第6章 1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦简单旋转体（球、圆柱、圆锥、圆台）的结构特征及计算，承接多面体学习，通过实物观察、问题链引导（如“几何体与多面体的不同”“曲面旋转形成过程”），构建从平面图形旋转到空间几何体的认知支架，系统梳理定义、性质及表示方法。 资料以直观想象和数学抽象为核心，通过实物图观察抽象几何体，结合“想一想”“判断正误”等互动设计深化理解。题型涵盖结构特征判断、球的截面计算等，例题与跟踪训练结合，培养数学运算能力。课中助力教师引导学生建立空间观念，课后通过拓展应用（如蚂蚁爬行最短路径）帮助学生查漏补缺，提升综合应用能力。

1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 【基础落实】 知识点一 定直线　曲面 知识点二 球面　球体　半径　最大　圆柱　圆面　矩形　圆锥　圆面　等腰三角形　圆台　圆面　等腰梯形 想一想 　提示：不一定，只有用平行底面的平面去截圆柱截面才是圆面. 自我诊断 1.（1）√　（2）× 2.B　在A中，当截面与底面不平行时，得到的截面不是圆面，故A错误；在B中，球的截面一定是圆面，故B正确；在C中，当截面与底面不平行时，得到的截面不是圆面，故C错误；在D中，棱柱的任何截面不是圆面，故D错误.故选B. 3.r2　解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r，所以S＝×2r2＝r2. 【典例研析】 【例1】　解：（1）错.只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台. （2）错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示. （3）正确. （4）错.应为球面. 跟踪训练 　C　①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，正确；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，两点的连线不一定是圆台的母线，错误；③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的，正确.故选C. 【例2】　B　由题意得圆M的半径为BM，则π·BM2＝8π，BM＝2.设球的半径为R，则MO＝R，OB＝R，所以R2＝R2＋（2）2，所以OA＝R＝3.故选B. 跟踪训练 1.A　如图所示，作出球台的轴截面，设球心为O，过O作OE⊥AB交AB于点E，交CD于点F.依题意AB＝2，CD＝4，EF＝，设球的半径为R cm，则R2＝DF2＋OF2且R2＝AE2＋OE2，即解得即球面的半径为5 cm.故选A. 2.D　设球的半径为R，则R＝2，因为截面与球心距离d＝，所以截面圆的半径r＝＝1，可得截面圆的面积为S＝πr2＝π.故选D. 【例3】　解：（1）圆台的轴截面是等腰梯形ABCD（如图所示）. 由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由题意知腰长AB＝12 cm，所以高AM＝＝3（cm）. （2）如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO，可得＝， 解得l＝20. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 跟踪训练 4π　解析：如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.轴截面ABCD的面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16（cm2），解得r＝2 cm.故该等边圆柱的底面周长C＝2πr＝4π（cm）. 随堂检测 1.D　图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥. 2.B　设圆台的母线长为x cm，由已知可得＝，解得x＝9.故选B. 3.AC　A是正确的；B是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；C是正确的；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫作球面，球面围成的几何体叫作球，故D错误. 4.4　解析：由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，其中上底长为2，下底长为8，腰长为5，如图所示，作CE⊥AB于点E，则CE为圆台的高h，∴h＝＝4. 拓视野　探究空间两点间的最短路径 【例1】　B　如图①所示，正方形ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5 cm，设圆柱的底面半径为r，则r＝ cm，底面周长为2πr＝5π cm.将圆柱沿母线AD剪开，展开图如图②所示，则从A到C的最短距离即AC的长.∵AB＝＝ cm，BC＝AD＝5 cm，∴AC＝＝＝ cm. 【例2】　解：正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1'的长为最短路程.因此蚂蚁爬行的最短路程为. 迁移应用 1.2　解析：将侧面B1BCC1展到平面A1ACC1内，如图所示， 设PC＝x，由题意得AM＝2，AP1＝3＋x，MP1＝，在Rt△MAP1中，AM2＋A＝M，即22＋（3＋x）2＝（）2，解得x＝2，即PC＝2. 2.解：（1）如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度， 设OB＝l，∠AOA'＝θ， 则解得所以OA＝40 cm，OM＝30 cm. 所以AM＝＝50 cm. 即绳子最短长度为50 cm. （2）作OQ⊥AM于点Q，交弧BB'于点P，则PQ为所求的最短距离. 因为OA·OM＝AM·OQ， 所以OQ＝＝＝24 cm. 故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4 cm，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 课标要求 1.利用实物模型，观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征（直观想象）. 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构及有关量的计算（数学抽象、数学运算）. 　　如图，观察下列实物图. 【问题】　（1）上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ （2）上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ （3）如何形成上述几何体的曲面？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　旋转体 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条　　　旋转一周所形成的　　　称为旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体. 知识点二　球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征 类别 定义 图形及有关元素的 概念及表示 性质 球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为　　　　.球面所围成的几何体称为　　　　，简称球 表示：球O （1）球面上所有的点到球心的距离都等于球的　　　　； （2）用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径　　　，等于球的半径 圆 柱 以矩形的一边OO1所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为　　　 表示：圆柱OO1 （1）平行于圆柱的底面的截面都是　　　； （2）过圆柱旋转轴的截面是全等的　　　 圆 锥 以直角三角形的一条直角边SO所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为　　　 表示：圆锥SO （1）平行于圆锥的底面的截面都是　　　； （2）过圆锥旋转轴的截面是全等的　　　　概念及表示 圆 台 以直角梯形垂直于底边的腰OO1所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为　　　 表示：圆台O1O （1）平行于圆台的底面的截面都是　　　； （2）过圆台旋转轴的截面是全等的　　　 【想一想】 用一个平面去截圆柱，其截面一定是圆面吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.（　　） （2）夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱.（　　） 2.下面几何体的截面一定是圆面的是（　　 ） A.圆台 B.球 C.圆柱 D.棱柱 3.轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为　　　　. 题型一｜旋转体的结构特征 【例1】　判断下列各说法是否正确： （1）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台； （2）一直角梯形绕下底所在直线旋转一周而形成的面所围成的几何体是圆台； （3）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； （4）到定点的距离等于定长的点的集合是球. 尝试解答 通性通法 简单旋转体结构特征问题的解题策略 （1）准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键； （2）解题时要注意明确两点：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线. 【跟踪训练】 　有下列命题： ①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的. 其中正确的有（　　 ） A.0个　　B.1个　　C.2个　　D.3个 题型二｜球的截面形状及简单计算 【例2】　如图所示，已知OA为球O的半径，M为线段OA上的点，且AM＝2MO，过M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，B为圆M上一点，若圆M的面积为8π，则OA等于（　　 ） A.2 B.3 C.2 D.4 尝试解答 通性通法 用球的截面性质求解与球的截面有关的问题 　　用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是圆，有以下性质： （1）若平面α过球心O，则截面圆是以O为圆心的球的大圆； （2）若平面α不过球心O，如图，设OO'⊥α，垂足为O'，记OO'＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO'⊥O'P，则有O'P＝，即此时截得的圆是以O'为圆心，以r＝为半径的球O的小圆. 【跟踪训练】 1.一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫作球台，两平行平面间的距离叫作球台的高.如图，西晋越窑的某个卧足杯的外形可近似看作球台，已知杯底的直径为 2 cm，杯口直径为4 cm，杯的深度为 cm，则该卧足杯侧面所在球面的半径为（　　） A.5 cm B.2 cm C. cm D. cm 2.若球的半径为2，则与球心距离为的平面截球面所得的圆的面积为（　　） A.4π B.π C.2π D.π 题型三｜旋转体的有关计算 【例3】　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求： （1）圆台的高； （2）将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长. 尝试解答 通性通法 　　用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程（组）而得解. 【跟踪训练】 轴截面图形为正方形的圆柱叫作等边圆柱.已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，则该等边圆柱的底面周长为　　　　cm. 1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（　　） A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 2.一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为（　　 ） A.3 cm B.9 cm C.12 cm D.6 cm 3.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线 B.球面上任意两点的连线是球的直径 C.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 D.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫作球 4.一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为　　　　. 爸爸出差前，留给小华一道题： 如图为某地区的交通网.其中小圈代表城镇，小圈间的连线代表道路，连线旁的a1表示该段道路的长度（单位：千米），请你选择一条从A到B的最短路线. 爸爸还特意交给小华一个“锦囊”，嘱咐他不到万不得已不要拆开.小华是个要强的孩子，题目未解出来，他不会去看“锦囊”. 小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目.吃过晚饭，他信步走进小树林，东瞅瞅，西瞧瞧，看到一张硕大的蜘蛛网，突然，一只小虫 撞到网上，小虫奋力挣扎，于是便不断地拉紧连到网中心的最短的那根丝，蜘蛛沿着那根丝，迅速出击，抓住了小虫.小华若有所悟，口里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例编织一张真正的“交通网”，要求A，B两地的最短路线.只需把网上相当于A，B两地的网结各自向外拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上.小华高兴地打开“锦囊”，妙极了，他和爸爸的解法完全一样.爸爸的解法后面还有几行字：“这种解法叫作模拟法，它是科学研究的一种重要方法，自然界中简单的现象往往蕴藏着深刻的道理，放开你的眼界打破学科的界限，努力去探索吧！” 【问题探究】 【例1】　圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从点A到点C的最短距离为（　　） A.10 cm　　　　　　　 B. cm C.5 cm D.5 cm 尝试解答 【例2】　如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，求蚂蚁爬行的最短路程. 尝试解答 【迁移应用】 1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱的侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，则PC的长为　　　　. 2.圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求： （1）绳子的最短长度； （2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离. 提示：完成课后作业　第六章　§1　1.3 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $