课时分层评价39 半角公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价39　半角公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9小题，每小题5分，共45分) 1.已知cos 2α＝－，且α∈，则sin α的值为(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：B 解析：因为α∈，所以sin α＞0.因为cos 2α＝－，所以sin α＝＝.故选B. 2.已知α∈，sin α＝－，则tan ＝(　　) A.3 B.－3 C. D.－ 答案：D 解析：由tan ＝，又α∈，sin α＝－，则cos α＝，所以tan ＝－.故选D. 3.已知α为锐角，若sin α＝，则cos 2＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：已知α为锐角，若sin α＝，则cos α＝＝，所以cos 2＝＝＝.故选A. 4.若α是第三象限角，且sincos β－sin β·cos ＝－，则tan 的值为(　　) A.－5 B.5 C.－ D. 答案：A 解析：由已知及两角差的正弦公式，得sin α＝－.因为α是第三象限角，所以cos α＝－.所以tan ＝＝＝－5.故选A. 5.若tan α＝，且α为第一象限角，则sin ＝(　　) A. B.± C. D.－ 答案：B 解析：因为α为第一象限角，且tan α＝，所以cos α＝，且是第一或第三象限角.当是第一象限角时，sin ＝＝；当是第三象限角时，sin ＝－＝－.故sin ＝±.故选B. 6.(多选题)设sin 2x＝a，cos 2x＝b，0＜x＜，以下各式等于tan 的是(　　) A.－ B. C. D. 答案：ACD 解析：由半角公式，得tan ＝＝，所以tan ＝＝＝，故A正确；tan ＝＝＝＝，故C正确；tan x＝＝，所以tan ＝＝＝，故D正确.故选ACD. 7.sin ＝　　　　. 答案： 解析：sin ＝＝＝. 8.设－π＜a＜π，化简的结果是　　　　　　. 答案：cos 解析：＝＝＝.因为－π＜a＜π，所以－＜＜，从而＝＝cos . 9.·＝　　　　. 答案：－2 解析：原式＝2··＝－·tan 10°＝－2. 10.(13分)已知＜α＜3π，试化简 ＋cos . 解：因为＜α＜3π，所以＜＜. 所以cos α＜0，sin ＜0. 故原式＝＋cos ＝＋cos ＝＋cos ＝－sin ＋cos . (11－13小题，每小题5分，共15分) 11.(多选题)已知2sin α＝1＋cos α，则tan 的可能取值为(　　) A. B.1 C.2 D.不存在 答案：AD 解析：2sin α＝4sin cos ＝1＋cos α＝2cos 2，当cos ＝0时，tan 不存在，当cos ≠0时，2sin ＝cos ，则tan ＝.故选AD. 12.设a＝cos 212°－sin 212°，b＝，c＝，则(　　) A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.a＜c＜b D.b＜a＜c 答案：A 解析：因为0°＜24°＜30°，依题意，得a＝cos 212°－sin 212°＝cos 24°＞cos 30°＝，b＝＝tan 24°＜tan 30°＝，c＝＝＝sin 24°＜sin 30°＝，则可得b＜a，c＜a，又因为0＜cos 24°＜1，则sin 24°＝＜＝tan 24°，即c＜b，所以c＜b＜a.故选A. 13.已知＝，则tan ＝　　　　　. 答案： 解析：因为tan ＝，且＝，所以tan ＝. 14.(15分)已知sin ＝，α∈. (1)求sin 的值； (2)求tan 的值. 解：(1)因为sin ＝－cos α＝，所以cos α＝－. 因为α∈，所以sin α＝－＝－＝－. sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝， cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. 所以sin ＝sin 2α＋cos 2α＝×＋×＝. (2)法一：因为α∈，所以∈，则sin ＞0，cos ＜0. 所以sin ＝＝，cos ＝－＝－， 则tan ＝＝＝－2. 法二：tan ＝＝＝－2. 法三：tan α＝＝，解得tan ＝或－2， 因为α∈，所以∈，则tan ＜0，故tan ＝－2. 15.(5分)(新情景)数学里有一种证明方法叫作Proof without words，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅而有条理.如图，点C为半圆O上一点，CH⊥AB，垂足为H，记∠COB＝θ，则由tan ∠CAH＝可以直接证明的三角函数公式是(　　) A.tan ＝ B.tan ＝ C.tan ＝ D.tan ＝ 答案：B 解析：由已知∠COB＝θ，AO＝OC，则∠CAH＝. 又tan ∠CAH＝tan ＝，sin θ＝，cos θ＝，AH＝AO＋OH＝CO＋OH，即CH＝OC·sin θ，OH＝OC·cos θ，所以tan ＝＝＝＝.故选B. 16.(17分)已知α∈，β∈，cos －cos (α＋β)＝，tan ＋＝. (1)求cos 2β的值； (2)求tan (α＋β)的值. 解：(1)由cos －cos ＝， 得cos αcos β＋sin αsin β－cos αcos β＋sin αsin β＝，即sin αsin β＝. 因为tan ＝＝， 所以tan ＋＝＋＝. 又因为tan ＋＝，所以＝， 即sin α＝，所以sin β＝， 所以cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×()2＝－. (2)由(1)知，sin α＝，sin β＝，又因为α∈，β∈， 所以cos α＝＝＝，cos β＝＝＝. 所以tan α＝＝＝，tan β＝＝＝. 所以tan (α＋β)＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $