章末检测（六） 立体几何初步-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件系统梳理了立体几何初步的核心知识，涵盖空间几何体结构、点线面位置关系、表面积体积计算及空间角与距离，通过典型例题将概念性质与推理证明有机串联，帮助学生构建逻辑清晰的知识网络。 其亮点在于采用“概念辨析-空间想象-逻辑推理”的分层练习设计，如正方体中异面直线判断、折叠问题中垂直关系证明等，培养学生的几何直观与空间观念，提升逻辑推理能力。这种设计让学生逐步深化理解，教师可精准定位薄弱环节，提高复习效率。

章末检测（六）　立体几何初步 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 与直线a相交的两条直线确定一个平面 B. 两条直线确定一个平面 C. 过一条直线的平面有无数个 D. 两个相交平面的交线是一条线段 解析：　当这两条直线异面时不能确定平面，A错误；两条直线异面，不 能确定平面，B错误；两个相交平面的交线是一条直线，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第二册（BSD） 2. 下列结论正确的是（　　） A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成 的几何体叫圆锥 C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　如图1所示，由两个结构 相同的三棱锥叠放在一起构成的几何 体，各面都是三角形，但它不是三棱 锥，A错误；如图2，若△ABC不是 直角三角形或△ABC是直角三角形， 但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥，B错误；若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形特征知， 若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 3. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线条数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：与直线BC1成异面直线的有A1B1，AC，AA1，共3条. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 4. 已知平面α⊥平面β，直线m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　若m⊥l，则根据面面垂直的性质定理可得m⊥β；若m⊥β，则 由l⊂β，可得m⊥l.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 5. 已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为 ，则正三棱 台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为（　　） A. S1＞S2 B. S1＜S2 C. S1＝S2 D. 以上都不是 解析：　斜高h'＝ ＝ ，S1＝ （c＋c'）h' ＝ （3×2＋3×4）× ＝9 ，S2＝ ×22＋ ×42＝5 ，∴S1＞ S2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线 A1O，下列说法正确的是（　　） A. A1O∥D1C B. A1O∥平面B1CD1 C. A1O⊥BC D. A1O⊥平面AB1D1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心， ∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，∴平 面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 7. （2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等， 且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（　　） A. 2 π B. 3 π C. 6 π D. 9 π 解析：　设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为 ，而 它们的侧面积相等，所以2πr× ＝πr× ，即2 ＝ ， 故r＝3，故圆锥的体积为 π×9× ＝3 π.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 8. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱 BC，CC1的中点，Q是侧面BCC1B1内一点，若A1Q∥平面AEF，则线段 A1Q长度的最大值与最小值之和为（　　） A. ＋ B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：　如图所示，分别取棱BB1，B1C1的中点M， N，连接AM，AN，NE，MN，BC1.因为M，N，E， F为所在棱的中点，所以MN∥BC1，EF∥BC1，所以 MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以 MN∥平面AEF. 因为AA1∥NE，AA1＝NE，所以四边形AENA1为平行四边形，所以A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1N∥平面AEF，又A1N∩MN＝N，A1N，MN⊂平面A1MN，所以平面A1MN∥平面AEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 因为Q是侧面BCC1B1内一点，且A1Q∥平面AEF，则Q必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M＝ ＝ ＝ ，同理，在 Rt△A1B1N中，求得A1N＝ ，所以△A1MN为等腰三角形.取MN的中点O，连接A1O，当Q在点O处时，A1Q最短，为A1O＝ ＝ ＝ ，当Q位于M或N处时，A1Q最长，为 ，所以线段A1Q长度的最大值与最小值之和为 ＋ ＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题不正确的是（　　） A. l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B. l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C. l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D. l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：利用常见的正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，B对；例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 10. 如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和 △ACD折成互相垂直的两个平面后，下列结论正确的是（　　） A. 异面直线BD与AC的夹角为90° B. ∠BAC＝60° C. 三棱锥D-ABC是正三棱锥 D. 平面ADC和平面ABC垂直 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：对于A，由已知条件知BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角，又因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD，因为BD⊥AD，AD∩CD＝D，所以BD⊥平面ACD. 因为AC⊂平面ACD，所以BD⊥AC. 所以异面直线BD与AC的夹角为90°，故选项A正确；对于B，因为BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，且AD＝BD＝CD，所以AB＝BC＝CA，所以△ABC是等边三角形，可得∠BAC＝60°，故选项B正确；对于C，因为DA＝DB＝DC，且AB＝BC＝CA，DA，DB，DC两两垂直，所以D在平面ABC内的投影是△ABC的中心，所以三棱锥D-ABC是正三棱锥，故选项C正确；对于D，因为三棱锥D-ABC是正三棱锥，所以侧面ADC和底面ABC不垂直，故选项D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 11. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1， BB1的中点，则（　　） A. 直线D1D与直线AF垂直 B. 直线A1G与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面AEF的距离相等 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：连接AD1，D1F，A1D（图略），因为AD1∥EF，平面AEF即平面AEFD1，易知A1D⊥平面AEFD1，故DD1与AF不垂直，故A错误；因为A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，D1F⊂平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故B正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为 ，故C正确；点G到平面AEF的距离即点A1到平面AD1F的距离，显然D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直 线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论 断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ⁠ ⁠. 解析：∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直 线，若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β. 又∵④m⊥α，∴②α⊥β.即①③④⇒②.若②α⊥β，③n⊥β，则n∥α. 又∵④m⊥α，∴①m⊥n.即②③④⇒①. ① ③④⇒②（或②③④⇒①） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 13. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动 点.若三棱锥O-ABC的体积的最大值为 ，则球O的表面积为 ⁠. 解析：如图所示，当点C位于垂直于平面AOB的直径的端点 时，三棱锥O-ABC的体积最大.设球O的半径为R，∴VO-ABC ＝VC-AOB＝ × ×R2×R＝ ＝ ，解得R＝3，则球O的表 面积S＝4πR2＝36π. 36π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 14. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图 是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝ 4，点P在棱AA1上，且AP＝1，若EF∥平面PBD，则CF＝ ⁠. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解析：由题意可知，长方体ABCD-A1B1C1D1的高为4，底面 ABCD是边长为1的正方形.连接AC交BD于O，连接PO. 因 为EF∥平面PBD，EF⊂平面EACF，平面EACF∩平面 PBD＝PO，所以EF∥PO. 在PA1上截取PQ，使得PQ＝ PA＝1.连接QC，易知O为AC的中点，所以QC∥PO，所 以EF∥QC. 又EQ∥FC，所以四边形EQCF是平行四边形，所以QE ＝CF. 又AE＋CF＝4，AE＋A1E＝4，所以A1E＝CF＝EQ＝ A1Q＝ 1，所以CF＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面 ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝ ，O，M分别为 AB，VA的中点. （1）求证：VB∥平面MOC； 解：证明：因为O，M分别是AB，VA的中点， 所以MO∥VB. 因为MO⊂平面MOC，VB⊄平面MOC， 所以VB∥平面MOC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）求三棱锥V-ABC的体积. 解：因为AC＝BC，O为AB的中点， 所以OC⊥AB. 因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB， OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB. 在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝ ， 所以AB＝2，OC＝1， 所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ ， 所以VV-ABC＝VC-VAB＝ OC·S△VAB＝ ×1× ＝ . 所以三棱锥V-ABC的体积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 16. （本小题满分15分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边 长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是正方形，平面BDEF⊥平 面ABCD. （1）证明：平面ACE⊥平面BDEF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解：证明：因为四边形BDEF是正方形，所以DE⊥BD， 又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝ BD，DE⊂平面BDEF， 所以DE⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC. 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 又BD∩DE＝D，且BD，DE⊂平面BDEF， 所以AC⊥平面BDEF， 又AC⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面BDEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）求多面体ABCDEF的体积； 解：多面体ABCDEF的体积V＝V四棱锥A-BDEF＋V四棱 锥C-BDEF＝2V四棱锥A-BDEF. 因为菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°， 所以AC＝2 ，BD＝2，S正方形BDEF＝4， 所以V＝2V四棱锥A-BDEF＝2× ×4× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （3）若点M是线段BF上的一点，且满足DM⊥平面ACE，求二面角A- DM-B的正切值. 解：设O是AC，BD的交点，连接OE交DM于G， 连接AG，如图. 因为DM⊥平面ACE，AG⊂平面ACE，GO⊂平面ACE， 所以DM⊥AG，DM⊥OG. 所以∠AGO是二面角A-DM-B的平面角. 在Rt△ODE中，由射影定理，知OD2＝OG·OE， 又OD＝1，DE＝2，所以OE＝ ，OG＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 又由（1）知AO⊥平面BDEF，且OG⊂平面BDEF， 所以AO⊥OG，所以tan∠AGO＝ ＝ ， 所以二面角A-DM-B的正切值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 17. （本小题满分15分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2 ，AA1＝ ，BB1＝2 ，点E和F分别为BC和A1C的中点. （1）求证：EF∥平面A1B1BA； 解：证明：如图，连接A1B. 在△A1BC中， 因为点E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又 EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）求直线A1B1与平面BCB1夹角的大小. 解：如图，取BB1的中点M和B1C的中点N，连接 A1M，A1N，NE. 因为N和E分别为B1C和BC的中点， 所以NE∥B1B，NE＝ B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A， 所以四边形NEAA1为平行四边形，所以A1N∥AE且A1N＝AE. 因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，A1N⊥BC. 因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，则易证得BB1⊥平面ABC. 因为AE⊂平面ABC，所以BB1⊥AE，A1N⊥BB1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 又BB1∩BC＝B，所以A1N⊥平面BCB1， 从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1的夹角. 在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2. 因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，又由 AB⊥BB1，得A1M⊥BB1. 在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝ ＝4. 在Rt△A1NB1中， sin ∠A1B1N＝ ＝ ，因此∠A1B1N＝30°. 所以直线A1B1与平面BCB1的夹角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 18. （本小题满分17分）如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD＝90°，AB＝BC＝ AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的 交点，将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1- BCDE. （1）证明：CD⊥平面A1OC； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 解：证明：连接CE（图略）.在直角梯形ABCD中， 因为AB＝BC＝ AD＝a，点E是AD的中点，∠BAD＝90°， 所以四边形ABCE是正方形，所以BE⊥AC. 在四棱锥A1-BCDE中，BE⊥A1O，BE⊥OC. 因为A1O∩OC＝O，A1O⊂平面A1OC，OC⊂ 平面A1OC， 所以BE⊥平面A1OC. 又因为DE∥BC，DE＝BC，所以四边形BCDE是平行四边形，所以 CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36 ，求a的值. 解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE. 又由（1）知，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE， 即A1O是四棱锥A1-BCDE的高. 平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2， 所以四棱锥A1-BCDE的体积V＝ ×S×A1O＝ a3.由 a3＝36 ，解得a＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 19. （本小题满分17分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝ . （1）求证：B1C∥平面A1BM； 解：证明：如图，连接AB1交A1B于O，连接OM. 在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所 以OM∥B1C. 又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM， 所以B1C∥平面A1BM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （2）求证：AC1⊥平面A1BM； 解：证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面 ABC，所以AA1⊥BM. 因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC. 又AA1∩AC＝A，所以BM⊥平面ACC1A1，所以 BM⊥AC1. 因为M为棱AC的中点，AC＝2，所以AM＝1. 在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝ ， 所以∠AC1C＝∠A1MA， 所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1. 因为BM∩A1M＝M， 所以AC1⊥平面A1BM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） （3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存 在，求此时 的值；如果不存在，请说明理由. 解：存在点N，且当点N为BB1的中点，即 ＝ 时，平面AC1N⊥平面AA1C1C. 设AC1的中点为D，连接DM，DN，如图. 因为D，M分别为AC1，AC的中点， 所以DM∥CC1，且DM＝ CC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） 又因为N为BB1的中点， 所以DM∥BN，且DM＝BN， 所以四边形BNDM为平行四边形， 所以BM∥DN， 因为BM⊥平面ACC1A1， 所以DN⊥平面AA1C1C. 又因为DN⊂平面AC1N， 所以平面AC1N⊥平面AA1C1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（BSD） $