课时达标检测(25) 向量在几何证明中的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(二十五)　向量在几何证明中的应用 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为 (　　) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析　因为=(3,3),=(-2,-2),所以=-,所以与共线。又||≠||,所以该四边形为梯形。故选A。 答案　A 2.△ABC中,设=c,=a,=b,若c·(c+a-b)<0,则△ABC的形状是 (　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 解析　因为·(+-)=·2<0,所以角A为钝角,故选C。 答案　C 3.在△ABC中,(+)·=||2,则△ABC的形状一定是 (　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析　由(+)·=||2,得(+)·-||2=0,所以·(+-)=0,所以·(++)=0,即·(++)=0,所以2·=0,所以⊥,所以∠A=90°,所以△ABC是直角三角形。 答案　C 4.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为 (　　) A. B.2 C.5 D.10 解析　因为·=0,所以AC⊥BD。所以四边形ABCD的面积S=||||=××2=5。故选C。 答案　C 5.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,若·=1,则AB的长为 (　　) A.1 B. C. D. 解析　 如图,·=(+)·(+)=(+)·-=||2+·||||cos 60°-||2=1+||-||2=1。所以||=,即AB=。 答案　D 6.已知向量a=(-1,),=a-b,=a+b,若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△AOB的面积是 (　　) A. B.2 C.2 D.4 解析　因为a=(-1,),所以|a|==2。设AB中点为C,则=(+)=a,则||=|a|=2。在直角三角形AOB中,||=2||=4,所以S△AOB=×4×2=4。故选D。 答案　D 7. 如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB边的中点,且⊥,则||= (　　) A. B.2 C.3 D.2 解析　 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系。设||=a(a>0),则A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0),所以=(2,-a),=(4,a)。因为⊥,所以·=0,所以2×4+(-a)×a=0,即a2=8。所以a=2,所以=(2,-2),所以||==2。 答案　B 二、填空题 8.设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　　　。  解析　 如图,设=a,=b,利用平行四边形法则得=a+b,因为|a|=|b|=|a+b|=1,所以△OAC为正三角形,所以|a-b|=||=2|DA|=2sin×|a|=2××|a|=。 答案　 9.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点,则(+)·=　　　　。  解析　 如图,以A为坐标原点O,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1)。因为E,F分别为BC,CD的中点,所以E2,,F(1,1),所以+=,=(-2,1),所以(+)·=3×(-2)+×1=-。 答案　- 10. 如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是　　　　。  解析　因为点O是AB的中点,所以+=2,设||=x,则||=1-x(0≤x≤1)。所以(+)·=2·=-2x(1-x)=2-。所以当x=时,(+)·取最小值-。 答案　- 三、解答题 11. 已知梯形ABCD,如图所示,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),求点D的坐标。 解　因为在梯形ABCD中,DC=2AB,所以=2。设点D的坐标为(x,y)。因为=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),=(2,1)-(1,2)=(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),所以解得故点D的坐标为(2,4)。 12. 如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC。 证明　设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2,由条件得a2-b2=c2-d2,所以e·c=e·d,即e·(c-d)=0,即·=0,所以AD⊥BC。 13. 在长方形AOCD中,OA=3,OC=2,E为线段OC的中点,P为线