6.3.3 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实4、等角定理)（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

素养培优 SU YANG PEI YOU 14.在正方体ABCD-AB,C,D 中，E,F分别为DC,B,C 的中点，AC∩BD=P,AC ∩EF=Q,如图. (1)求证：D,B,E,F四点 D 共面； (2)作出直线A,C与平面BDEF的交点R的 位置 解：(1)证明：由于CC1和BF在 0(0) 同一个平面内且不平行，故必相 交.如图，设交点为O,则OC= C,C.同理直线DE与CC1也相 交，设交点为O,则OC1=CC, 故0与O重合 3.3刻画空间点、线、面位置关 课程标准 1.了解空间中两条直线的位置关系 2.理解空间平行线的传递性，会证等角定理 3.理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形 课前 [情境引入] 1.如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直 线平行吗？ 提示：不一定.这两条直线可能相交、平行或异面 2.同一平面内，一个角的两条边与另一个角的两条边 分别平行，那么这两个角相等或互补.空间中是否 有类似规律？ 提示：有.观察图形有∠AOB=∠A'O'B'. [知识梳理] [知识点一]基本事实4 平行同一条直线的两条直线互相平行. b) 用符号表示 →a∥c. b∥c ·g 第六章立体几何初步 由此可证得DE∩BF=O,故D,B,F,E四点 共面」 (2)设平面DBFE为a.由于AA1∥CC1, 所以A1,A,C,C1四点共面（设为）. 因为P∈BD,BDCa,所以PE∈a 又P∈AC,ACC3,所以P∈3， 所以P∈(a∩3). 同理可证得Q∈(a∩3)，从而有a∩3=PQ. 连接A1C,交PQ于点R,因为A1CCB, 所以A,C与平面a的交点就是A,C与PQ的 交点 所以AC与PQ的交点R就是所求的交，点. 系的公理（基本事实4、等角定理） 素养解读 借助实物理解异面直线的概念，进行两条直线 平行的判断，培养学生的直观想象素养与逻辑 推理素养 预习学案 对应学生用书P172 [知识点二]异面直线 (1)异面直线的定义和理解 ①定义：不同在任何一个平面内（不共面）的两条 直线称为异面直线. ②特点：异面直线既不相交又不平行，即不同在任 何一个平面内 (2)异面直线的表示 为了表示异面直线a,b不共面的特点，画图时，通 常用一个或两个平面衬托.如图： (3)空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种： 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点 共面直线 平行直线：在同一平面内，没有公共点. 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 91 数学s·必修第二册 2思考1.没有公共点的两条直线一定是平行直 线吗？ 提示：不一定.没有公共点的两条直线也可能是 异面直线 2.异面直线就是在两个不同平面里的两条直线，这 种说法正确吗？ 提示：不能把异面直线误认为 00 是分别在不同平面内的两条直 B b 线，如图，虽然有aCa,bC3,即 a,b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b O,所以a与b不是异面直线.所以，这种说法是 不正确的. [知识点三]等角定理 定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补， ?思考3.当两个角的两边分别对应平行，这两个 角什么时候相等，什么时候互补呢？ 提示：如图： C B ☑A1 A C (2) A BB' A (3) (1)两个角的两条边分别平行，并且方向相同（如 图(1))时，两个角相等； (2)两个角的两条边分别平行，并且方向相反（如 图(2)时，两个角相等； (3)两个角的两条边分别平行，其中一组对应边方 向相同，另一组对应边方向相反时，两个角互补 [知识点四]异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线a,b, 过空间任一点O作直线a'∥ a,b'∥b,这时a',b共面，我们 把a'与b'所成的不大于90°的 角称为异面直线a,b所成的角（或夹角） 若两条异面直线a,b所成的角是直角，则称这两条 直线互相垂直，记作a⊥b. ·29 ?思考4.以长方体为例，如何表示空间中点、直线 和平面的基本位置关系呢？ 提示：如图： 位置关系 符号表示 点A在直线 A∈AA AA1上 点A不在直线 ABC BC上 点A在平面AB A∈平面ABCD CD内 点A不在平面 AE平面AB1C1D1 A1B1C1D1内 直线AB与直线 AB∩AA,=A AA1相交于点A 直线AB与直线 AB∥A1B1 A,B,平行 直线AB与直线 CC,异面 直线AB在平面 ABC平面ABCD ABCD内 直线DB和平面 D1B∩平面ABCD=B ABCD相交于点B 直线AB,和平面 A,B1∥平面ABCD ABCD平行 平面ABCD与平 平面ABCD∩平面 面BB,CC相交于 BB CC=BC 直线BC 平面ABCD与平 平面ABCD∥平面 面A1B1C1D A BCD [预习自测] 1.空间两个角a,3的两边分别对应平行，且a=60°， 则3为 A.60°B.120°C.30°D.60°或120 解析：D[由等角定理可知，3为60°或120°.] 2.若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应 平行，则这两个三角形 ( A.全等 B.相似 C.仅有一个角相等D.无法判断 解析：B[由等角定理知，这两个三角形的三个角 分别对应相等，所以这两个三角形相似.门 课堂。 题型一基本事实4平行线的传递性的应用] [例1]如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的 四边形称为空间四边形)中，E,F,G,H分别为 AB,BC,CD,DA的中点. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)如果AC=BD,求证：四边形EFGH是菱形 汇思路点拨]利用基本事实4平行线的传递性 转化。 [证明](1)因为空间四边形ABCD中，E,F,G, H分别为AB,BC,CD,DA的中点， 所以EF∥AC,HG/AC,EF=HG=2AC, 所以EF∥HG,EF=HG, 所以四边形EFGH是平行四边形， (2)因为空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为 AB,BC,CD,DA的中点， 所以EH/∥BD,EH=号BD. 因为EF=2AC,AC=BD,所以EH=EF. 又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH 是菱形 ·29 第六章立体几何初步 3.如图，在三棱柱ABC一A1B,C1中，E,F分别是 AB,AC上的点，且AE:EB=AF:FC,则EF与 B,C的位置关系是 解析：在△ABC中，，AE:EB=AF:FC, ∴.EF∥BC.又，BC∥B1C1,∴.EF∥B,C 答案：平行 互动学案 对应学生用书P173 规律方法 证明两条直线平行的方法：(1)定义法，即在同一 平面内没有公共点的两条直线是平行线；(2)利用 三角形的中位线平行于第三边这一性质；(3)利用 基本事实4平行线的传递性；(4)利用平行四边形 的对边互相平行这一性质 ◇[变式训练] 1.已知正方体ABCD一A1BC,D1,E,F分别为棱 AA1,CC1的中点.求证：BF LED 证明：如图.取BB,的中点G,连接 GC,GE. ,F为CC1的中点，.BGLC F, .四边形BGCF为平行四边形， .BF LGC1· 又EGLA1B1,AB1LD,C1, ..EGLD C, .四边形EGC1D为平行四边形，.ED1LGC ∴.BF⊥ED1 题型二空间等角定理及其应用 [例2]如图，在正方体ABCD-A,B,C,D1中，E, F,E,F1分别为棱AD,AB,BC1,CD1的中点 求证：∠EA,F=∠ECF. 汇思路点拨]等角定理的结论是相等或互补，在 实际应用时，一般再借助于图形判断是相等还是 互补，还是两种情形都有可能. 3 数学s)·必修第二册 [证明]如图，在正方体ABCD D -A1B1C1D1中，取A1B1的中点 M,则BF=A,M=2AB.连接 MF1,MB,F1C..BF∥AM, .四边形AFBM为平行四边形，.A1F∥BM. F1,M分别为C1D1,A1B1的中点， .F MLC B. .C B LCB,..F MLCB, ∴.四边形FMBC为平行四边形， .BM∥FC. 又BM∥A1F,.AF∥FC. 取AD1的中点N, 连接EC,ND. 同理得AE∥CE· .∠EAF与∠ECF1的两边分别对应平行，且两 边方向对应相反，.∠EAF=∠E,CF· 规律方法， 1.证明角相等常用以下三种方法：(1)利用三角形 相似；(2)利用三角形全等；(3)利用空间等角 定理 2.根据等角定理证明两角相等的步骤：(1)证明两 个角的两条边分别对应平行；(2)证明两个角的 两条边的方向相同或者相反 ◇[变式训练] 2.如图所示，在正方体ABCD- AB,C,D1中，E,E1分别是棱AD, AD1的中点.求证：∠BEC =∠B,E,C· 证明：如图，连接EE1 E E1,E分别为AD1,AD的中点， .'.A EZAE, .四边形AEEA为平行四边形， ∴.A1ALEE. 又A1ALB1B,∴.E1ELB1B, .四边形EEBB1是平行四边形. .EB1∥EB.同理EC1∥EC 又∠B,E,C与∠BEC的两边分别对应平行，且方 向相同，∠B1E,C,=∠BEC. ·2 题型三“异面直线的判定或证明 [例3]如图，若点P是△ABC所在平面外一点，PA ≠PB,PN⊥AB,N为垂足，M为AB的中点.求 证：PN与MC为异面直线. 思路点拨] 定理法 利用异面直线的判定定理证明 提出假设，将假设作为条件，推 反证法 出矛盾，从而肯定结论 [证明]（法一：反证法） 假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面a, 使得PNCa,MCCa,于是P∈a,C∈a,N∈a,M ∈a PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足，M是AB的中 点，点M与点N不重合. .M∈a,N∈a,∴.直线MNa. .A∈直线MN,B∈直线MN,.A∈a,B∈a. 即A,B,C,P四点均在平面a内，这与点P在平面 ABC外相矛盾. .假设不成立，即PN与MC为异面直线. (法二：判定定理法) PA≠PB,点N与点M不重合 .N∈平面ABC,PE平面ABC,CMC平面ABC, N在CM, ∴.根据异面直线判定定理可知，直线PN与MC为 异面直线 规律方法 判定或证明异面直线的方法有两种：(1)定义法， 由定义法判定两条直线不可能在同一平面内，常 用反证法； (2)判定定理法，过平面外一点与平面内一点的直 线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线. ◇[变式训练 3.如图，正方体ABCD一A1B1CD1,证明直线A1B 与B,C,AB与BC为异面直线. D 解：，直线A,B与直线D,C在平面A,BCD1内，且 没有交点，两直线平行，直线DD与直线DC 相交于D1点，点A1,B,B1在平面ABB1内，而点 C不在平面A,BB,内，.直线AB与直线B,C异 面.同理，直线AB与直线B,C异面. 题型四求异面直线所成角的大小 [例4]在三棱柱ABC-A,B,C1中，AA1与AC,AB 所成的角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC= AA1,求异面直线A,B与AC1所成角的余弦值. [思路点拨了先通过找平行线作出角，再求解。 [解]如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC -A1B1D1C1, 连接BD1,A1D1,AD, 由四棱柱的性质知BD, ∥AC, 则∠A1BD1就是异面直线 A1B与AC1所成的角. 设AB=a, ,AA1与AC、AB所成的角均为60°，且AB=AC =AA1, ∴.A1B=a,BD1=AC1=2AA1cos30°=√3a. 又∠BAC=90°，∴.在矩形ABDC中，AD=√2a, .A1D1=√2a,.A1D+A1B2=BD,.∠BA1D =90°， 片在R:△BAD中，∠ABD,-部-点 - 3 ·29 第六章立体几何初步 规律方法 1.平移法作异面直线所成角的策略： (1)直接平移： (2)找等分点（如中点）平移； (3)补形平移. 2.求两条异面直线所成的角的一般步骤； (1)构造：根据异面直线所成角的定义，用平移法 作出异面直线所成的角或其补角； (2)证明：证明作出的角就是要求的角或其补角： (3)计算：求角度，常利用三角形求解； (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所 求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则 它的补角就是所求异面直线所成的角 ◇[变式训练] 4.(1)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E,F分别是AB, AD的中点，则异面直线B,C与 EF所成的角的大小为 ( A.30° B.45 C.60 D.90 (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AB=AA =2,E为BC的中点，BC=2AE=2√2，则异面直 线AE与AC所成的角是 解析：(1)连接BD1,D,C(图略)，则B,D1∥EF,故 ∠D,BC为异面直线B,C与EF所成的角或其 补角. 又B1D1=B1C=DC,∴.∠D1BC=60° (2)如图，取B,C1的中点E1,连接 A E,E C, AE∥AE1,.∠E1AC是异面直 线AE与A1C所成的角或其补角. ,A1C1=A1B1=AA1=2,B1C1= 2√2， .∠B1A1C1=90°. 在正方形AA1C1C中，A1C=2√2 :AE1⊥B1C,A1E1⊥CC1,BC1∩CC,=C1, .AE1⊥平面BB1CC,.AE1⊥CE,. 在Rt△AEC中，cos∠EACA25 .异面直线AE与A1C所成的角是60°. 答案：(1)C(2)60° 5 数学s·必修第二册 随堂。 ● 1.如果直线a与b没有公共点，那么直线a与b的位 置关系是 A.异面 B.平行 C.相交 D.平行或异面 解析：D[由空间中两条直线的位置关系可知，直 线a与b的位置关系是平行或异面.门 2.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则 它与另一条 () A.相交 B.异面 C.相交或异面 D.平行 解析：C[如图所示的长方体ABCD一AB,C1D1 中，直线AA1与直线B1C是异面直线，与B1C1平 行的直线有AD1,AD,BC,显然直线AA1与A1D1 相交，与BC异面.] D 3.如图所示，四棱柱ABCD一A,B,C,D,中，底面是 梯形，AB∥CD,则所有与∠A1AB相等的角 是 D ● 课后。 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.下列命题中，真命题有 ( ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行， 那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直， 那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两 条直线互相平行. A.1个B.2个C.3个D.4个 ·29 步步夯实 对应学生用书P175 解析：因四棱柱ABCD-A1B,C,D1中AA1∥ DD·又AB∥CD,所以∠AAB与∠D,DC相等. 又由于侧面A1ABB,,D1DCC1为平行四边形，所 以∠A1AB与∠AB1B,∠D,C,C也相等. 答案：∠D1DC,∠D,C1C,∠AB1B 4.如图，正方体ABCD-A,B,C,D,中，AC与BC1所 成角的大小是 2 C D 解析：连接AD1,CD1(图略)，则AD1∥BC1, .∠CAD,(或其补角)就是AC与BC,所成的角， 在正方体ABCD-AB,C1D1中，AC=AD1 =CD1, .∠CAD1=60°， 即AC与BC,所成角的大小为60. 答案：60 5.在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M,N 分别为棱CD,AD的中点.求证：四边形MNA'C 是梯形 证明：如图，连接AC. ,M,N分别为棱CD,AD的中点， N D :.MNLzAC. 由正方体的性质可知ACLA'C', D :MNL2A'C,.AN与MC 相交， 即A'N不平行于MC',MN平行于A'C', .四边形MNA'C'是梯形. 素养提升 对应学生课时P104 解析：B[如果一个角的两边与另一个角的两边分 别平行，那么这两个角相等或互补，所以①为假命 题；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂 直，那么这两个角的大小关系是不确定的，所以③ 为假命题；②④是真命题.门 2.下列说法中正确的是 A.空间中没有交点的两条直线是平行直线 B.一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和 另一条也相交 C.已知空间中四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d, 且a∥d,那么b∥c D.分别在两个平面内的直线是平行直线 6 解析：C[没有交点的直线也可能是异面，故A 错；B中还可能异面；在两个平面的直线可能平行、 相交或异面，故D错.] 3.在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD,E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH是 ( A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.正方形 解析：B[如图， 在△ABD中，点H,E分别为边AD,AB的中，点， 所以HEL-BD,同理GFL2BD,所以HE∠ GF,所以四边形EFGH为平行四边形.又AC⊥ BD,所以HG⊥HE,所以四边形EFGH是矩形， 故选B.] 4.如图，在三棱锥D一ABC中，AC=BD,且AC⊥ BD,E,F分别是棱DC,AB的中点，则EF和AC 所成的角等于 () A.30 B.459 C.60 D.90° D 解析：B [如图所示，A《 取BC的中点G,连接FG,EG. ,E,F分别为CD,AB的中点， .FG∥AC,EG∥BD, FG-TAC.EG--BD.AC-BD, ∴.FG=EG, ∠EFG为EF与AC所成的角或其补角. ,AC⊥BD,.FG⊥EG,∴.∠FGE=90°， ∴△EFG为等腰直角三角形. ∴.∠EFG=45°，即EF与AC所成的角为45°.] ·2 第六章立体几何初步 5.(多选)在空间四边形ABCD中，AB=CD,且异面 直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC 和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角可 能等于 ) A.15 B.30 C.75 D.60° 解析：AC[如图，设G是AC中点，分别连接EG、 GF,由己知得EGL分AB,FGCD,:∠EGF 是AB和CD所成角或是其补角，∠GEF是EF与 AB所成的角.，AB=CD,.EG=GF 当∠EGF=30°时，AB和EF所成角∠GEF=75°， 当∠EGF=150°时，AB和EF所成角∠GEF =15°.] 6.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方 体纸盒中有如下结论，其中正确的是 A.AB⊥EF B.AB与CM所成的角为60 C.EF与MN是异面直线 D.MN∥CD 解析：AC[把正方体的平面展开图还原成原来的 正方体可知，AB⊥EF,EF与MN是异面直线，AB ∥CM,MN⊥CD,只有AC正确.] 7.如图，在三棱锥A一BCD中，E,F,G,H分别是棱 AB,BC,CD,DA的中点，则当AC,BD满足条件 时，四边形EFGH为菱形；当AC,BD满 足条件 时，四边形EFGH是正方形. 数学s)·必修第二册 解析：由图易证：EFLTACLHG,四边形EF GH为平行四边形，故当EF=FG,即AC=BD时， 四边形EFGH为菱形；EF⊥FG且EF=FG,即 AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH为正 方形. 答案：AC=BDAC=BD且AC⊥BD 8.如图，P是平面ABC外的一点，PA=4,BC=2√5， D,E分别为PC,AB的中点，且DE=3.则异面直 线PA与BC所成的角的大小为 D A.45 B.60 C.90° D.120 解析：C[取AC的中，点F,连接 DF,EF,在△PAC中，，D是PC 的中点，F是AC的中点，.DF ∥PA. 同理可得EF∥BC. ∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角（或其补 角) 在△DEF中，DE=3,又DF=PA=2,EF =2BC=5, ∴.DE2=DF2+EF2, ∴.∠DFE=90°，即异面直线PA与BC所成的角 为90°.故选C.] 9.在正方体ABCD一A1B1C1D1中，直线AB与A1D, 所成的角为 ,直线AD1与DC1所成的角 为 解析：因为A1B1∥AB,所以∠D1AB1就是异面直 线AB与A,D,所成的角 因为∠D1A1B1=90°， 所以直线AB与A,D1所成的角为90°. 连接AB1,B1D1· ·2 因为AB,∥DC1, 所以AB,与AD,所成的角即直线DC1与AD,所 成的角. 又AD1=AB1=B1D1, 所以△AB,D,为正三角形， 所以直线AD1与AB1所成的角为60°， 即直线AD,与DC所成的角为60°. 答案：90°60 10.如图，已知在棱长为a的正方 0 M 体A1B,CD1-ABCD中，M, N分别是棱CD,AD的中点. 求证：(1)四边形MNA,C1是 D 梯形； (2)∠DNM=∠D1AC. 证明(1)如图，连接AC,在△ACD中， ,M,N分别是CD,AD的中点， .MN是△ACD的中位线. :MN∥AC,MN=AC. 由正方体的性质得AC∥AC1,AC=A,C1, ∴MN∥A,C,且MN=2A,CMN≠A,C, 易知NA1与MC1不平行， .四边形MNAC1是梯形， (2)由(1)可知MN∥A,C.又ND∥A,D1, ∴.∠DNM与∠D,A,C1相等或互补. 而∠DNM与∠D,A,C1均为锐角， ∴.∠DNM=∠D,A1C· 11.在空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD=3, E.F分别是另外两条对边AD,BC上的点，且部 器日，EF=后，求AB和CD所成角的大小 8· 解：如图，连接BD,过点E作AB的平行线交BD 于点O,连接OF. 0/AB8品品号器册景 .AB=3,.EO=2. 腮-品咒 ∴.OF∥DC,∴.OE与OF所成的角即为AB和 CD%成的角咒-股-} .DC=3,.OF=1. 在△OEF中，OE2+OF2=5,EF2=(5)2=5, ∴.OE2+OF2=EF2,.∠EOF=90°， 所以AB和CD所成的角为90° 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.(2022·全国乙卷)在长方体ABCD-AB,C1D1 中，已知B,D与平面ABCD和平面AA,B,B所 成的角均为30°，则 ( A.AB=2AD B.AB与平面AB,C,D所成的角为30° C.AC=CB D.BD与平面BB1C,C所成的角为45 解析：D[如图由题意可 知∠B,DB和∠DB1A分 别是B,D与平面ABCD 和平面AA1B,B所成的 角，所以∠B,DB= ∠DB1A=30°，设AB= a,AD=b,AA1=c根据题意有 b ==tan30°， va+ 即a2十c2=3b2①，同理有a2十b2=3c2②，由①和 ②可得a=√2b,b=c,所以AB=√2AD,A错误； 所以AC=√3b,CB1=√2b,C错误；过B做BM⊥ AB1于M,则BM⊥面AB,CD,∠BAB1是AB 与平面AB,CD所成的角，sin∠BAB,=十元 ·29 第六章立体几何初步 怎，所以B船溪：/DBC是BD与平面 B,CC%或的角in∠DB,C-BS--要。 ∠DBC=年，故选D] 13.如图，在正方体AC1中，E,F分别是A1B,B,C 的中点，求异面直线DB,与EF所成的角的大小. B 1D1 E 解：如图，连接A1C1,B1D1,并 设它们相交于点O, 取DD1的中点G,连接OG, AGCG, 则OG∥B1D,EF∥AC· ∴.∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其 补角. GA1=GC1,O为A1C1的中点， ∴.GOLAC.∴.∠GOA1=90°， .异面直线DB1与EF所成的角为90°. 素养培优 SU YANG PEI YOU 14.已知三棱锥A一BCD中，AB=CD,且直线AB与 CD成60°角，点M,N分别是BC,AD的中点，求 直线AB和MN所成的角， 解：如图，取AC的中点P,连接PM,PV,因为，点 M,N分别是BC,AD的中点，所以PM∥AB,且 PM-ZAB: 9· 数学s,·必修第二册 PN/CD,且PN=CD, 所以∠PMN=60°，即AB与MN所成的角 为60°. 所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角. ②若∠MPN=120°，则易知△PMN是等腰三 所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角！ 角形 因为直线AB与CD成60°角， 所以∠PMN=30°，即AB与MN所成的角 所以∠MPN=60°或∠MPN=120°. 为30°. 又因为AB=CD,所以PM=PN, 综上可知：AB与MN所成角为60°或30°. ①若∠MPN=60°，则△PMN是等边三角形， §4.平行吴系 4.1 直线与平面平行 课程标准 素养解读 应用线面平行的性质与判定定理解决空间中的 掌握直线与平面平行的性质定理和判定定理，并能利用两 平行关系，培养学生的直观想象素养，提升逻辑 个定理解决空间中的平行关系 推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P176 [情境引入] 2思考1.如果一条直线与平面。内的一条直线 小王跟着老师傅学木工，遇到了一个小问题： 平行，则这条直线与平面平行吗？ 师傅让他在一块长方体的木料上画线，需过平面 提示：这条直线可能在平面α内. 2.如果直线a与平面a平行，那么a与a内的直线 A,C,内一点P与棱BC将木料锯开. 有怎样的位置关系？ 提示：若a∥a,在a内除了与a平行的直线外， 其余都与a异面. [知识点二]直线与平面平行的判定定理 D 文字叙述：如果平面外一条直线与此平面内的一条 直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表示：l中a,aCa,且l∥a→l∥a. 问题 他应该怎样画线？ 图形表示： 提示：由线面平行的性质定理知，在A,BCD1中 作过点P的直线与BC平行， [知识梳理] 作用：证明直线与平面平行. [知识点一]直线与平面平行的性质定理 2思考3.若a∥b,bCa,则a∥a,对吗？ 文字叙述：一条直线与一个平面平行，如果过该直 提示：不对.直线a可能在a内。 线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 4.若a∥b,b∥a,则a∥a,对吗？ 符号表示：l∥a,lCB,a∩B=a→l∥a. 提示：不对.直线a可能在a内， 5.由以上1、2可知，在运用定理判定直线与平面平 图形表示： 行，哪些条件是不能少的？ 提示：线面平行的判定定理包含三个条件： ①直线l在平面a外，即l中a;②直线a在平面a 内，即aCa;③两直线l、a平行，即l∥a,三个条 件缺一不可 ·300·