6.3.3 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实4、等角定理)（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 3.解析：AC∥BD,∴.AC,BD确定一个平面B(推论3)，.a ∩B=CD,ABCB,又OEAB,∴.O∈B,又O∈a,∴.O∈CD,即 O,C,D三点共线. 答案：共线 4.解析：因为P∈AB,ABC平面ABC,所以P∈平面ABC,又 P∈a,平面ABC∩平面a=DE,所以P∈直线DE 答案：P∈直线DE 5.证明：因为D庄l,所以D和l可确定一平面，设为α. 因为A∈l,所以A∈a.又D∈a,所以ADCa. 同理BDCa,CDCa,所以AD,BD,CD都在平面a内，即它 们共面. 3.3刻画空间点、线、面位置关系的公理 (基本事实4、等角定理) 课前预习学案情境引入 1.提示：不一定.这两条直线可能相交、平行或异面. 2.提示：有.观察图形有∠AOB=∠A'O'B'. 知识梳理知识点 平行 [思考] 1.提示：不一定.没有公共点的两条直线也可能是异面直线。 2.提示：不能把异面直线误认为是分别在 不同平面内的两条直线，如图，虽然有 aCa,bCB,即a,b分别在两个不同的平 面内，但是因为a∩b=O,所以a与b不 是异面直线.所以，这种说法是不正确的 知识点三 对应平行 [思考] 3.提示：如图： C B A B (1) B (2) BB' (3) (1)两个角的两条边分别平行，并且方向相同（如图(1）)时， 两个角相等； (2)两个角的两条边分别平行，并且方向相反（如图(2）)时， 两个角相等； (3)两个角的两条边分别平行，其中一组对应边方向相同，另一 组对应边方向相反时，两个角互补 知识点四 不大于90°互相垂直 [思考] 4.提示：如图： D ·2 数学(s·必修第二册 位置关系 符号表示 点A在直线 AA,上 A∈AA 点A不在直线 A￠BC BC上 ,点A在平面AB CD内 A∈平面ABCD 点A不在平面 A1BCD1内 AE平面A1B,CD1 直线AB与直线 AA1相交于点A AB∩AA1=A 直线AB与直线 A,B1平行 AB∥A1B1 直线AB与直线 CC1异面 直线AB在平面 ABC平面ABCD ABCD内 直线D,B和平面 ABCD相交于 D,B∩平面ABCD=B 点B 直线A1B,和平面 AB1∥平面ABCD ABCD平行 平面ABCD与平 面BB1CC相交 平面ABCD∩平面 BB CC=BC 于直线BC 平面ABCD与平 平面ABCD∥平面 面A1B1C1D AB C D 预习自测 1.D2.B3.平行 课堂互动学案 [例1][证明](1)因为空间四边形ABCD中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA的中点， 所以EF∥AC.HG/AC.EF=HG=AC. 所以EF∥HG,EF=HG, 所以四边形EFGH是平行四边形. (2)因为空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC, CD,DA的中点， 所以EH/BD,EH=BD. 因为EF=号AC,AC=BD,所以EH=EE. 又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形」 变式训练 1.证明：如图.取BB1的中点G,连接 GC,GE. F为CC1的中点，，BGZC F, .四边形BGCF为平行四边形， ∴.BF ZGC. 又EGA1B1,AB1LD1C1, ∴.EGLD1C, .四边形EGC1D1为平行四边形，.ED1业GC1. ..BF ZED. 「例2][证明]如图，在正方体ABCD一 ABCD1中，取A1B:的中点M,则BF =AM=AB.连接ME,MB,FC. BF∥A,M, ∴.四边形AFBM为平行四边形， 66 参考答案 ∴.AF∥BM F,M分别为C1D1,A1B1的中点， ∴F MLC B1. .C BCB,..F M4CB, ∴.四边形F,MBC为平行四边形， ∴.BM∥FC. 又BM∥A1F,A1F∥FC. 取A1D的中点N, 连接EC,ND. 同理得AE∥CE: ∴∠EA1F与∠ECF1的两边分别对应平行，且两边方向对 应相反，.∠EA1F=∠ECF. 变式训练 2.证明：如图，连接EE, E :E1,E分别为A1D1,AD的中点， ..A EZAE, ∴，四边形A,E1EA为平行四边形， ..A AZE E. 又A1ALBB,.EELB1B, ,四边形EEBB1是平行四边形 ∴.EB1∥EB.同理EC∥EC. 又∠BEC1与∠BEC的两边分别对应平行，且方向相同， .∠B1EC=∠BEC [例3][证明]假设PN与MC不是异面直线，则存在一个 平面a,使得PVCa,MCCa,于是P∈a,C∈a,N∈a,M∈a. PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足，M是AB的中点，∴.点M 与点N不重合 M∈a,V∈a,∴.直线MNCa. A∈直线MN,B∈直线MN,.A∈a,B∈a. 即A,B,C,P四点均在平面a内，这与点P在平面ABC外 相矛盾. .假设不成立，即PN与MC为异面直线 变式训练 3.解：，直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1内，且没有交 点，∴两直线平行，：直线DD与直线DC相交于D1点， 点A,B,B1在平面A1BB1内，而，点C不在平面A1BB1内， 直线AB与直线B1C异面.同理，直线AB与直线B1C异 面. [例4][解]如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC -A1B1D1C1, 连接BD1,A1D1,AD, C 由四棱柱的性质知BD,∥AC1, 则∠A1BD1就是异面直线A1B A 与AC1所成的角. B 设AB=a, ,AA,与AC、AB所成的角均 为60°，且AB=AC=AA1, ∴.A1B=a,BD1=AC= 2AA1c0s30°=√3a B 又∠BAC=90°，∴在矩形ABDC中，AD=√2a, .A1D1=√2a,∴.A1D十A1B=BD,∠BA1D=90°， △山中Am部-后号 变式训练 4.解析：(1)连接BD1,DC(图略)，则BD1∥EF,故∠D1BC 为异面直线BC与EF所成的角或其补角 又B1D1=B1C=D1C,.∠D1B1C=60° (2)如图，取B,C的中点E1,连接A1E1,EC, AE∥A1E,∠E1AC是异面直线AE与AC所成的角 或其补角. ·26 五维课堂兰 A1C1=A1B1=AA1=2,B1C1=2√2， .∠B1A1C1=90°. 在正方形AA1CC中，A1C=2√2 .'A1E⊥BC1,AE⊥CC1,BC∩CC =C, .A1E1⊥平面BB1CC,.A1E1⊥CE1. ·在R△AEC中，cos∠E,A,C=AE AC 2_1 222 ∴.异面直线AE与A,C所成的角是60° 答案：(1)C(2)609 随堂步步夯实 1.D[由空间中两条直线的位置关系可知，直线a与b的位置 关系是平行或异面.] 2.C[如图所示的长方体ABCD D AB1CD1中，直线AA1与直线B,C,是 A 异面直线，与BC平行的直线有A1D1, AD,BC,显然直线AA1与A1D1相交，与 D BC异面.] B 3.解析：因四棱柱ABCD-ABCD1中 AA1∥DD.又AB∥CD,所以∠AAB与∠DDC相等.又 由于侧面A1ABB1,D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与 ∠ABB,∠DC1C也相等. 答案：∠D1DC,∠D1CC,∠A1B1B 4.解析：连接AD1,CD(图略)，则AD1∥BC1, ,∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，在正方体 ABCD-A1BCD1中，AC=AD1=CD1' ∴.∠CAD1=60°， 即AC与BC1所成角的大小为60°. 答案：60 5.证明：如图，连接AC M,N分别为棱CD,AD的中点， D MN4号AC 由正方体的性质可知ACLA'C', ∴.MNL号A'C',.A'N与MC'相交， 7 即A'N不平行于MC',MN平行于A'C', .四边形MNA'C'是梯形. §4.平行关系 4.1直线与平面平行 课前预习学案情境引入 提示：由线面平行的性质定理知，在ABC,D,中作过点P 的直线与BC平行： 知识梳理知识点一 交线l∥alCB [「思考] 1.提示：这条直线可能在平面α内. 2.提示：若a∥a,在a内除了与a平行的直线外，其余都与a异 面. 知识点二 平行l寸x aCa l∥a [思考] 3.提示：不对.直线a可能在a内 4.提示：不对.直线a可能在a内. 5,提示：线面平行的判定定理包含三个条件： ①直线l在平面a外，即l中a;②直线a在平面a内，即a二 a;③两直线l、a平行，即l∥a,三个条件缺一不可. 预习自测 1.CD2.B3.平行 课堂互动学案 [例1][证明]，'AB∥平面MNPQ,过AB的平面ABC交 平面MNPQ于MN,.AB∥MN. 又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ, .AB∥PQ,∴.MN∥PQ. 同理可证VP∥MQ. .四边形MNPQ为平行四边形.世五维课堂 数学s)·必修第二册 随堂。步步夯实 -● 1.已知点A,直线a,平面a,以下表述正确的个 5.已知A∈1，B∈l,C∈1，D庄l(如图)，求证：直 数是 ( 线AD,BD,CD共面. ①A∈a,ata→At;②A∈a,a∈a→A∈a; ③Ata,aCa→Ata;④A∈a,aCa→ACa. A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列命题中正确的是 () A.空间三点可以确定一个平面 B.三角形一定是平面图形 C.若A,B,C,D既在平面a内，又在平面B内， 则平面a和平面3重合 D.四条边都相等的四边形是平面图形 3.若直线1与平面a相交于点O,A,B∈l,C,D ∈a,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系 是 4.如图，已知D,E是△ABC 的边AC,BC上的点，平面 a经过D,E两点，若直线 AB与平面a的交点是P, a 则点P与直线DE的位置 C温馨提 关系是 学习至此，请完成配套训练 3.3刻画空间点、线、面位置关系的公理（基本事实4、等角定理） 课程标准 素养解读 1.了解空间中两条直线的位置关系 借助实物理解异面直线的概念，进行 2.理解空间平行线的传递性，会证等角定理 两条直线平行的判断，培养学生的直 3.理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形 观想象素养与逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] 1.如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两 用特号表示为 →a∥c. 条直线平行吗？ [知识点二]异面直线 (1)异面直线的定义和理解 ①定义：不同在任何一个平面内（不共面）的 两条直线称为异面直线 2.同一平面内，一个角的两条边与另一个角的两 ②特点：异面直线既不相交又不平行，即不同 条边分别平行，那么这两个角相等或互补.空 在任何一个平面内. 间中是否有类似规律？ (2)异面直线的表示 为了表示异面直线a,b不共面的特点，画图 时，通常用一个或两个平面衬托.如图： [知识梳理] [知识点一]基本事实4 a 同一条直线的两条直线互相平行. ·172· 第六章立体几何初步 五维课堂兰 (3)空间两条直线的位置关系 知识点四]异面直线所成的角 空间两条直线的位置关系有且只有三种： 如图，已知两条异面直线a, 共面（相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点 b,过空间任一点O作直线 直线平行直线：在同一平面内，没有公共点. a'∥a,b'∥b,这时a',b共 线：不同在任何一个平面内，没有公共点 异面 面，我们把a'与b'所成的 的角称为异面 思考1.没有公共点的两条直线一定是平 直线a,b所成的角（或夹角） 行直线吗？ 若两条异面直线a,b所成的角是直角，则称这 两条直线 ,记作a⊥b. 2思考4.以长方体为例，如何表示空间中点、 直线和平面的基本位置关系呢？ 2.异面直线就是在两个不同平面里的两条直 线，这种说法正确吗？ [预习自测] 知识点三]等角定理 1.空间两个角Q,B的两边分别对应平行，且 定理：如果空间中两个角的两条边分别 a=60°，则3为 那么这两个角相等或互补 A.60°B.120°C.30°D.60°或120° ?思考3.当两个角的两边分别对应平行，这 2.若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两 两个角什么时候相等，什么时候互补呢？ 对应平行，则这两个三角形 A.全等 B.相似 C.仅有一个角相等D.无法判断 3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， E,F分别是AB,AC上的点，且AE :EB=AF:FC,则EF与BC 的位置关系是 课堂。互动学案 题型一“ 基本事实4平行线的传递性的应用 规律方法 [例1] 如图所示，在空间四 证明两条直线平行的方法：(1)定义法，即 边形ABCD(不共面的四边 在同一平面内没有公共点的两条直线是平 形称为空间四边形)中，E, 行线；(2)利用三角形的中位线平行于第三 F,G,H分别为AB,BC, 边这一性质；(3)利用基本事实4平行线的 CD,DA的中点. 传递性；(4)利用平行四边形的对边互相平 (1)求证：四边形EFGH是 行这一性质 平行四边形： ◇[变式训练] (2)如果AC=BD,求证：四边形EFGH是 1.已知正方体ABCD-A1B1CD1,E,F分别为 菱形 棱AA1,CC1的中点.求证：BF LED1: [思路点拨]“利用基本事实4平行线的传 递性转化， ·173· 世五维课堂 数学s·必修第二册 题型三“空间等角定理及其应用 题型异面直线的判定或证明 [例2]如图，在正方体ABCD一 T例3]如图，若点P是△ABC A1B1C1D1中，E,F,E1,F1分 所在平面外一点，PA≠PB, 别为棱AD,AB,B1C1,C1D PN⊥AB,N为垂足，M为AB 的中点.求证：∠EA1F 的中点.求证：PN与MC为异 =∠E1CF1. 面直线 汇思路点拨]等角定理的结论是相等或互 汇思路点拨 补，在实际应用时，一般再借助于图形判断 是相等还是互补，还是两种情形都有可能、 利用异面直线的判定定理证明 法 反 提出假设，将假设作为条件，推 出矛盾，从而肯定结论 规律方法… 1.证明角相等常用以下三种方法： (1)利用三角形相似； (2)利用三角形全等； (3)利用空间等角定理 2.根据等角定理证明两角相等的步骤： (1)证明两个角的两条边分别对应平行； 规律方法 (2)证明两个角的两条边的方向相同或者 判定或证明异面直线的方法有两种： 相反 (1)定义法，由定义法判定两条直线不可能 ◇[变式训练] 在同一平面内，常用反证法； 2.如图所示，在正方体ABCD一 (2)判定定理法，过平面外一点与平面内 A1B1C1D1中，E,E1分别是棱 点的直线，和这个平面内不经过该点的 AD,A1D1的中点.求证：∠BEC 直线是异面直线， =∠B1E1C1. ◇[变式训练] 3.如图，正方体ABCD D A1B1C1D1,证明直线A1B A 与B1C,AB与B1C为异 面直线 D ·174· 第六章立体几何初步 五维课堂兰 题型四求异面直线所成角的大小 规律方法 [例4]在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与 1.平移法作异面直线所成角的策略： AC,AB所成的角均为60°，∠BAC=90°，且 (1)直接平移； AB=AC=AA1,求异面直线A1B与AC1所 (2)找等分点（如中点）平移； 成角的余弦值， (3)补形平移， 思路点拨了先通过找平行线作出角，再 2.求两条异面直线所成的角的一般步骤； 求解. (1)构造：根据异面直线所成角的定义，用平 移法作出异面直线所成的角或其补角； (2)证明：证明作出的角就是要求的角或其 补角： (3)计算：求角度，常利用三角形求解； (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它 就是所求异面直线所成的角；若求出的 角是钝角，则它的补角就是所求异面直 线所成的角 ◇[变式训练] 4.(1)如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E,F分别是 AB,AD的中点，则异面直线 BC与EF所成的角的大小为 ( A.30° B.45 C.60 D.90 (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AB =AA1=2,E为BC的中点，BC=2AE= 2√2，则异面直线AE与A1C所成的角 是 随堂。步步夯实 1.如果直线a与b没有公共点，那么直线a与b 5.在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中， 的位置关系是 M,N分别为棱CD,AD的中点.求证：四边形 A.异面 B.平行 MNA'C'是梯形. C.相交 D.平行或异面 2.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直 线，则它与另一条 A.相交 B.异面 C.相交或异面 D.平行 3.如图所示，四棱柱ABCD一 A1B1C1D1中，底面是梯 形，AB∥CD,则所有与 ∠A1AB相等的角 是 4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与 BC,所成角的大小是 @温馨提污 学习至此，请完成配套训练 ·175