第六章 重点突破6 与球有关的内接、外切问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦简单几何体的外接球与内切球半径求解，系统梳理墙角模型（补形正方体）、对棱相等模型（补形长方体）、柱体台体模型（球心定位）及内切球（等体积法）的解题方法，构建从特殊到一般的学习支架。 资料以核心素养为导向，通过足球、阳马等生活实例培养数学眼光，借助补形构造提升直观想象与逻辑推理能力，利用等体积法强化数学运算。课中辅助教师高效授课，课后练习题助力学生巩固方法，查漏补缺。

学习目标 1.掌握简单几何体的外接球和内切球半径的求解方法，提升逻辑推理的核心素养.　2.能解决与外接球和内切球有关的计算问题，提升直观想象与数学运算的核心素养. 题型一　墙角模型(三条棱两两垂直， 不找球心的位置即可求出球半径) 已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，且AB⊥平面BCD，AB＝BD＝CD＝2，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为(　　) A.3π B.2π C.4π D.12π 答案：D 解析：因为BD＝CD＝2，且△BCD为直角三角形，所以BD⊥CD. 又AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥AB. 又AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD. 由此可将四面体ABCD放入棱长为2的正方体中，如图所示，所以正方体的外接球即为该四面体的外接球O，正方体外接球的半径为正方体体对角线的一半，即R＝×＝，所以球O的表面积S＝4πR2＝12π.故选D. 常见的棱锥补形方法 1.正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都可构造正方体或长方体. 2.同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥可构造长方体或正方体. 3.若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. 4.若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 对点练1.古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.如图所示，若四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝4，PA＝3，则此“阳马”外接球的表面积为(　　) A. B. C.π D.41π 答案：D 解析：由于PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，由于四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，所以AB，AD，PA两两相互垂直，所以四棱锥P-ABCD可补形为长方体，且长方体的体对角线为PC＝＝，所以外接球的直径2R＝，所以外接球的表面积为4πR2＝41π.故选D. 题型二　对棱相等模型(补形为长方体) 2024年卡塔尔亚洲杯足球赛于2024年1月12日至2月10日举行.已知某足球的表面上有四个点A，B，C，P满足PA＝BC＝5，PB＝AC＝，PC＝AB＝2，则该足球的表面积为(　　) A.12π B.8π C.24π D.28π 答案：D 解析：因为PA＝BC，PB＝AC，PC＝AB，所以可以把A，B，C，P四点放到长方体的四个顶点上，将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示：则该足球的表面积为四面体ABCP外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，设长方体棱长为a，b，c，则有a2＋b2＝AB2＝20，a2＋c2＝AC2＝11，b2＋c2＝BC2＝25，设长方体外接球半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2＝＝28，解得R2＝7，所以外接球的表面积为：S＝4πR2＝28π.故选D. 　　三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等(AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD)，求外接球半径的一般步骤： 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长，宽，高分别为a，b，c，AD＝BC＝x，AB＝CD＝y，AC＝BD＝z，列方程组， . 第三步：解方程，求出外接球半径R. 对点练2.已知三棱锥P-ABC中，AP＝AC＝BP＝BC＝2，AB＝PC＝2，则其外接球表面积为(　　) A. B.8π C.8π D.24π 答案：D 解析：根据三棱锥P-ABC的特征把三棱锥的顶点放在长方体的顶点处，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，如图所示.设长方体的长，宽，高分别是x，y，z，则所以x2＋y2＋z2＝24，设长方体的外接球半径为R，则2R＝＝2，所以外接球表面积为4πR2＝24π.故选D. 题型三　汉堡模型(柱体、台体的外接球) 已知某圆台的体积为(9＋3)π，其上底面和 学生用书⬇第192页 下底面的面积分别为3π，6π，该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为(　　) A.25π B.26π C.27π D.28π 答案：D 解析：设该圆台的高为h，则(9＋3)π＝h(3π＋＋6π)，解得h＝3.如图①所示，若球心在圆台内部，由题意得，上底面圆的半径为BD＝，下底面圆的半径为AC＝，设球心O到下底面的距离为t，即OA＝t，则BO＝3－t，由勾股定理得：OA2＋AC2＝OB2＋BD2，即t2＋()2＝(3－t)2＋()2，解得t＝1，则球O的半径R＝＝，故球O的表面积为4πR2＝28π.如图②所示，若球心在圆台外部，同理可得t2＋()2＝(3＋t)2＋()2，解得t＝－1，不合题意，舍去.故选D. 　　柱体、台体的外接球问题，需要找到球心的位置(球心在柱体、台体的上下中心的连线上)，然后利用设元的方法，得到球的半径. 对点练3.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为，高为2，则该正三棱柱的外接球的体积为(　　) A. B. C.π D.4π 答案：B 解析：如图所示，设正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心为O，半径为R. 记△ABC和△A1B1C1外接圆的圆心分别为O1和O2，其半径为r，由正弦定理得r＝＝1. 而O为O1O2的中点，所以R2＝12＋＝4，R＝2，则V＝πR3＝.故选B. 题型四　内切球 已知四面体P-ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，则四面体P-ABC的内切球半径与外接球半径的比值等于(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：如图所示，因为PA⊥平面PBC，故PA⊥PC，PA⊥PB.又PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，故PC＝＝2，AB＝＝2.故△PBC为等边三角形，作△PBC的中心O'，连接外接球球心O与O'，则OO'⊥平面PBC，且OO'＝PA＝2，连接O'P，OP.则△OPO'为直角三角形，设外接球的半径为R，OP＝R，O'P＝＝2，故R2＝4＋4＝8，R＝2.设内切球半径为r，根据等体积法有VP-ABC＝VO -PBC＋VO -ABC＋VO -PAB＋VO -PAC，即AP· S△PBC＝r(S△PBC＋S△ABC＋S△PAB＋S△PAC)，代入数据得，×4×××2×2＝r(××2×2＋×2×＋2××4×2)，解得r＝，故r∶R＝.故选B. 求任意三棱锥的内切球半径的步骤 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积； 第二步：如图所示，设内切球半径为r，建立等式：＝＋＋＋⇒＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝. 对点练4.已知某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，将该圆锥切割成一个球体，则该球体表面积的最大值为(　　) A.π B.π C.24π D.32π 答案：B 解析：因为该圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，所以该圆锥的底面半径和高均为2.设切出的球体的最大半径为R，能切割成的一个球体为圆锥的内切球，内切球的大圆即为等腰直角三角形的内切圆，如图所示.则R＋R＝2，得R＝2－2，此时该球体的表面积S＝4πR2＝π.故选B. 1.正方体的棱长为2，其内切球的表面积为(　　) A.3π B.4π C.5π D.6π 答案：B 解析：分析正方体与其内切球的几何关系得，内切球直径2R与正方体的棱长相等，即半径R＝1，所以球体表面积为S＝4π·12＝4π.故选B. 2.已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球O的表面上，则球O的表面积为(　　) A.π B.π C.8π D.20π 答案：C 解析：依题意，圆柱的底面半径为r＝1，高为h＝2.因为该圆柱的底面圆周上的点都在球O的表面上，设球O的半径为R，则R2＝＋r2，即R2＝1＋1＝2，所以球O的表面积为4πR2＝4π×2＝8π.故选C. 3.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，其中PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，则该球的表面积为(　　) A.16π B.8π C.π D.π 答案：A 解析：如图所示，因为PA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC. 又∠BAC＝90°，所以PA，AB，AC两两垂直，所以三棱锥P-ABC的外接球即为以AC，AB，PA为长，宽，高的长方体的外接球，即该球的直径为长方体体对角线PD的长. 因为PA＝2，AB＝AC＝2，所以PD＝＝4，所以该球的半径为2，表面积为4π×22＝16π.故选A. 4.若圆台的上、下底面半径分别为r1，r2且r1r2＝3，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为　　　　. 答案：12π 解析：如图①所示，设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处，设球O与母线AB切于M点，所以OM⊥AB，所以OM＝OO1＝OO2＝R (R为球O的半径)，所以△AOO1与△AOM全等，如图②所示，所以AM＝r1，同理BM＝r2，所以AB＝r1＋r2，O1＝－＝4r1r2＝12，所以O1O2＝2，所以圆台的内切球半径R＝，内切球的表面积为4πR2＝12π. 学科网（北京）股份有限公司 $