课时分层评价31 平面向量在几何、物理中的应用举例-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价31　平面向量在几何、物理中的应用举例 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9小题，每小题5分，共45分) 1.已知平面内作用于点O的三个力f1，f2，f3，且它们的合力为0，则三个力的分布图可能是(　　) 答案：D 解析：因为f1＋f2＝－f3，所以f1与f2的合力与f3方向相反，长度相等，则由平行四边形法则可知，只有D项满足.故选D. 2.平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，＝1 N，＝ N，F1与F2的夹角为45°，则的大小为(　　) A. N B.5 N C. N D. N 答案：C 解析：依题意，得F3＝－，所以＝＝＝＝＝ N.故选C. 3.在矩形ABCD中，＝(1，2)，＝(x，0)，则矩形ABCD的面积为(　　) A.5 B.10 C.20 D.25 答案：B 解析：由四边形ABCD为矩形，得＝＝－＝.由·＝0，得1×(x－1)＋2×(－2)＝0，解得x＝5，从而＝(4，－2)，所以｜｜＝，｜｜＝2，所以矩形ABCD的面积为×2＝10.故选B. 4.冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力F＝(4，3)作用于冰球，使冰球从点A移动到点B(1，1)，则F对冰球所做的功为(　　) A.－17 B.－10 C.17 D.10 答案：C 解析：因为A，B(1，1)，所以＝，又F＝(4，3)，故力F对冰球所做的功为W＝F·＝2×4＋3×3＝17.故选C. 5.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为200 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2)(　　) A.60 B.61 C.75 D.60 答案：D 解析：如图所示，｜｜＝｜｜＝200，∠AOB＝60°，作平行四边形OACB，则OACB是菱形，＝＋，｜｜＝2｜｜sin 60°＝600，所以｜G｜＝｜｜＝600，因此该学生的体重为＝＝60(kg).故选D. 6.(多选题)如图，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是(　　) A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 答案：AC 解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向的夹角为θ(0＜θ＜)，则cos θ＝，所以＝.因为θ增大，cos θ减小，所以增大，因为sin θ增大，所以船的浮力减小.故选AC. 7.正方形ABCD的边长为2，点P为BC边中点，则·＝　　　　. 答案：－1 解析：依题意，得＝－，⊥，且＝＝1，所以·＝·＝·＋·＝－＝－1. 8.长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度v1的大小为＝10 km/h，水流的速度v2的大小为＝4 km/h，设v1与v2所成的角为θ，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ＝　　　　. 答案：－ 解析：依题意，游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，即航行的方向垂直河岸，由向量加法的几何意义可知·v2＝0，即v1·v2＋＝0，所以10×4×cos θ＋16＝0，解得cos θ＝－. 9.(双空题)如图，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，F的大小为50 N，且与小车的位移方向的夹角为60°，则F在小车位移上的投影数量为　　　　，力F做的功为　　　　J. 答案：25　1 000 解析：因为｜F｜＝50，且F与小车的位移方向的夹角为60°，所以F在小车位移上的投影数量为｜F｜·cos 60°＝25.因为力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，所以力F做的功W＝25×40＝1 000(J). 10.(13分)如图，已知在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，AF与DE交于点M. (1)设＝a，＝b，用a，b表示，； (2)猜想AF与DE的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 解：(1)依题意，＝＋＝＋＝＋＝a＋b， ＝－＝－＝a－b. (2)AF⊥DE，证明如下： 由(1)知＝a＋b，＝a－b， 所以·＝·＝a2－b2－a·b， 设＝＝t，则·＝a2－b2－a·b＝t2－t2－×0＝0， 所以⊥，所以AF⊥DE，得证. (11－13小题，每小题5分，共15分) 11.在△ABC中，若＝，则△ABC为(　　) A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 答案：D 解析：依题意，知＝⇒＝，故－2·＋＝＋2·＋，则·＝0，故⊥，即△ABC为直角三角形.故选D. 12.哥哥和弟弟一起拎一重力为G的重物(哥哥的手和弟弟的手放在一起)，哥哥用力为F1，弟弟用力为F2，若＝，且F1，F2的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时F1与重物重力G之间的夹角为(　　) A.60° B.90° C.120° D.150° 答案：C 解析：根据力的平衡，F1，F2的合力为，如图所示.由于＝，且F1，F2的夹角为120°，则△ACD为等边三角形，则∠ACD＝60°，则F1与重物重力G之间的夹角为180°－60°＝120°.故选C. 13.如图，窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为10，点P在其边上运动，则·的取值范围是　　　　　　　. 答案： 解析：分别过A3，A8作A1A2的垂线，垂足为M，N，则A1N＝5，A1M＝10＋5，因为点P在正八边形上运动，所以上的投影向量的起点为A1，终点在线段MN上移动，则当点P在A3A4上运动时，·取得最大值，为·＝10×(10＋5)＝100＋50；当点P在A7A8上运动时，·取得最小值，为－·＝－10×5＝－50.所以·. 14.(15分)如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同. (1)当θ＝30°时，求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，≈1.732，精确到0.01 N)； (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2 N，则当θ＝60°时，此降落伞能否安全使用？ 解：(1)如图所示，设水平面的单位法向量为n，其中每一根绳子的拉力均为F. 因为＜n，F＞＝30°，所以F在n上的投影向量为n， 所以8根绳子拉力的合力T＝8×n＝4n. 又因为降落伞匀速下落，所以＝mg＝1×9.8＝9.8， 所以4＝9.8，所以＝≈1.41. (2)设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为， 则8cos θ＝mg，当θ＝60°时，8cos 60°＝1×9.8， 解得＝2.45. 因为2.45＞2，超过最大可承受拉力，故此降落伞不能安全使用. 15.(5分)如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重力大小为20 N，且∠AOM＝150°，在下列角度中，当角θ取哪个值时，绳OB承受的拉力最小(　　) A.45° B.60° C.90° D.120° 答案：C 解析：作出示意图，设与物体M平衡的力对应的向量为，则｜｜＝20，以ON为对角线作平行四边形OPNQ，则＝＋，是绳OB承受的拉力大小，由∠AOM＝150°，得∠AON＝30°，所以∠ONQ＝∠AON＝30°.在△ONQ中，由正弦定理得＝，即＝，可得｜｜＝OQ＝＝，结合0°＜θ＜180°，可知当θ＝90°时，达到最小值10.综上所述，当角θ＝90°时，绳OB承受的拉力最小.故选C. 16.(17分)一条河南北两岸平行.如图，河面宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是v1，水流速度v2的大小为＝4 km/h.设v1和v2的夹角为θ，北岸上的点A'在点A的正北方向. (1)若游船沿AA'到达北岸A'点所需时间为6 min，求v1的大小和cos θ的值； (2)当θ＝60°，＝10 km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 解：(1)设游船的实际速度大小为 km/h， 由AA'＝1 km，6 min＝0.1 h，得＝10 km/h，＝4 km/h. 速度合成示意图如图所示， 由＝｜v｜2＋＝102＋42＝116，得＝2 km/h， cos θ＝－＝－.所以v1的大小为2 km/h，cos θ的值为－. (2)当θ＝60°，＝10 km/h时，设到达北岸B点所用时间为t h，作出向量加法示意图如图所示， AB2＝｜tv｜2＝t2＝t2(102＋42＋2×10×4×cos 60°)＝156t2，则AB＝2t， 在Rt△AA'C中，tcos 30°＝1，从而t＝ h，因此AB＝×2＝， 故游船的实际航程为 km. 学科网（北京）股份有限公司 $