. 因为G，H分别为AD'，BC'的中点， 所以GH∥AB且GH＝＝. 所以GH∥EF且GH＝EF，所以四边形EFGH为平行四边形. (2)折叠前DN∥BC，且DM∥CE，MN∥EB， 折叠后D'M∥C'E，MN∥EB， 所以∠C'EB与∠D'MN的对应边平行且方向相同， 所以∠C'EB＝∠D'MN. 学科网（北京）股份有限公司 $