第四章 重点突破3 三角恒等变换的应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦三角恒等变换核心知识点，系统梳理从公式应用（如二倍角、辅助角公式）到综合问题（三角函数最值）、几何应用（扇形内接矩形面积）、实际问题（度假区规划）的知识脉络，通过题型分类与对点练搭建学习支架。 该资料突出数学运算与数学建模核心素养，如几何题中用三角变换将矩形面积表示为三角函数求最值，实际问题中借正弦定理建立面积模型。课中示例步骤清晰助力教师授课，课后对点练与练习题帮助学生巩固提升，查漏补缺。

学习目标 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行叠加.　2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题，培养数学运算、数学建模的核心素养. 题型一　三角恒等变换与三角函数的综合问题 已知函数f＝sin xcos x－cos 2x＋. (1)求函数f在上的最值； (2)若f＝，求cos 的值. 解：(1)由函数f＝sin xcos x－cos 2x＋， 得f＝×2sin xcos x－＝sin 2x－cos 2x＝sin ， 因为x∈，所以－≤2x－≤π， 所以－1≤sin (2x－)≤1. 所以f(x)min＝－1，f(x)max＝1. (2)由函数f＝sin ，可得f(α＋)＝sin(2α＋)＝， 因为(2α＋)－(2α－)＝， 所以cos(2α－)＝cos［(2α＋)－］＝－sin(2α＋)＝－. 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 对点练1.已知函数f＝cos 2x＋sin xcos x＋sin sin . (1)求f(x)的最小正周期； (2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间. 解：(1)f＝cos 2x＋sin xcos x＋sin sin ＝×＋sin 2x－(cos 2x－cos )＝＋cos 2x＋sin 2x－cos 2x ＝＋sin 2x－cos 2x＝sin ＋， 所以f＝π. (2)令2x－∈，k∈Z，则x∈，k∈Z， 又x∈[0，π]， 所以f，. 题型二　三角恒等变换在几何中的应用 如图①，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记∠POC＝α. (1)当角α 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积； (2)已知条件不变，连接QC，CP (如图②)，求四边形OPCQ 面积的最大值. 解：(1)在Rt△OBC 中，OB＝cos α，BC＝sin α. 在Rt△OAD 中，＝tan ＝. 所以OA＝DA＝BC＝sin α，AB＝OB－OA＝cos α－sin α. 设矩形ABCD 的面积为S，则 S＝AB·BC＝sin α＝sin αcos α－sin 2α ＝sin 2α－＝sin 2α＋cos 2α－ ＝－＝sin －. 由0＜α＜，得＜2α＋＜， 所以当2α＋＝，即α＝ 时，S取最大值，最大值为－＝. 因此，当α＝ 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为. (2)由已知∠POC＝α，∠QOC＝－α，过点C 作CM⊥OP，CN⊥OQ，垂足分别为点M，N，如图所示. 则CM＝OCsin α＝sin α，CN＝OCsin ＝sin . 所以四边形OPCQ 的面积S1＝OP·CM＋OQ·CN＝sin α＋sin ＝sin α＋cos α＝sin . 由0＜α＜，得＜α＋＜， 所以当α＋＝，即α＝ 时，四边形OPCQ 的面积＝. 　　三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角恒等变换来解决，体现了数学中的化归思想. 对点练2.如图，矩形花园ABCD中，AB＝2，AD＝，H是AB的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以H为直角顶点的Rt△HEF，其中E，F分别落在线段BC和线段AD上.分别记∠BHE为θ(≤θ≤)，Rt△HEF的周长为L，Rt△HEF的面积为S. 学生用书⬇第126页 (1)试求S的取值范围； (2)θ为何值时L的值最小，并求L的最小值. 解：(1)由图可知，在Rt△HBE中有HE＝，在Rt△HAF中有HF＝， 所以S＝HE·HF＝··＝. 由≤θ≤≤2θ≤， 所以sin 2θ∈，所以S∈. (2)由HE＝，HF＝，在Rt△HEF中有FE＝＝， 所以L＝＋＋＝. 令sin θ＋cos θ＝t，则sin θ·cos θ＝，其中t＝sin ， 因为≤θ≤，所以≤θ＋≤， 所以≤sin ≤1，所以t∈. 故L＝＝且t－1∈. 当t＝，即θ＝时，Rt△HEF的周长Lmin＝2(＋1). 题型三　三角恒等变换在实际问题中的应用 如图，有一块空地△OAB，其中OA＝3 km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°.当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上方便建造景观，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网.设∠AOM＝θ. (1)当AM＝ km时，求θ的值，并求此时防护网的总长度； (2)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，求△OMN面积的最小值. 解：(1)因为OA＝3 km，A＝60°，∠AOB＝90°， 所以OB＝3 km，AB＝6 km. 在△OAM中，由余弦定理，得OM2＝OA2＋AM2－2OA·AM·cos A＝，所以OM＝ km. 由正弦定理，得＝，即＝， 所以sin ∠AOM＝，又∠AOM为锐角， 所以∠AOM＝θ＝30°， 所以∠AON＝∠AOM＋∠MON＝60°＝A， 所以△OAN是等边三角形， 所以△OAN的周长＝3OA＝9 km，即防护网的总长度为9 km. (2)因为∠AOM＝θ(0°＜θ＜60°)，则∠AON＝θ＋30°，∠OMA＝120°－θ，∠ONA＝90°－θ. 在△OAM中，由正弦定理，得＝， 即＝＝， 所以OM＝. 在△AON中，由正弦定理，得＝，即＝＝， 所以ON＝. 所以S△OMN＝OM·ON·sin ∠MON＝ ＝ ＝ ＝， 当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，△OMN的面积最小，最小面积为＝ km2. 　　实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常建立三角函数模型解决实际的优化问题. 对点练3.如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域.当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低.设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f(θ).求f(θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域. 解：连接OM(图略)，在Rt△OPN中，OP＝2，∠POA＝θ，故NP＝2tan θ. 根据平面几何知识可知，MB＝MP，∠BOM＝∠BOP＝＝－. 在Rt△BOM中，OB＝2，∠BOM＝－，故BM＝2tan . 所以f(θ)＝NP＋2BM＝2tan θ＋4tan . 显然θ∈，所以函数f(θ)的定义域为. 1.(新定义)1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角θ的斜边与其邻边的比，叫作该锐角的正割，用sec θ表示；锐角的斜边与其对边的比，叫作该锐角的余割，用csc θ表示，则csc 10°－sec 10°＝(　　) A. B.2 C.4 D.8 答案：C 解析：依题意得csc 10°＝，sec 10°＝，所以csc 10°－sec 10°＝－＝＝＝＝4.故选C. 2.等腰三角形底边长和腰长之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，＝.根据这些信息，可求得cos 144°的值为(　　) A. B.－ C.－ D.－ 答案：C 解析：由题图可知∠ACB＝72°，且cos 72°＝＝，所以cos 144°＝2cos272°－1＝－.故选C. 3.(新定义)“分离参数法”是数学中常用的解题方法，例如，已知含参数λ的方程f(x，λ)＝0有解的问题， 学生用书⬇第127页 可分离出参数λ，将方程化为F(λ)＝g(x)，根据g(x)的值域，求出F(λ)的范围，进而求出λ的取值范围.当x∈时，关于x的方程sin x－cos x－λ＝0有解，则实数λ的取值范围为　　　　. 答案：[－2，] 解析：依题意知，关于x的方程sin x－cos x－λ＝0，即sin x－cos x＝λ在x∈上有解，则函数y＝sin x－cos x＝2sin 的图象与直线y＝λ在上有交点，如图，由图象易得，－2≤λ≤. 4.如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，过扇形弧上一点C分别向OA，OB作垂线，垂足分别为D，E，得到△CDE，当点C(与A，B不重合)在扇形弧上从A到B运动时. (1)△CDE的面积是如何变化的？ (2)求△CDE面积的最大值. 解：(1)如图，连接OC. 记∠COD＝α(0＜α＜)，则∠COE＝－α，∠DCE＝. 在Rt△OCD中，CD＝sin α， 在Rt△OCE中，CE＝sin(－α)， 则S△CDE＝CD·CE·sin∠DCE＝×sin α×sin(－α)× ＝×(－)×［cos－cos(2α－)］ ＝cos(2α－)－＝sin(2α＋)－. 由α∈(0，)，得2α＋∈(，)，令2α＋＝，得α＝，所以点C在扇形弧上从点A运动到弧AB的中点的过程中，△CDE的面积越来越大，点C在扇形弧上从弧AB的中点运动到点B的过程中，△CDE的面积越来越小. (2)由(1)知，当点C位于弧AB的中点，即α＝时，△CDE的面积有最大值，为sin－＝. 学科网（北京）股份有限公司 $