单元检测卷(一) 三角函数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

单元检测卷(一)　三角函数 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若θ＝2 026°，则θ的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C 解析：因为2 026°＝5×360°＋226°，所以226°与2 026°的终边相同，易知226°的终边在第三象限.故选C. 2.已知α是第二象限的角，P为其终边上的一点，且sin α＝，则x＝(　　) A.－4 B.±4 C.－8 D.±8 答案：C 解析：点P是第二象限的角α终边上的一点，则x＜0，由sin α＝，得＝，所以x＝－8.故选C. 3.若sin αtan α＞0，则α为(　　) A.第一、四象限的角 B.第二、三象限的角 C.第一、三象限的角 D.第二、四象限的角 答案：A 解析：由sin αtan α＞0可知，sin α，tan α同号，所以α为第一象限的角或第四象限的角.故选A. 4.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案：B 解析：依题意， 得2sin x－1≥0，即sin x≥，故x∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z).故选B. 5.下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　) A.y＝sin 4x B.y＝cos 4x C.y＝tan x D.y＝－tan 2x 答案：B 解析：对于A，由sin＝－＞－1＝sin可知函数y＝sin 4x在上不是单调递增的，故A错误；对于B，y＝cos 4x的周期为，且当x∈时，有π＜4x＜2π，故函数y＝cos 4x在上单调递增，故B正确；对于C，由tan＝－1≠1＝tan可知y＝tan x不以为周期，故C错误；对于D，y＝－tan 2x的周期为，由－tan＝＞1＝－tan可知函数y＝tan 2x在上不是单调递增的，故D错误.故选B. 6.为了得到函数y＝cos的图象，只要把函数y＝cos的图象上所有的点(　　) A.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 答案：A 解析：对于A，得y＝cos满足题意；对于B，得y＝cos不满足题意；对于C，得y＝cos不满足题意；对于D，得y＝2cos不满足题意.故选A. 7.已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，则f(x)在的最小值为(　　) A.－ B.－ C.0 D. 答案：A 解析：因为函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，所以＝，解得ω＝1，所以f(x)＝sin，当x∈，则3x＋∈，所以当3x＋＝，即x＝时f(x)取得最小值，即f＝－.故选A. 8.已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)，其中相邻的两条对称轴的距离为，且f(x)经过点，则关于x的方程f(x)＝sin x在上的不同解的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：D 解析：由已知相邻两条对称轴的距离为，可得＝＝，又ω＞0，可得ω＝3，由函数f(x)经过点，则2sin φ＝－1，即sin φ＝－，又＜，可得φ＝－，所以f(x)＝2sin，因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，所以函数f(x)＝2sin的最小正周期为T＝，所以在上，函数f(x)＝2sin有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点，故选D. 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列化简正确的是(　　) A.sin＝sin α B.tan＝－tan α C.sin＝－cos α D.cos＝sin α 答案：AC 解析：对于A，sin＝sin＝sin＝sin α，故A正确；对于B，tan＝tan α，故B错误；对于C，sin＝sin＝sin＝－sin＝－cos α，故C正确；对于D，cos＝cos＝－sin α，故D错误.故选AC. 10.已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象可能是(　　) 答案：ACD 解析：当a＝0时，f(x)＝1；当a≠0时，周期为T＝，振幅为，对于A，当a＝0时，f(x)＝1，故A正确；对于B，由T＞2π，可得＜1，所以＜1，所以最大值小于2，故B错误；对于C，当＜1时，T＞2π，故C正确；对于D，由T＜2π可得＞1，所以＞1，所以最大值大于2，故D正确.故选ACD. 11.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车及其示意图，一个水斗从点A(1，－)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时10秒.经过t秒后，水斗旋转到点P(f(t)，g(t))，其中f(t)＝Rcos(ωt＋φ)，则(　　) A.φ＝－ B.f(t)在[2，3]上单调递减 C.f(t)在[3，5]上的最小值为－2 D.当t＝5时，PA＝4 答案：ABD 解析：R＝＝2，由题易知函数f(t)＝2cos(ωt＋φ)的最小正周期T＝10＝.又ω＞0，所以ω＝，所以f(t)＝2cos，易知∠xOA＝－，所以f(t)＝2cos，故A正确；当t∈[2，3]时，t－∈，所以函数y＝f(t)在[2，3]上单调递减，故B正确；当t∈[3，5]时，t－∈，所以函数y＝f(t)在[3，5]上的最小值为f(5)＝－1，故C错误；当t＝5时，f(5)＝2cos＝－1，P的横坐标为－1，易知此时点P(－1，)，PA为水车直径，故PA＝4，故D正确.故选ABD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在横线上.) 12.写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝　　　　.(答案不唯一) 答案：cos 2x 解析：函数f(x)＝cos 2x是定义域为R，最小正周期为T＝＝π的偶函数，符合题意. 13.如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝　　　　. 答案： 解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2，在Rt△POB中，PB＝rtan α，则△POB的面积为r·rtan α，由题意得r·rtan α＝2×αr2，所以tan α＝2α，所以＝. 14.如图，已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0，＜)的部分图象，则下列命题中，正确的序号为　　　　　. ①f(x)的图象关于直线x＝－对称；②f(x)在上单调递增；③f是奇函数；④将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象. 答案：①③④ 解析：由图象可得，A＝2，函数f(x)的最小正周期为T＝4＝π，故ω＝＝＝2，则f(x)＝2sin，则f＝2sin＝2，可得sin＝1，因为－＜φ＜，则－＜φ＋＜，所以φ＋＝，解得φ＝，所以f(x)＝2sin.对于①，因为f＝2sin(－＋)＝2sin＝－2＝f，所以直线x＝－为函数f(x)的一条对称轴，故①正确；对于②，当≤x≤π时，≤2x＋≤，所以函数f(x)在上不单调，故②错误；对于③，f＝2sin＝－2sin 2x为奇函数，故③正确；对于④，将f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象，故④正确.故选①③④. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知＝－，且lg有意义. (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M，且＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值. 解：(1)由＝－，所以sin α＜0， 由lg 有意义，可知cos α＞0，所以α是第四象限角. (2))因为＝1，所以＋m2＝1， 得m＝±，又α为第四象限角，故m＜0，从而m＝－，sin α＝＝＝－. 16.(15分)(1)化简： ； (2)计算：. 解：(1)原式＝＝＝＝－cos α. (2)原式＝＝ ＝＝2－. 17.(15分)设f(x)＝Asin(A＞0，0＜ω＜，0＜φ＜)过点，且一个周期的图象(原点O，最高点M，最低点N)如图所示. (1)求A，φ； (2)再从以下三个条件中任选其一，使函数f(x)唯一确定，并求f(x)的单调递增区间. 条件①：＝5；条件②：＝； 条件③：f＝0. 解：(1)f(x)＝Asin，由图象可知，A＝2，所以f(x)＝2sin， 因为f(x)＝2sin，所以1＝2sin φ，所以sin φ＝， 又0＜φ＜，解得φ＝. 综上所述，A＝2，φ＝. (2)选择条件①： 因为＝5⇔＝＝3， 所以＝＝3⇒ω＝， 故f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 有－2＋6k≤x≤1＋6k，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 选择条件②：因为＝⇔xM＝＝1⇔M， 所以2＝2sin，所以1＝sin，由0＜ω＜，解得ω＝， 故f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 有－2＋6k≤x≤1＋6k，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 选择条件③： 因为f＝0⇔sin＝0⇔＋＝kπ⇔ω＝－(k∈Z)， 由0＜ω＜，解得ω＝，故f(x)＝2sin， 令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，有－2＋6k≤x≤1＋6k，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 18.(17分)(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝2sin，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值； (3)当x∈时，不等式｜f(x)－m｜＜3恒成立，求实数m的取值范围. 解：(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)h(x)＝2sin，t∈(0，π). 由题意知2×＋2t－＝kπ(k∈Z)， 得t＝＋(k∈Z)， 又t∈(0，π)，所以t＝或t＝. (3)当x∈时，2x－∈， 所以f(x)∈[1，2]. 又｜f(x)－m｜＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3， 所以2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4. 故实数m的取值范围是(－1，4). 19.(17分)定义域为R的函数h满足：对任意x∈R，都有h＝h＋h，则称h具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质P：m＝2x－1和n＝1－cos x； (2)函数f(x)＝sin＜ω＜，＜)，判断是否存在实数ω，φ，使f(x)具有性质P？若存在，求出ω，φ的值；若不存在，请说明理由； (3)在(2)结论下，若方程f＝a(a为常数)在区间上恰有三个实数根x1，x2，x3，求sin的值. 解：(1)m＝2－1＝2x＋4π－1，m＝4π－1， 故m≠m＋m，则函数m＝2x－1不具有性质P； n＝1－cos＝1－cos x，n＝1－cos 2π＝0， 故n＝n＋n，则函数n＝1－cos x具有性质P. (2)若f(x)具有性质P，则f＝f＋f， 则f＝sin φ＝0，因为＜，所以φ＝0， 则f(x)＝sin ωx，由f＝f(x)＋f得：f＝k·f， 若f≠0，则存在k0∈Z，使得＞1，而≤1，上式不成立， 故f＝0，即sin＝0，因为＜ω＜， 所以3π＜2ωπ＜5π，则2ωπ＝4π，即ω＝2，则f(x)＝sin 2x， 验证：当ω＝2，φ＝0时，f(x)＝sin 2x， 则对任意x∈R，f＝sin 2＝sin 2x， f(x)＋f＝sin 2x＋sin 4π＝sin 2x，等式f＝f(x)＋f成立， 故存在ω＝2，φ＝0，使函数f(x)具有性质P. (3)由(2)知，f(x)＝sin 2x，f＝f＝sin＝a， 令t＝2x＋，t∈，由题知，sin t＝a在区间上恰有三个实数根t1，t2，t3， 学科网（北京）股份有限公司 $