课时分层评价4 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价4　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9小题，每小题5分，共45分) 1.已知角α的终边上一点，则sin α的值为(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：C 解析：因为角α的终边上有一点，所以r＝＝1，所以sin α＝＝－.故选C. 2.已知sin α＝－，cos α＝，则α的终边与以原点为圆心，5为半径的圆的交点的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设交点为，则 .故选D. 3.(多选题)已知角α的终边经过点P，则下列结论正确的是(　　) A.若sin α＝，则m＝1 B.若m＝1，则sin α＝ C.若cos α＝－，则m＝1 D.若m＝1，则cos α＝－ 答案：ABD 解析：由sin α＝，得＝，解得m＝1(负值舍去)，故A正确；由m＝1，得sin α＝＝，cos α＝－，故B、D正确；由cos α＝－，得＝－，解得m＝±1，故C错误.故选ABD. 4.已知点P在角α终边上，且cos α＝m，则sin α＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：A 解析：因为点P在角α终边上，且cos α＝m，即cos α＝＝m，解得m2＝5，所以sin α＝＝＝－.故选A. 5.若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sin α的值为(　　) A.－1 B.1 C.± D. 答案：C 解析：当角α的终边为射线x＋y＝0(x≤0)时，取点P1(－1，1)，则｜OP1｜＝＝，sin α＝＝，当角α的终边为射线x＋y＝0(x≥0)时，取点P2(1，－1)，则｜OP2｜＝＝，sin α＝＝－，所以sin α的值为±.故选C. 6.(多选题)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a，4｜a｜)，其中a≠0，则下列取值有可能的是(　　) A.sin α＝－ B.cos α＝－ C.sin α＋cos α＝ D.sin α－cos α＝ 答案：BCD 解析：当a＞0时，P(3a，4a)，则sin α＝＝＝，cos α＝＝，则sin α＋cos α＝，sin α－cos α＝，此时D正确；当a＜0时，P(3a，－4a)，则sin α＝＝，cos α＝＝－，则sin α＋cos α＝，sin α－cos α＝，此时B、C正确.综上，A错误，B、C、D可能正确.故选BCD. 7.在平面直角坐标系中， 角α的终边过点(－4，－3)，则sin α＋3cos α＝　　　　. 答案：－3 解析：因为角α的终边过点(－4，－3)，所以sin α＝＝－，cos α＝＝－，得到sin α＋3cos α＝－－＝－3. 8.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(－2，3] 解析：由cos α≤0，sin α＞0可知，解得－2＜a≤3，即实数a的取值范围是(－2，3]. 9.如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为α，若cos α＝，则这条射线是　　　　. 答案：OA 解析：依题意，设每个小正方形的边长均为1，得点A，B，C，D，则cos ∠AOx＝cos α＝.故这条射线为OA. 10.(15分)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α的值. 解：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1，2)， 由r＝OP＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝. 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)， 由r＝OQ＝＝， 得sin α＝＝－，cos α＝＝－. (11－13小题，每小题5分，共15分) 11.在平面直角坐标系xOy中，角α与β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若cos α＝－，则cos β＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：A 解析：设角α与β的终边分别与单位圆交于点(x1，y1)，(x2，y2)，因为它们的终边关于y轴对称，所以x2＝－x1且y2＝y1，因为cos α＝－，所以x1＝－，所以cos β＝x2＝－x1＝.故选A. 12.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，且cos α＝，则实数a的值是(　　) A.－4和 B. C.－4 D.1 答案：B 解析：由三角函数的定义可得cos α＝＝＝，则a＞0，整理可得5a2＋16a－16＝0，因为a＞0，解得a＝.故选B. 13.如图，角α的顶点在坐标原点O，始边为x轴的正半轴，角α终边上一点P到O的距离为r，则点P的坐标为　　　　.(用α和r表示) 答案： 解析：由题意点P在第二象限，设它的坐标为，那么由三角函数定义有sin α＝，cos α＝，解得x＝rcos α，y＝rsin α，即点P的坐标为. 14.(15分)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边落在x轴的非负半轴上，终边经过点A(4，y0)，其中y0≠0. (1)若cos α＝，求y0的值； (2)若y0＝－4，求的值. 解：(1)由题意知，｜OA｜＝，因为cos α＝，所以＝，解得＝4，所以y0＝±2. (2)当y0＝－4时，｜OA｜＝＝4， 所以sin α＝－，cos α＝， 所以＝＝＝. (15、16小题，每小题5分，共10分) 15.(新情境)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.如图，在赵爽弦图中直角三角形较小的锐角记为α，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则sin α＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设直角三角形较长直角边长为x，较短直角边长为y，由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，所以故sin α＝＝.故选C. 16.(多选题)如图，在平面直角坐标系中，圆O与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，过点T(x0，sin x0)，作x轴的平行线与圆O相交于不同的B，C两点，且B点在C点左侧，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，下列说法正确的是(　　) A.若x0＝，则x1＝－ B.若x0＝，则y2＝ C.若x1＝－，则cos x0＝ D.若x2＝，则sin x0＝ 答案：AB 解析：由题意可知y1＝y2＝sin x0，若x0＝，则y1＝y2＝sin ＝，则x1＝－＝－，故A、B正确；若x1＝－，则cos x0＝±，故C错误；若x2＝，则cos x0＝±，所以sin x0＝±＝±，故D错误.故选AB. 学生用书⬇第13页 学科网（北京）股份有限公司 $