复数乘法几何意义初探教学设计-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

复数乘法几何意义初探 教学设计 教学设计表 学科 授课年级 学校 教师姓名 章节名称 复数乘法几何意义初探 计划学时 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过复数的乘法运算，理解复数在复平面内的几何变换，如旋转和伸缩，培养从数学角度观察和描述现实世界的能力。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过探究复数乘法的几何意义，发展逻辑推理和抽象思维能力，能够运用数学思维解决实际问题。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过复数的几何表示和运算，学会用数学语言准确表达复数在复平面中的位置关系及其变换过程。 教学重点 （1）理解复数乘法与几何旋转的关系，能够通过复数的乘法运算解释复平面内点的旋转变化。 （2）掌握复数乘法在几何中的应用，能够通过具体例子分析复数乘法对图形位置的影响。 教学难点 （1）理解复数乘法在复平面内的几何意义，特别是复数乘以 i 时对应的旋转效果。 （2）将复数乘法的几何意义与实际复平面内的图形变换相结合，解决具体问题。 教学准备 （1）多媒体投影仪和计算机，用于展示复数乘法的动态旋转和伸缩过程，以及相关的几何图形。 （2）《高中数学必修第二册》教材，特别是复数章节的相关内容，为学生提供理论支持。 （3）彩色粉笔或马克笔，用于在黑板上清晰地区分不同的复数及其对应的几何图形。 教学过程 一、导入 教师通过回顾复数的基本概念和运算方法，引导学生回忆之前学习的内容。 （师：同学们，我们之前已经学习了复数的概念及其基本运算。谁能来说说什么是复数？） （生：复数由实部和虚部组成，形式上是 a+bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i²=-1。） （师：很好！那复数的乘法运算是怎么进行的呢？） （生：两个复数 z₁=a₁+b₁i 和 z₂=a₂+b₂i 相乘的结果是 z₁・z₂=(a₁a₂-b₁b₂) + (a₁b₂+a₂b₁) i。） （师：非常好！今天我们进一步探讨复数乘法在几何上的意义。） 二、新知初探 1. 引入例题 教师通过具体的例子引导学生初步了解复数乘法的几何意义。 （师：首先，我们来看一个例子，在复平面内，设复数 z₁=1+i，z₂=z₁・2。请问 z₂是多少？） （生：z₂=(1+i)・2=2+2i。） （师：好的。那么根据复数的几何意义，z₂是在 z₁的基础上进行了怎样的变化？） （生：z₂是将 z₁在原方向伸长为原来的 2 倍。） （师：非常正确！现在我们再来看另一个例子，在复平面内，设复数 z₁=1+i，z₂=z₁・i，请问 z₂是多少？） （生：z₂=(1+i)・i=1・i+i・i=-1+i。） （师：很好！那么 z₂是在 z₁的基础上进行了怎样的变化？） （生：z₂是由 z₁逆时针旋转 90° 得到的。） （师：对的！我们可以通过作图来直观地看到这个变化。请大家在纸上画出复数 z₁和 z₂对应的点，并标出它们之间的关系。） （学生动手作图，教师巡视指导。） 2. 深入理解 教师通过详细的讲解和图表帮助学生进一步理解复数乘法的几何意义。 （师：下面我们来看更一般的结论。设复数 z₁=a+bi，如果 z₂=z₁・c，其中 c>0，那么 z₂是如何变化的？） （生：z₂是将 z₁沿原方向伸长 c 倍或压缩 c 倍。） （师：非常好的总结！再考虑另一种情况，如果 z₃=z₁・i，那么 z₃又是如何变化的？） （生：z₃是由 z₁逆时针旋转 90° 得到的。） （师：对的！我们可以通过几个具体的例子来加深理解。请看下面的例子，复数 z₁=3-2i，z₂=z₁・i，请计算 z₂并说明它们的位置关系。） （生：z₂=(3-2i)・i=3・i-2i・i=2+3i。所以 z₂是由 z₁逆时针旋转 90° 得到的。） （师：非常准确！大家可以动手作图验证一下。） （学生再次作图，教师巡视指导。） 三、合作探究 1. 小组讨论 教师组织学生进行小组讨论，每个小组选择不同的复数乘法题目进行计算，并讨论其几何意义。 （师：下面我们来进行小组讨论。每个小组选择一组复数，计算它们的乘积并讨论几何意义。时间 5 分钟，开始吧！） （学生分组讨论，教师巡视各组并提供必要的指导。） 2. 小组展示 教师请每个小组派代表展示他们的讨论结果。 （师：时间到了，请每个小组派一名代表上来展示你们的讨论结果。） （各组代表依次上台展示，并解释他们的计算过程和几何意义。师生共同评价。） 四、课堂练习 教师布置课堂练习，让学生巩固所学知识。 （师：下面我们来做几道课堂练习，检验一下大家是否掌握了今天的内容。请看题：） 在复平面内，菱形 ABCD 对角线交点为原点 O，且两条对角线长度之比为 2:1，顶点 A 对应的复数是 6+8i，设 B，C，D 三点对应的复数分别为 z₁，z₂，z₃，求 z₁，z₂，z₃，并计算出 B，C，D 三点所对应的复数。 复数 z₁=4-3i，z₂=z₁・(-i)，计算 z₂，并说明它们的位置关系。 （学生独立完成练习，教师巡回指导。完成后邀请几位同学分享答案并进行集体订正。） 五、教师总结 教师总结本节课的主要内容，并强调重点。 （师：通过今天的课程，我们初步了解了复数乘法的几何意义。特别重要的是两点：一是当复数 z₁与实数 c相乘时，z₂是将 z₁沿原方向伸长或压缩 c 倍；二是当 z₁与 i 相乘时，z₂是由 z₁逆时针旋转 90° 得到的。希望大家能够熟练掌握这些知识点。） 课后作业布置 （1）给定复数 z1，通过乘以实数或纯虚数 i，绘制对应的 z2 和 z3 在复平面上的位置，并描述它们与 z1 的位置关系。 （2）选择一个复数，通过计算其与 i 的乘积，解释并证明所得结果的几何意义，即复数在复平面上旋转了 90°。 学科网（北京）股份有限公司 $$