课时分层评价15 三角函数的简单应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价15　三角函数的简单应用 (时间：60分钟　满分：75分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8小题，每小题5分，共40分) 1.如图是一个单摆，以平衡位置OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(单位：s)满足函数解析式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是(　　) A.， B.2， C.，π D.2，π 答案：A 解析：当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为.故选A. 2.某市一年中的月平均气温y与月份x的关系可近似用函数y＝Acos＋B来表示，已知6月份的月平均气温为28 ℃，12月份的月平均气温为18 ℃，则10月份的月平均气温为(　　) A.17.5 ℃ B.18.5 ℃ C.19.5 ℃ D.20.5 ℃ 答案：D 解析：因为y＝Acos＋B，且所以y＝5cos［(x－6)］＋23，当x＝10时y＝5cos＋23＝20.5，所以10月份的月平均气温为20.5 ℃.故选D. 3.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为(　　) A.y＝－sin x B.y＝－cos x C.y＝sin x D.y＝cos x 答案：B 解析：由噪声的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，可得ω＝＝＝1，A＝1，φ＝，所以噪声的声波曲线的解析式为y＝sin＝cos x，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y＝－cos x.故选B. 4.如图是一个主体高为1.5 m的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为y＝Asin(A＞0，ω＞0)(x，y的单位：m)，若该游客整个运动过程中相位的变化量为π，则ω的值为(　　) A.π B.π C.2π D.π 答案：D 解析：由旋转滑梯高为1.5 m知，投影到轴截面上后，游客对应在横轴上移动的距离是1.5 m，当x＝0时，初相为φ，且游客一直滑到底部，则最后的相位为1.5ω＋φ，故整个运动过程中，相位的变化量为1.5ω＋φ－φ＝π，解得ω＝π.故选D. 5.(多选题)如图，一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.5 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下时，d为负数).若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t(单位：s)之间的关系为d＝Asin＋b(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)，则(　　) A.A＝4 B.ω＝ C.b＝2.5 D.sin φ＝ 答案：AC 解析：对于A，振幅A即为半径，A＝4，故A正确；对于B，筒车按逆时针方向每分钟转2圈，则ω＝＝，故B错误；对于C，b＝＝＝2.5，故C正确；对于D，由t＝0，d＝0，得0＝4sin φ＋2.5，则sin φ＝－＝－，故D错误.故选AC. 6.如图，已知某弹簧振子的位移y(单位：cm)与时间t(单位：s)满足y＝Asin(ωt＋φ)(ω＞0)，初始时将弹簧振子下压至－4 cm后松开，经过测量发现弹簧振子每10 s往复振动5次，则在第45 s时，弹簧振子的位移是　　　　 cm. 答案：4 解析：由题意知，A＝4且最小正周期T＝＝2，即＝2，故ω＝π，所以y＝4sin(πt＋φ)，且4sin φ＝－4，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，不妨令φ＝－，故y＝4sin＝－4cos πt，当t＝45，则y＝－4cos 45π＝4. 7.(开放题)示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标M(2，4)和P(6，0)，已知M，P是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则曲线的解析式可以是　　　　　　　　　　　　. 答案：y＝4sin(答案不唯一) 解析：由题意可设曲线方程为y＝4sin(ωx＋φ).设最小正周期为T.因为＝4，所以T＝16，所以ω＝＝，所以y＝4sin.又曲线经过点M(2，4)，所以×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，所以y＝4sin.(答案不唯一) 8.如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面　　　　米. 答案：35 解析：依题意，设Q距离水平地面的高度h＝Asin＋k，所以A＝50，k＝60，φ＝，＝30，则ω＝，所以h＝50sin＋60＝50cos t＋60， 则h＝50cos＋60＝50cos ＋60＝35. (9、10小题，每小题5分，共10分) 9.(多选题)单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π，其中x表示时间(s)，y表示位移(cm)，A表示振幅，表示频率，φ表示初相.如图甲，某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在[0，3]秒运动时的位移随时间的变化情况.根据秒表记录有：当x＝时，小球第一次到平衡位置；当x＝时，小球的位移第一次到反向最大值.根据图文信息，下列选项中正确的是(　　) A.频率为 B.初相φ＝或 C.振幅A＝10 D.当x＝时，小球第三次到平衡位置 答案：ACD 解析：对于A，设最小正周期为T，据题意＝－＝⇒T＝2⇒ω＝π，频率为＝，故A正确；对于B，当x＝时，小球第一次到平衡位置，即是正弦函数减区间上的零点，且｜φ｜＜π，所以sin＝0⇒φ＝，故B错误；对于C，根据图中的信息知(3，－5)在图象上，所以Asin＝－5⇒A＝10，故C正确；对于D，当x＝时，小球第一次到平衡位置，当x＝＋2＝时，小球第三次到平衡位置，故D正确.故选ACD. 10.如图，在直角坐标系中，已知圆O是以原点O为圆心，半径长为4的圆，一个质点在圆O上，以B为始点，沿逆时针方向匀速运动，每3秒转一圈，则该质点的纵坐标y关于时间t(单位：秒)的函数解析式是　　　　　　　　. 答案：y＝4sin 解析：依题意，设y＝Asin，(A＞0，ω＞0，≤)，由于每3秒转一圈，故最小正周期为3，则ω＝＝，由于圆O半径为4，故A＝4，又初相为，故φ＝，所以y＝4sin. 11.(15分)通常情况下，同一地区一天的温度y(单位：℃)随时间t(单位：h)变化的曲线接近于函数y＝Asin＋b(A＞0，ω＞0，＜π，t∈)的图象.已知2024年7月上旬某地区连续几天最高温度都出现在14∶00，为33 ℃；最低温度都出现在02∶00，为19 ℃. (1)求出该地区一天的温度与时间的函数解析式； (2)7月4日该地区高中学校将举行期末考试，考试时间为每天上午7∶40－12∶00，下午14∶30－17∶00，晚上19∶00－20∶15.学校规定：如果温度大于或等于26 ℃，教室就要开空调.请问每天考试期间教室内的空调要开多少时间？ 解：(1)依题意，知 所以y＝7sin＋26(ω＞0，＜π，t∈)， 因为＝14－2，得T＝24， 所以＝24，得ω＝， 所以y＝7sin＋26(＜π，t∈)， 因为当t＝14时，y＝33，所以33＝7sin＋26，所以sin＝1， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为＜π，所以φ＝－， 所以y＝7sin＋26(t∈). (2)由7sin＋26≥26，得sin≥0， 所以2kπ≤t－≤π＋2kπ，k∈Z，所以2kπ＋≤t≤＋2kπ，k∈Z， 解得24k＋8≤t≤20＋24k，k∈Z，因为t∈，所以8≤t≤20， 因为考试时间为每天上午7∶40－12∶00，下午14∶30－17∶00，晚上19∶00－20∶15， 所以每天考试期间教室内的空调要开4＋2.5＋1＝7.5小时. (12、13小题，每小题5分，共10分) 12.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.由于受潮汐的影响，某港口一天中各时刻的水位高低相差很大.如图，已知该港口某天从8时至14时的水深y(单位：m)与时刻x的关系可用函数y＝Asin＋b近似刻画，其中A＞0，ω＞0，0＜＜.据此可估计该港口当天9时的水深为(　　) A.8－ B.8－ C.8－ D.8－ 答案：C 解析：根据图象可得解得A＝3，b＝8，ω＝，故y＝3sin＋8，当x＝14时，y＝3sin＋8＝11，故×14＋φ＝＋2kπ，k∈Z，进而可得φ＝－＋2kπ，k∈Z，由于0＜＜，所以φ＝，故y＝3sin＋8，当x＝9时，则y＝3sin＋8＝3sin ＋8＝8－.故选C. 13.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系式h(t)＝Asin(ωt＋φ)确定，其中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是(　　) A.h(t)＝Asin(πt＋) B.t＝9秒与t＝秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C.当0＜t＜t0时，若小球有且只有三次到达最高点，则t0∈[5，7] D.当0＜t1＜t2＜2时，若t1，t2时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则sin＝1 答案：B 解析：由题可知小球运动的周期T＝2 s，又ω＞0，所以＝2，解得ω＝π， 当t＝0 s时，Asin φ＝－A，即sin φ＝－1，｜φ｜＜π，所以φ＝－， 则h(t)＝Asin(πt－)＝－Acos πt，故A错误； 因为h(9)＝－Acos 9π＝A，h()＝－Acos π＝－A， 所以t＝9秒与t＝＝2，故B正确； 若0＜t＜t0，则0＜πt＜πt0，又当0＜t＜t0时，小球有且只有三次到达最高点， 所以5π＜πt0≤7π，解得5＜t0≤7，即t0∈(5，7]，故C错误； 因为h(t)＝－Acos πt，令t1＝，t2＝， 则h(t1)＝－Acos ＝－A，h(t2)＝－Acos ＝A， 满足0＜t1＜t2＜2且t1，t2时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时sin＝sin π＝0，故D错误.故选B. 学生用书⬇第48页 学科网（北京）股份有限公司 $