第一章 三角函数 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

该高中数学讲义通过知识框架系统梳理三角函数单元核心内容，涵盖任意角三角函数定义、诱导公式、图象性质及实际应用，用表格归纳公式规律，例题解析呈现解题脉络，突出定义理解、公式应用等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“探究点+对点练”的分层设计，如“已知角终边在直线上求三角函数值”“三角函数图象变换求解析式”等题型，强调定义法、整体代换等思维策略，培养数学思维与数学眼光。高考真题溯源教材，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力教师精准教学与学生自主复习。

章末综合提升 探究点一　任意角的三角函数 已知角α的终边在直线y＝－2x上. (1)若角α终边上一点A的横坐标为2，求sin α和cos α的值； (2)求5sin α＋的值. 解：(1)因为点A的横坐标为2，所以y＝－4，即点A的坐标为(2，－4)， 所以r＝＝2， 所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝. (2)设α的终边上任一点为(a，－2a)(a≠0)，则r＝＝｜a｜， 当a＞0时，r＝a，所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝， 所以5sin α＋＝－2＋2＝0； 当a＜0时，r＝－a，所以sin α＝＝＝，cos α＝＝－＝－， 所以5sin α＋＝2－2＝0；综上：5sin α＋的值为0. 　　在任意角的正弦、余弦、正切的定义中，注意r＝，尤其是已知点的某一坐标，求另一坐标时注意符号的选取，从而得到角的其他三角函数值. 对点练1.(1)已知角α的终边经过点，且cos α＝－，则实数a的值是(　　) A.－2 B.－1 C.2 D.1 (2)(多选题)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A(－1，a)，B(b，1)且sin α＝，则下列结论正确的是(　　) A.a＝－ B.b＝－2 C.cos α＝－ D.tan α＝－ 答案：(1)B　(2)BCD 解析：(1)cos α＝－＜0，说明角α的终边在第二或第三象限，终边经过点，所以终边在第二象限，所以2a－1＜0，a＜，cos α＝＝－，解得a＝－1.故选B. (2) 因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A(－1，a)，B(b，1)且sin α＝，所以＝＝，所以a2＝，b2＝8，由＝，可知a＞0，所以角α为第二象限角，所以b＜0，所以a＝，b＝－2，故A错误，B正确；所以cos α＝＝－，tan α＝＝－＝－，故C、D正确.故选BCD. 探究点二　诱导公式的应用 在平面直角坐标系xOy中，α，β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点O)于A，B两点.已知点A，将OA绕原点顺时针旋转到OB， 学生用书⬇第49页 (1)求点B的坐标； (2)求的值. 解：(1)已知点A在单位圆上，cos α＝，sin α＝， 又β＝α－，cos β＝cos＝sin α＝，sin β＝sin＝－cos α＝－， 点B在单位圆上，所以有B. (2)由(1)知，cos β＝，sin β＝－，则有tan β＝－， 所以＝＝＝. 　　解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值，充分利用诱导公式，进行化简求值. 对点练2.(1)若角θ的终边经过点，则sin＋cos＋tan＝(　　) A.2 B.－ C.－2 D. (2)化简：＝　　　　. 答案：(1)C　(2)－ 解析：(1)由诱导公式可得，sin＋cos＋tan＝－sin θ＋sin θ＋tan θ＝tan θ，又角θ的终边经过点，所以tan θ＝＝－2，所以sin＋cos＋tan＝tan θ＝－2.故选C. (2)原式＝ ＝＝－. 探究点三　三角函数图象与性质的应用 如图，已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω＞0，｜φ｜＜π)的部分图象. (1)求f(x)的解析式； (2)若将f(x)图象上每一点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数g(x)，求g(x)在的值域. 解：(1)观察图象知，函数f(x)的最小正周期T＝＝π， 则ω＝＝2，由f＝2，得2×＋φ＝2kπ，k∈Z，而｜φ｜＜π，则k＝1，φ＝－， 所以f(x)的解析式是f(x)＝2cos. (2)由(1)知，f(x)＝2cos，则g(x)＝f(2x)＝2cos， 当x∈，则4x－∈， 而函数y＝cos x在上单调递减，在上单调递增， 因此当4x－＝π，即x＝时，g(x)min＝－2； 当4x－＝，即x＝时，g(x)max＝， 所以g(x)在的值域为[－2，]. 　　研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题时，把ωx＋φ看作一个整体，利用整体代换来解决. 对点练3.(1)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位后，图象关于点对称，则φ的值为(　　) A.－ B.－ C. D. (2)(多选题)已知函数f(x)＝Asin 的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A.φ＝ B.函数f(x)的图象关于x＝对称 C.函数f(x)在上的值域为 D.要得到函数g＝Acos的图象，只需将函数f(x)的图象向左平移个单位 答案：(1)B　(2)ACD 解析：(1)平移后的函数解析式为y＝f＝sin，依题意，得2×＋φ－＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，所以φ＝－.故选B. (2)设函数的最小正周期为T，由图可知，A＝2，＝－＝，故T＝1.因为T＝，所以ω＝2π.对于A，因为函数图象最高点为，所以f＝2sin＝2，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，故φ＝＋2kπ，k∈Z，因为＜，所以φ＝，故A正确；对于B，由A可得f(x)＝2sin，f＝2sin＝1≠±2，故直线x＝不是函数f(x)的对称轴，故B错误；对于C，当x∈时，2πx＋∈，2sin∈，故函数f(x)在，故C正确；对于D，依题意，得g＝2cos，将函数f(x)的图象向左平移个单位后的函数表达式为y＝2sin＝2sin＝2cos，故D正确.故选ACD. 探究点四　三角函数的简单应用 心脏跳动时，血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： 学生用书⬇第50页 (1)求函数y＝p(t)的周期和此人每分钟心跳的次数； (2)画出函数y＝p(t)的草图，并求出此人的血压在血压计上的读数. 解：(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)， 所以函数p min.每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次). (2)列表： t 0 y＝p(t) 115 140 115 90 115 描点、连线得到函数y＝p(t)的图象如图所示： 由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg. 　　在三角函数的实际应用中，关键是构建三角函数模型，然后利用模型解决实际问题. 对点练4.(1)声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为h＝Asin ωt，其中A表示振幅，响度与振幅有关；T表示最小正周期，T＝，它是物体振动一次所需的时间；f表示频率，f＝，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率f： 音 宫 商 角 徵 羽 频率f 262 Hz 293 Hz 330 Hz 392 Hz 440 Hz 小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音(假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱)，若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是(　　) A.宫 B.商 C.角 D.徵 (2)某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表(气温单位：℃)，如图.根据图中提供的数据，试用y＝Asin＋b(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)近似地拟合出月平均气温与时间(单位：月)的函数关系式为　　　　，x＝1，2，…，12. 答案：(1)C　(2)y＝6sin＋21 解析：(1)由题意可知：kT＝，k∈N＋，可得T＝，k∈N＋，则f＝＝3k，k∈N＋，结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍数，所以小明弹奏的音是“角”.故选C. (2)若以1月份为最低气温15，8月份为最高气温27，则可得A＝＝6，b＝＝21， T＝×2＝14，所以ω＝＝，故y＝6sin＋21，x＝1，2，…，12.将最高点代入可得27＝6sin＋21，故×8＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，由于－π＜φ＜0，则φ＝－，所以函数解析式为y＝6sin＋21，x＝1，2，…，12. (2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω＞0).已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且｜x1－x2｜的最小值为，则ω＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：因为f(x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，｜x1－x2｜min＝，所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2. 溯源：(教材P75C组T1) 　　设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0).若f(x)在区间［，］上具有单调性，且f()＝－f()＝f()，求f(x)的最小正周期. 点评：该高考题直接考查函数f(x)＝sin ωx的最值以及图象的应用，与教材习题题型完全相同，难度低于教材习题的难度. (2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin(3x－)的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案：C 解析：因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin(3x－)与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点.故选C. 溯源：(教材P65A组T1) 　　在区间(－，)上，函数y＝tan x与y＝sin x的图象交点的个数是　　　　. 点评：该高考题直接考查三角函数图象的变换，与教材习题的命题角度完全相同，体现高考试题来源于教材，不同点是高考题考查图象变换，相同点是都要通过数形结合解决. (2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin 3(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为(　　) 学生用书⬇第51页 A.－ B.－ C.0 D. 答案：A 解析：由f(x)的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin(2x＋π)＝ －sin 2x.当x∈时，2x∈，sin 2x∈，所以f(x)min＝－.故选A. 溯源：(教材P52A组T5) 求下列函数的最大值、最小值以及达到最大(小)值时x的值的集合： (1)y＝sin； (2)y＝－6sin. 点评：该高考题考查三角函数的周期性与最值，与教材习题考查角度完全相同，但难度高于教材习题的难度；体现高考试题源于教材且高于教材. (多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin(2x－)，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：BC 解析：对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC. 溯源：(教材P42实例分析) 探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 　　考虑这类函数的一个特例：y＝sin 2x，x∈R. 1.周期 　　由sin 2x＝sin(2x＋2π)＝sin 2(x＋π)，根据周期函数的定义，y＝sin 2x是周期函数，π是y＝sin 2x的最小正周期. 点评：该高考题考查三角函数的图象变换以及性质，与教材实例分析y＝sin 2x的图象与性质角度完全相同，但难度高于教材实例分析的难度；体现高考试题源于教材且高于教材. (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若｜AB｜＝，则f(π)＝　　　　. 答案：－ 解析：设A，B，由｜AB｜＝可得x2－x1＝，由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4.因为f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，即φ＝－π＋kπ，k∈Z.所以f(x)＝sin＝sin，所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin，又因为f(0)＜0，所以f(x)＝sin，所以f(π)＝sin＝－. 溯源：(教材P75C组T1) 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0).若f(x)在区间上具有单调性，且f＝－f＝f，求f(x)的最小正周期. 点评：该高考题考查已知三角函数的图象求解析式以及函数的性质，与教材习题的考查角度相似，但难度高于教材习题的难度；体现高考试题源于教材且高于教材. (2024·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若α∈，则cos β的最大值为　　　　. 答案：－ 解析：因为α与β的终边关于原点对称，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cos β＝cos(2kπ＋π＋α)＝ －cos α.因为α∈［，］，所以cos α∈［，］，所以cos β∈［－，－］，所以cos β的最大值为－. 溯源：(教材P22练习T3) 角α的终边与单位圆交于点P，分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角π－α，－α，π＋α，2π－α的正弦函数值、余弦函数值. 点评：该高考题考查诱导公式与对称，与教材习题的考查角度相似，但难度高于教材习题的难度；体现高考试题源于教材且高于教材. (2023·北京卷)已知命题p：若α，β为第一象限角，且α＞β，则tan α＞tan β.能说明p为假命题的一组α，β的值为α＝　　　　　，β＝ 　　　　. 答案：　 解析：因为f(x)＝tan x在上单调递增，若0＜α0＜β0＜，则tan α0＜tan β0，取α＝2k1π＋α0，β＝2k2π＋β0，k1，k2∈Z，则tan α＝tan＝tan α0，tan β＝tan＝tan β0，即tan α＜tan β，令k1＞k2，则α－β＝－＝2π＋，因为2π≥2π，－＜α0－β0＜0，则α－β＝2π＋＞＞0，则α＞β.不妨取k1＝1，k2＝0，α0＝，β0＝，即α＝，β＝满足题意. 溯源：(教材P63例5) 比较下列各组中三角函数值的大小： (1)tan与tan ； (2)tan与tan . 点评：本高考题主要考查利用正切函数单调性比较正切值的大小以及任意角的定义，难度高于教材例题的难度，是对教材知识的拓展与延伸. (2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是　　　　. 答案：[2，3) 解析：因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3. 溯源：[教材P38练习T1(1)] y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝的交点的个数为(　　)，并说明理由. A.0 B.1 C.2 D.3 点评：本高考题主要考查根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用，难度高于教材习题的难度，是对教材习题的拓展. 由函数y＝sin t的图象知，t1＋t2＝π，t3＝t1＋2π， 则t3－t2－2t1＝－＝π， 故－－2＝π， 化简得x3－x2－2x1＝， 则sin＝. 学科网（北京）股份有限公司 $