课时分层评价3 弧度概念 弧度与角度的换算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价3　弧度概念　弧度与角度的换算 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9小题，每小题5分，共45分) 1.在0～2π范围内，与－角终边相同的角是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为＝－＋2π，所以与－.故选D. 2.若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则下列结论正确的是(　　) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 答案：B 解析：因为l＝αR，所以α＝.当R，l均变为原来的2倍时，α不变.扇形的面积S＝αR2，因为α不变，R变为原来的2倍，所以S变为原来的4倍.故选B. 3.集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案：C 解析：当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).故选C. 4.下列与45°终边相同角的集合中正确的是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为角度制和弧度制不能混用，故A、B错误；因为45°＝，－2π＝－，故C正确；对于D，因为α－＝－＝kπ≠2kπ，k∈Z，则α＝kπ＋，k∈Z与45°终边不一定相同，故D错误.故选C. 5.(多选题)下列结论正确的是(　　) A.－是第三象限角 B.若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 C.与－2 026°角终边相同的最小正角是134° D.终边落在直线y＝x上的角的集合是 答案：BC 解析：对于A，因为－＝－2π且为第二象限角，所以－为第二象限角，故A错误；对于B，扇形的半径为r＝＝3，因此，该扇形的面积S＝×π×3＝，故B正确；对于C，因为－2 026°＝－360°×6＋134°，所以与－2 026°角终边相同的最小正角是134°，故C正确；对于D，终边落在直线y＝x上的角的集合为，故D错误.故选BC. 6.已知扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，有下列四个命题：甲：α＝，乙：r＝1，丙：l＝，丁：S＝.若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案：B 解析：假设甲为假命题，S＝r·l＝×1×＝≠，故乙丙丁有一个是假命题，故甲是真命题；假设丁为假命题，l＝α·r＝×1＝≠，故乙丙有一个是假命题，故丁是真命题；假设丙为假命题，S＝αr2＝××1＝≠，故丙是真命题，乙是假命题.故选B. 7.(开放题)写出一个与角－1 280°终边相同的正角：α＝　　　　(用弧度数表示). 答案：(答案不唯一，符合＋2kπ，k∈N即可) 解析：与角－1 280°终边相同的角：α＝－1 280°＋360°·k，k∈Z，因为α＞0，所以k≥4，k∈Z，所以α可取160°，化为弧度数为.(答案不唯一，符合＋2kπ，k∈N即可). 8.圆的一条弧的长度等于圆内接正六边形的边长，则这条弧所对的圆心角的弧度数为　　　　. 答案：1 解析：设圆的半径为r，由于圆内接正六边形每条边长对应的圆心角为60°，如图所示，则圆内接正六边形的边长为r，所以这条弧所对的圆心角为＝1. 9.用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为　　　　　　　　　　　　　. 答案： 解析：终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z.终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z，故终边落在阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为. 10.(15分)已知扇形的半径r＝2 cm，周长为C＝cm， (1)求扇形的面积； (2)在区间上求出与此扇形的圆心角α终边相同的角. 解：(1)设扇形的弧长为l，因为r＝2 cm， 依题意，得扇形的周长为C＝2r＋l＝2×2＋l＝4＋，所以l＝， 所以扇形的面积为S＝lr＝××2＝ cm2. (2)由(1)可知，圆心角α＝＝＝， 故与α终边相同的角的集合为S＝ ， S中适合0≤β≤4π的元素β有＋0×2π＝，＋1×2π＝， 故在区间[0，4π]上与此扇形的圆心角α终边相同的角为. (11－13小题，每小题5分，共15分) 11.(新情境)现行的二十四节气是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为(　　) A.－ B. C. D. 答案：D 解析：依题意，从立冬到立春对应地球在黄道上逆时针运动所对圆心角的度数为6×15°＝90°，即弧度数为.故选D. 12.设集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：当k＝0时，x＝±，当k＝1时，x＝或x＝，当k取其他整数时，均不在内，故A∩B＝.故选C. 13.(双空题、新定义)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)，弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为4米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为　　　　米；面积为　　　　平方米. 答案：2　4＋2 解析：如图所示，过O作OM⊥AB于M，OM的延长线交于C. 则∠AOB＝，AB＝4米，所以∠AOM＝∠MOB＝，AM＝MB＝2米，所以AO＝＝＝4米，OM＝OAcos ∠AOM＝2米，所以矢为CM＝OC－OM＝2米，则弧田面积是×＝(4＋2)平方米. 14.(15分)在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案. (1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； (2)比较两种方案中扇形面积的大小. 解：(1)因为△OAB是顶角为、腰长为2的等腰三角形，所以A＝B＝，OM＝ON＝1. 方案一中扇形的周长L1＝2＋2＋2×＝4＋， 方案二中扇形的周长L2＝1＋1＋1×＝2＋， 所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为＝2－. (2)方案一中扇形的面积S1＝××22＝， 方案二中扇形的面积S2＝××12＝，所以S1＝S2，即两种方案中扇形的面积相等. (15、16小题，每小题5分，共10分) 15.(多选题)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是(　　) A.＝ B.若＝，扇形的半径R＝3，则S1＝2π C.若扇面为“美观扇面”，则θ＝π D.若扇面为“美观扇面”，半径R＝20，则扇形面积为200π 答案：ACD 解析：对于A，S1，S2所在的扇形的圆心角分别为θ，2π－θ，所以＝＝，故A正确；对于B，若＝＝，则θ＝，又R＝3，则S1＝·θ·R2＝××9＝3π，故B错误；对于C，若＝＝，所以θ＝π，故C正确；对于D，若＝＝，θ＝π，又R＝20，所以S1＝·θ·R2＝×π×400＝200π，故D正确.故选ACD. 16.(新定义)扇环是指一个圆环从圆心引出两条射线截出的部分.组成同一扇环的大、小两弧分别称为外弧与内弧，外弧与内弧在其对应圆上对应的弦为外弦与内弦.如图：A，B两个全等的扇环圆心角为60°，按此方式摆放，我们会认为B环更大，这就是“贾斯特罗错觉”.现顺势延长A环使A环的内弧长等于B环的外弧长，若外、内弧对应圆半径比为2∶1，则延长后A的内弦与B的外弦长度比为　　　　　　. 答案：∶2 解析：设外、内弧对应圆半径分别为r2，r1，且r2∶r1＝2∶1，设延长A环后增加的圆心角为θ，由已知可得B的外弧长：·r2，A的内弧长：·r1，由题意可得·r1＝·r2，解得θ＝；易得延长后A的内弦长为r1，B的外弦长为r2，显然长度比为∶2. 学科网（北京）股份有限公司 $