第四章 三角恒等变换 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

该高中数学讲义以“探究点”为核心构建三角函数知识体系，通过分模块梳理同角三角函数关系、化简求值、恒等变换及性质应用，结合例题解析、方法总结和对点练，形成“知识点-方法-应用”的递进框架，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“例题-总结-对点练-高考溯源”的闭环设计，如探究点四通过三角恒等变换将函数化为y=Asin(ωx+φ)形式研究性质，培养数学思维与运算能力。高考题溯源教材习题，帮助学生夯实基础，分层练习满足不同学生需求，为教师精准教学提供有效支持。

章末综合提升 学生用书⬇第128页 探究点一　同角三角函数基本关系式的应用 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)将用tan α表示出来，并求其值. 解：(1)法一：联立方程 由①得cos α＝－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0. 因为α是三角形的内角，所以 所以tan α＝－. 法二：因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝， 所以2sin αcos α＝－， 所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.因为sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α－cos α＞0， 所以sin α－cos α＝. 由 所以tan α＝－. (2)＝＝. 因为tan α＝－， 所以＝＝＝－. 　　在利用同角的两个基本关系时，注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 对点练1.(1)若α∈，则－＝(　　) A.－ B.－ C. D. (2)(多选题)已知tan α＝3，则下列选项正确的有(　　) A.sin α＝3cos α B.cos α＝3sin α C.＝ D.sin2α－2sin αcos α＝ 答案：(1)B　(2)ACD 解析：(1)易知－1＜sin α＜0，－1＜cos α＜0，故－＝－＝－＝－＝－.故选B. (2)由tan α＝3，得＝3，所以sin α＝3cos α，故A正确；B错误；因为tan α＝3，所以＝＝＝＝，故C正确；因为tan α＝3，所以sin2α－2sin αcos α＝＝＝＝＝，故D正确.故选ACD. 探究点二　三角函数式的化简、求值 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数： cos 215°＋cos 215°－sin 15°sin 15°； cos 280°＋cos 2－sin 80°sin ； cos 2170°＋cos 2－sin 170°sin . (1)求出这个常数； (2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 解：(1)因为cos 215°＋cos 215°－sin 15°sin 15° ＝2cos 215°－sin 215°＝1＋cos 30°－ ＝1＋－＝，故常数为. (2)推广：当α＋β＝30°时，cos 2α＋cos 2β－sin αsin β＝. 证明：因为α＋β＝30°，则β＝30°－α， cos 2α＋cos 2β－sin αsin β ＝cos 2α＋cos 2－sin αsin ＝cos 2α＋－sin α(cos α－sin α) ＝cos 2α＋cos 2α＋cos αsin α＋sin 2α－cos αsin α＋sin 2α ＝cos 2α＋sin 2α＝. 1.三角函数的求值问题通常包括三种类型：给角求值、给值求值、给值求角. 2.给角求值的关键是将要求角转化为特殊角的三角函数值；给值求值关键是找准要求角与已知角之间的联系，合理进行拆角、凑角；给值求角实质是给值求值，先求角的某一三角函数值，再确定角的范围，从而求出角. 学生用书⬇第129页 对点练2.(1)已知0＜β＜α＜，cos ＝，cos αcos β＝，则－＝(　　) A.－ B.－ C.－4 D.－8 (2)(多选题)下列式子的值为的是(　　) A.sin 750° B.sin 75°cos C. D.cos 82°cos 22°＋cos 8°sin 22° 答案：(1)D　(2)AD 解析：(1)因为cos ＝，0＜β＜α＜，－＜β－α＜0，sin ＜0，故sin ＝－＝－，且cos ＝cos αcos β＋sin αsin β＝，故sin αsin β＝－＝.所以－＝－＝＝＝＝－8.故选D. (2)sin 750°＝sin ＝sin 30°＝，故A正确；sin 75°cos ＝sin 75°cos 75°＝sin 150°＝，故B错误；由半角公式可知＝tan 40°≠，故C错误；因为cos 82°cos 22°＋cos 8°sin 22°＝cos 82°cos 22°＋sin 82°sin 22°＝cos (82°－22°)＝cos 60°＝，故D正确.故选AD. 探究点三　三角函数式的化简与证明 化简：. 解：原式＝＝ ＝＝cos 2x. 1.三角函数化简常用策略有切化弦、异名化同名、降幂公式、“1”的代换等，化简的结果应做到项数尽可能少，次数尽可能低，函数名尽量统一. 2.三角函数证明常用方法有从左向右(或从右向左)，一般由繁向简；从两边向中间，左右归一法；作差证明等. 对点练3.证明：＝tan ＋. 证明：因为左边＝＝ ＝＝＝＝tan ＋＝右边， 所以原等式成立. 探究点四　三角恒等变换与三角函数 的性质的应用 已知函数f＝2cos xsin x＋2cos 2x－. (1) 求函数f的单调区间； (2)求f在区间上的最值. 解：(1)因为f＝2sin xcos x＋＝sin 2x＋cos 2x＝2sin . 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函数f，k∈Z；单调减区间为，k∈Z. (2)因为－≤x≤⇒0≤2x＋≤，所以0≤sin ≤1. 所以0≤f≤2，函数在上的最小值为0，最大值为2. 　　对于研究复杂的三角函数的性质，一般需要经过三角恒等变换，归结为y＝Asin (ωx＋φ)＋B(或y＝Acos (ωx＋φ)＋B)，然后再研究其性质. 对点练4.已知函数f(x)＝cos ＋sin2x－cos2x＋2sin xcos x. (1)化简f(x)； (2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin 2α. 解：(1)f(x)＝cos 2x－sin 2x－cos 2x＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin . (2)f(α)＝sin ＝，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜＋2kπ(k∈Z)， 所以2kπ－＜2α－＜＋2kπ(k∈Z)， 所以cos ＝. 所以sin 2α＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝. (2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角，所以sin＝＝＝＝.故选D. 溯源：(教材P167练习T1) 已知cos α＝，＜α＜2π，求sin ，cos ，tan . 点评：该高考题直接考查半角公式的应用，与教材习题考查角度完全相同，难度与教材习题的难度相当，形式与教材习题完全相同，体现了回归教材的重要性. 学生用书⬇第130页 (2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：B 解析：因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B. 溯源：(教材P162A组 T3) 已知sin α＝，cos β＝－，α，β均为第二象限角，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值. 点评：该高考题直接考查两角和与差的正弦公式以及倍角公式的应用，与教材习题考查角度相似，难度高于教材习题的难度，体现了高考试题源于教材高于教材的理念. (2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝　　　　. 答案：－ 解析：因为θ∈，则sin θ＞0，cos θ＞0， 又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 溯源：(教材P148练习 T1) 解下列各题： (1)已知sin α＝，且α为第一象限角，求cos α和tan α的值. (2)已知cos α＝－，且α为第三象限角，求sin α和tan α 的值. (3)已知tan α＝－，且α为第二象限角，求sin α和cos α的值. 点评：本高考试题考查商数关系以及平方关系的应用，与教材习题几乎一致，体现了回归教材的重要性. (2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A.－3m B.－ C. D.3m 答案：A 解析：由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①. 由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.故选A. 溯源：(教材P163 B组T3) 已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求. 点评：本高考试题考查两角和与差的余弦公式以及商数关系的应用，与教材习题考查角度相似，难度相当，体现了回归教材的重要性. (2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝　　　　. 答案：－ 解析：由题知tan＝＝＝－2，即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，又sin2＋cos2＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π＜β＜2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π＜α＋β＜2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)＜0，所以α＋β是第四象限角，故sin＝－. 溯源：(教材P156例4) 已知tan α＝2，tan β＝－，其中0＜α＜＜β＜π.求： (1)tan(α－β)；(2)α＋β. 点评：本高考试题直接考查两角和的正切公式以及商数关系与平方关系的应用，与教材例题考查角度相似、难度相当，体现了回归教材的重要性. (2023·北京卷)设函数f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ. (1)若f(0)＝－，求φ的值； (2)已知f(x)在区间上单调递增，f＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值. 条件①：f＝；条件②：f＝－1； 条件③：f(x)在区间上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 解：(1)因为f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ，ω＞0，｜φ｜＜， 所以f(0)＝sin cos φ＋cos sin φ＝sin φ＝－， 因为｜φ｜＜，所以φ＝－. (2)因为f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ，ω＞0，｜φ｜＜， 所以f(x)＝sin ，ω＞0，｜φ｜＜，所以f(x)的最大值为1，最小值为－1. 若选条件①：因为f(x)＝sin 的最大值为1，最小值为－1，所以f＝无解， 故条件①不能使函数f(x)存在. 若选条件②：因为f(x)在上单调递增，且f＝1，f＝－1， 所以＝－＝π，所以T＝2π，ω＝＝1，所以f(x)＝sin ， 又因为f＝－1，所以sin ＝－1，所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜，所以φ＝－.所以ω＝1，φ＝－. 若选条件③：因为f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)在x＝－处取得最小值－1，即f(－)＝－1.以下与条件②相同. 溯源：(教材P173C组T1) 已知a≠0，函数f(x)＝acos 2x＋asin 2x－2a＋b，x∈［0，］，若函数值域为[－5，1]，求常数a，b的值. 点评：本高考试题直接考查三角函数的叠加及其应用，然后考查三角函数的性质，与教材习题考查角度相似，难度高于教材习题的难度，体现高考试题源于教材高于教材的考查理念. 学科网（北京）股份有限公司 $