课时分层评价44 构成空间几何体的基本元素 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价44　构成空间几何体的基本元素　简单多面体 ——棱柱、棱锥和棱台 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9小题，每小题5分，共45分) 1.下列几何体为棱柱的是(　　) 答案：B 解析：选项A为简单组合体；根据棱柱的概念可得选项B为棱柱；根据棱台的定义知选项C为棱台；根据棱锥的概念知选项D为棱锥.故选B. 2.下列棱锥有6个面的是(　　) A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 答案：C 解析：由棱锥的结构特征可知，三棱锥有4个面，四棱锥有5个面，五棱锥有6个面，六棱锥有7个面.故选C. 3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是(　　) A.四棱台 　　B.四棱锥 C.四棱柱 　　D.三棱柱 答案：C 解析：记水面与三棱柱四条棱的交点分别为D，E，D1，E1，如图所示，由三棱柱的性质可知， 盛水部分的几何体是四棱柱.故选C. 4.下列说法不正确的是(　　) A.正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B.棱台的各侧棱延长线必交于一点 C.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 答案：C 解析：对于A，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确；对于B，根据棱台的定义可得，棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确；对于C，底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥，故C错误；对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确.故选C. 5.(多选题)下面说法正确的是(　　) A.多面体至少有四个面 B.平行六面体六个面都是平行四边形 C.棱台的侧面都是梯形 D.长方体、正方体都是正四棱柱 答案：ABC 解析：对于A，最简单的多面体是三棱锥，有4个面，所以多面体的面数大于等于4，所以“多面体至少有四个面”正确，故A正确；对于B，由平行六面体的定义可知，平行六面体六个面都是平行四边形，故B正确；对于C，由棱台的定义可知，棱台的侧面都是梯形，故C正确；对于D，按照正四棱柱的定义，底面必须是正方形，所以底面不是正方形的长方体就不是正四棱柱，故D错误.故选ABC. 6.(多选题)如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　) A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 答案：ABD 解析：对于A，因为≠，所以几何体不是三棱台，故A不能推断；对于B，因为≠，所以几何体不是三棱台，故B不能推断；对于C，因为＝＝，所以几何体是三棱台，故C可以推断；对于D，该几何体可能是三棱柱，故D不能推断.故选ABD. 7.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝　　　　. 答案：60° 解析：把无盖的正方体盒子展开后的平面图还原成正方体，得到如图所示的正方体，由此得到△ABC是等边三角形，故∠ABC＝60°. 8. “有相邻两个侧面是矩形的棱柱”是“棱柱是直棱柱”的　　　　条件. 答案：充要 解析：若棱柱有相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，满足充分性；若棱柱为直棱柱，棱柱的侧面都是矩形，则棱柱的相邻两个侧面都是矩形，满足必要性；故“有相邻两个侧面是矩形的棱柱”是“棱柱是直棱柱”的充要条件. 9.下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确的序号是　　　　. 答案：②③④ 解析：对于①，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，故①错误；对于②，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故②正确；对于③，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，故③正确；对于④，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，故④正确；对于⑤，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故⑤错误.故答案为②③④. 10.(13分)(开放题)试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来. (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥； (2)四个面都是等边三角形的三棱锥； (3)三棱柱. 解：(1)如图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一). (2)如图②所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一). (3)如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一). (11－13小题，每小题5分，共15分) 11.(新情境)多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为V，面数为S，棱数为l，则满足V＋S＝l＋2. 已知某n面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则n＝ (　　) A.6 B.10 C.12 D.20 答案：C 解析：设该多面体的顶点数为x，棱数为y，依题意，消去x，y得n＝12，所以n＝12.故选C. 12.(多选题)下列有关平行六面体的命题正确的是(　　) A.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 B.平行六面体的八个顶点在同一球面上 C.平行六面体的四个侧面不可能都是矩形 D.平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面 答案：AD 解析：对于A，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱， 所以平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故A正确；对于B，若平行六面体的八个顶点在同一球面上，则平行四边形ABCD四个顶点在一个圆周上，而圆的内接四边形对角互补，平行四边形ABCD对角不一定互补，故B错误；对于C，平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，故C错误；对于D，根据平行六面体定义可知，平行六面体中任意两个相对的面都可以当作它的底面，故D正确.故选AD. 13.(开放题)如图，请从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是正三角形，则这4个点可以是　　　　.(只需写出一组) 答案：A1，C1，B，D(答案不唯一) 解析：如图所示，三棱锥A1-BC1D各棱都是正方体的面对角线，因此三棱锥A1-BC1D的4个面都是正三角形，即这4个点可以是A1，C1，B，D(答案不唯一). 14.(15分)(开放题)经过三棱柱的三个顶点作截面，可以将三棱柱分割成几个三棱锥？试在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中设计出分割方案(请设计尽可能多的方案). 解：一个三棱柱可以分割成3个三棱锥， 有如下六种方案： 15.(5分)给出下列命题： ①一个棱柱至少5个面； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形； ④所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ⑤有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台. 其中，所有正确命题的序号是　　　　　　. 答案：①③ 解析：对于①，根据棱柱的特征可得，一个棱柱的底面至少有三条边，所以至少有5个面.故①正确；对于②，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥侧棱长不一定相等，如图所示，三棱锥D-ABC中，△ABD，△ACD都是等腰三角形，AB＝AC＝AD，BD＝CD≠AD.故②错误；对于③，由平行六面体的概念和性质，可知平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故③正确；对于④，所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，底面不一定是正方形.故④错误；对于⑤，有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台.故⑤错误.故答案为①③. 16.(17分)(新定义)如果一个四面体共有三个面是直角三角形，我们称这个四面体的“直度”为，如果一个n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个n面体的直度为.显然一个n面体的直度不大于1.试回答以下问题： (1)直度为的四面体是否只有一种？ (2)是否存在直度为1的四面体？ (3)试想一个五面体，使它的直度尽可能地大. 解：(1)直度为的四面体不只有一种.正方体一角的四面体ABCD是一个直度为的四面体.如图①所示. 另一种直度为的四面体可用以下方法来构造，如图②所示，设平面四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，CD＝CB，但AD＞CD. 沿对角线AC把△ADC折起，使∠BCD＝90°，此时∠DAB＜90°，所以四面体ABCD的直度为. (2)如图③所示，四面体ABCD由一个长方体截得，其直度为1(用勾股定理不难证明其四个面均为直角三角形). (3)如图④中的五面体PABCD，它是由一个立方体截得的，其直度为.这是直度最大的五面体. 学科网（北京）股份有限公司 $