课时测评43 构成空间几何体的基本元素 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版2019）

课时测评43　构成空间几何体的基本元素　简单多面体 ——棱柱、棱锥和棱台 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列几何体中不是棱锥的为(　　) 答案：A 解析：根据棱锥的定义，B，C，D中的几何体是棱锥，A中的几何体不是棱锥．故选A. 2．下列说法正确的是(　　) A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱的侧面可以是三角形 C．直棱柱的底面是正多边形 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 答案：D 解析：对于A，长方体是四棱柱，底面不是长方形的直四棱柱不是长方体，故A错误；对于B，棱柱的侧面是平行四边形，故B错误；对于C，侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱，所以底面不一定是正多边形，还可以是长方形等，故C错误；对于D，正棱锥是指底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上的棱锥，因此正棱锥侧棱都相等，故D正确．故选D. 3．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是(　　) A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 答案：B 解析：如图所示， 截去的立体图形有四个面，四个顶点，六条边，所以该几何体为三棱锥．故选B. 4．下列关于几何体特征的判断正确的是(　　) A．一个斜棱柱的侧面不可能是矩形 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．有一个面是n(n>3，n∈N)边形的棱锥一定是n棱锥 D．平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形 答案：C 解析：对于A，斜棱柱的侧面中，有的侧面可以是矩形，故A不正确；对于B，根据正棱锥的定义，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面多边形的中心的棱锥是正棱锥，故B不正确；对于C，根据棱锥的分类，可得有一个面是n(n>3，n∈N)边形的棱锥一定是n棱锥，故C正确；对于D，平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的平行四边形，故D错误．故选C. 5．(多选)下列结论正确的有(　　) A．三棱柱有6个顶点 B．四棱台有8条棱 C．五棱锥有6个面 D．正三棱锥就是正四面体 答案：AC 解析：对于A，三棱柱有6个顶点，故A正确；四棱台有12条棱，故B错误；对于C，五棱锥有6个面，故C正确；对于D，如图所示正三棱锥P-ABC，PA＝PB＝PC且AB＝BC＝AC，但若侧棱与底面边长不相等，则该正三棱锥不是正四面体，故D错误．故选AC. 6．一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________． 答案：60° 解析：把无盖的正方体盒子展开后的平面图还原成正方体，得到如图所示的正方体，由此得到△ABC是等边三角形，故∠ABC＝60°. 7．如图所示，在三棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△BDC的周长是18，则△EFG的周长为________． 答案：6 解析：由已知得EF∥BD，FG∥CD，EG∥BC，所以△EFG∽△BDC，所以＝.又因为＝＝，所以＝，所以△EFG的周长为18×＝6. 8.一个几何体的表面展开图如图所示，该几何体中与“祝”字相对的字是“______”；与“你”字相对的字是“______”． 答案：前　程 解析：通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的字是“前”，与“你”相对应的字为“程”． 9．(10分)(开放题)试从正方体ABCD -A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来． (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(3分) (2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3分) (3)三棱柱．(4分) 解：(1)如图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一). (2)如图②所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一). (3)如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一). (10—12每题5分，共15分) 10．下列四个命题正确的是(　　) A．所有的几何体的表面都能展成平面图形 B．棱锥的侧面的个数与底面的边数相等 C．棱柱的各条棱长度都相等 D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 答案：B 解析：对于A，球的表面不能展成平面图形，故A错误；对于B，棱锥的侧面的个数与底面的边数相等，故B正确；对于C，棱柱的各条侧棱长度都相等，但是侧棱长度与底面中的棱长不一定相等，故C错误；对于D，正六棱柱中，相对的两个侧面互相平行，但它们不是正六棱柱的底面，故D错误．故选B. 11．一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是(　　) A．三棱锥 B．五面体 C．六棱锥 D．六面体 答案：C 解析：一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时，满足题意，选项A可能；正四棱锥的每条棱可以都相等，即每个侧面都是等边三角形，底面是正方形，即五面体的所有棱长可以都相等，选项B可能；如果六棱锥的棱长都相等，则该棱锥为正六棱锥，如图所示．六棱锥P-ABCDEF，O为底面中心，则OA＝AB＝PA，但在Rt△PAO中，PA>OA，与OA＝AB＝PA矛盾，则正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等，所以C不可能；六面体是正方体时，满足题意，所以D有可能．故选C. 12．如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案：B 解析：沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图). 由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经过M到达C1的路线最短．所以最短路线长为BC1＝＝2.故选B. 13．(13分)(开放题)经过三棱柱的三个顶点作截面，可以将三棱柱分割成几个三棱锥？试在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中设计出分割方案(请设计尽可能多的方案). 解：一个三棱柱可以分割成3个三棱锥， 有如下六种方案： 14．(5分)如图所示，向由透明塑料制成的长方体ABCD -A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变； ③当E在AA1上时，AE＋BF是定值． 其中，正确的说法是________． 答案：①③ 解析：显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE -DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，而高线始终为AB，所以AE＋BF是定值，故③正确． 15．(17分)(开放题)如图所示，图①是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有如图②③④⑤⑥所示的木块． (1)我们知道，正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图②③④⑤中的木块的顶点数、棱数、面数填入下表：(4分) 图号 顶点数V 棱数E 面数F ① 8 12 6 ② ③ ④ ⑤ (2)观察你填写的表格，归纳上述各木块的顶点数V、棱数E、面数F之间的关系；(5分) (3)观察图⑥中正方体的切法，并验证你所得的数量关系是否正确？(8分) 解：(1)通过观察各几何体，得到表格： 图号 顶点数V 棱数E 面数F ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 (2)由特殊到一般，归纳猜想得V＋F－E＝2. (3)该木块的顶点数为10，面数为7，棱数为15，有10＋7－15＝2，与(2)中归纳的数量关系式“V＋F－E＝2”相符． 学科网（北京）股份有限公司 $$