第一章 重点突破1 三角函数中的最值问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦三角函数最值问题，系统梳理形如f(x)=Asin(ωx+φ)的基础最值、转化为二次函数型的复合最值、分式型三角函数最值及参数相关最值问题，构建从基础到综合的递进式学习支架。 资料通过题型分类讲解与一题多解（如分式型最值的分析法与方程法），培养学生逻辑推理与数学运算核心素养。课中助力教师分层教学，课后学生可借助对点练巩固知识，有效查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

学习目标 1.会求形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)型的最值问题.　2.能把三角函数问题转化为二次函数型的最值问题.　3.能解决与最值有关的参数问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 题型一　形如f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的值域(最值)问题 已知函数f(x)＝sin＋1. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值及取得最大值、最小值时x的值. 解：(1)因为f(x)＝sin＋1，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)当x∈时，则－≤2x＋≤， 故当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－＋1＝； 当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1＋1＝2. 即f(x)max＝2，此时x＝；f(x)min＝，此时x＝－. 学生用书⬇第38页 　　形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x在特定范围内的值域，通常将ωx＋φ看作一个整体，然后类比y＝sin x的单调性求解. 对点练1.(1)函数y＝cos，x∈的值域是(　　) A. B. C. D. (2)已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)的最小正周期为π，则函数在的最小值是(　　) A.－ B.－ C.0 D. 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)因为x∈，所以x＋∈，因为函数t＝cos x在上单调递增，在上单调递减，又cos＝，cos 0＝1，cos ＝，所以cos∈，即y∈.故选A. (2)因为函数f(x)＝3sin的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝3sin.当x∈时，2x＋∈，由正弦函数的图象和性质可知当2x＋＝时，f(x)取最小值，f(x)的最小值为3×sin ＝.故选D. 题型二　转化为sin x(cos x)的二次函数型求最值 已知x∈. (1)求y＝sin x的值域； (2)求y＝sin2 x＋2sin x＋2的值域. 解：(1)由题意可知y＝sin x在x∈单调递增，在x∈单调递减， 所以当x＝－时，y＝sin x取最小值－，当x＝时，y＝sin x取最大值1， 所以y＝sin x，x∈. (2)令sin x＝t，由(1)知t∈，所以y＝sin2 x＋2sin x＋2＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1， 由二次函数的性质可知，当t∈时，函数y＝(t＋1)2＋1单调递增， 所以当t＝－时，y取最小值，当t＝1时，y取最大值5，故所求函数的值域为. 　　形如y＝asin2x＋bsin x＋c的函数，首先设t＝sin x，化为二次函数y＝at2＋bt＋c在闭区间t∈[－1，1]上的最值求解. 对点练2.(1)已知函数f(x)＝－2sin2 x＋asin x－3，当a＝4时，函数f(x)的最大值是(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 (2)函数f(x)＝2cos2 x－6cos x＋1的值域是(　　) A. B. C.[－3，9] D. 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)当a＝4时，f(x)＝－2sin2 x＋4sin x－3＝－2－1，因为sin x∈，所以当sin x＝1时，f(x)＝－2－1取得最大值，最大值为－1.故选A. (2)由题意可知：f(x)＝2cos2 x－6cos x＋1＝2－，由于－1≤cos x≤1，所以当cos x＝1时，函数f＝－3，当cos x＝－1时，函数f＝9，所以函数f(x)的值域为.故选C. 题型三　形如y＝与y＝的最值 (一题多解)函数f(x)＝的值域为(　　) A.(－∞，－2)∪(0，＋∞) B.(－∞，－2]∪[0，＋∞) C.(－∞，－2)∪[0，＋∞) D.(－∞，－2]∪(0，＋∞) 答案：B 解析：法一：f(x)＝＝－＋，因为－1≤sin x≤1，所以－1≤3sin x＋2≤5，又3sin x＋2≠0，所以≤－≥，所以－＋≤－2或－＋≥0，故f(x)＝的值域为(－∞，－2]∪[0，＋∞).故选B. 法二：由y＝，得(3y＋1)sin x＝1－2y，易知y≠－，所以sin x＝，则≤1，解得y≥0或y≤－2，故f(x)＝的值域为(－∞，－2]∪[0，＋∞).故选B. 求形如y＝与y＝的最值的方法 　　根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于sin x或cos x的函数求解时应注意sin x或cos x的范围. 对点练3.函数y＝的值域是(　　) A.(－∞，0]∪[4，＋∞) B.(－∞，0]∪[2，＋∞) C.[0，4] D.[0，2] 答案：B 解析：令cos x＝t，t∈∪，y＝＝＝＋·，可得2t－1∈[－3，0)∪(0，1]，∈∪[1，＋∞)，·∈∪，故y∈(－∞，0]∪[2，＋∞).故选B. 题型四　与最值有关的参数问题 (1)设f(x)＝cos ωx(ω＞0)，f＝－1，f＝1，且的最小值为π，则ω＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 学生用书⬇第39页 (2)已知函数f(x)＝sin的图象关于直线x＝对称，且f(x)在上没有最小值，则ω的值为(　　) A. B.4 C. D. 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)设函数f(x)的最小正周期为T，因为f(x)＝cos ωx(ω＞0)，f＝－1，f＝1，且的最小值为π，故＝π，即T＝2π，故ω＝＝＝1.故选A. (2)由f(x)＝sin的图象关于直线x＝对称，可得ω×＋＝＋kπ，k∈Z，而ω＞0，故ω＝＋6k，k∈N.若k≥1，则ω＝＋6k＞6k≥6，故由0＜＜＜＝，可知f(x)在上有最小值f.所以k＝0，ω＝.故选A. 　　已知最值在求参数范围时，要注意结合三角函数的性质的应用，如单调性和图象的变换等. 对点练4.(1)已知f(x)＝sin(2x－φ)在上是增函数，且f(x)在上有最小值，则φ的取值范围是(　　) A. B. C. D. (2)若函数f(x)＝2cos－1在[0，m]上的最小值小于零，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)由x∈，得2x－φ∈，又由0＜φ＜，且f(x)在上是增函数，可得－φ≤，所以≤φ＜.当x∈时，2x－φ∈，由f(x)在上有最小值，可得－φ＞，则φ＜.综上，≤φ＜.故选B. (2)因为x∈[0，m]，所以2x－∈，设t＝2x－，则t∈，作出函数y＝2cos t－1的图象如图所示，由y＝2cos t－1＝0，得cos t＝，则t＝＋2kπ或t＝－＋2kπ，k∈Z，则当t＞0时，第一个零点为t＝，当－≤t≤时，y＝2cos t－1≥0，要使y＝2cos t－1在t∈上的最小值小于0，则只需要2m－＞，解得m＞. 1.若函数f(x)＝asin＋b(a＞0)的值域为[－3，5]，则ab＝(　　) A.－4 B.4 C.－3 D.3 答案：B 解析：因为sin∈[－1，1]，所以f(x)∈[－a＋b，a＋b]，a＞0.由题意得故ab＝4.故选B. 2.设函数f(x)＝2πcos，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则｜x1－x2｜的最小值为(　　) A.4 B.2 C.1 D. 答案：B 解析：因为对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，所以f(x)min＝f(x1)，f(x)max＝f(x2)，即x1和x2分别是函数的最小值点和最大值点，所以｜x1－x2｜的最小值即为函数的半周期长，而函数f(x)＝2πcos的最小正周期为T＝＝4，因此｜x1－x2｜min＝＝2.故选B. 3.已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－｜sin x－cos x｜(x∈R)，则f(x)的值域是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由函数f(x)＝(sin x＋cos x)－｜sin x－cos x｜，可得f(x)＝＝(其中k∈Z)，当x∈(k∈Z)时，f(x)∈.当x∈(k∈Z)时，f(x)∈，故f(x)的值域为.故选C. 4.设函数f(x)＝cos(ω＞0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　　　　. 答案： 解析：由于对任意的实数x都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)，又ω＞0，所以ωmin＝. 学科网（北京）股份有限公司 $