第六章 重点突破5 空间中的垂直关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质及判定定理应用，以定理为基础，通过正三棱柱、四棱锥等实例构建知识应用支架，衔接前期定理学习，为后续复杂空间几何问题解决奠定基础。 资料通过详细证明过程（如正三棱柱中EF⊥A₁C的推导）和方法归纳（如线面垂直四法、面面垂直两法），培养学生逻辑推理与直观想象核心素养。课中辅助教师清晰授课，课后对点练与练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升空间几何问题解决能力。

学习目标 1.利用直线与平面垂直的性质定理与判定定理解决问题.　2.利用平面与平面垂直的性质定理与判定定理解决问题，提升直观想象、逻辑推理的核心素养. 题型一　直线与平面垂直的 性质与判定定理的应用 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，点F在侧棱CC1上，且CF＝1.求证：EF⊥A1C. 证明：过点E作EN⊥AC于点N，连接NF，AC1，如图所示. 由正三棱柱的性质可知，平面ABC⊥平面A1ACC1， 因为平面ABC∩平面A1ACC1＝AC，EN⊂平面ABC，所以EN⊥平面A1ACC1. 又因为A1C⊂平面A1ACC1，所以EN⊥A1C. 因为E为等边△ABC的边BC的中点，所以CE＝2. 在Rt△CNE中，CN＝CE·cos 60°＝2×＝1，则＝＝，所以NF∥AC1. 又在正方形A1ACC1中，AC1⊥A1C，故NF⊥A1C. 因为NF∩EN＝N，NF，EN⊂平面EFN，所以A1C⊥平面EFN. 而EF⊂平面EFN，所以EF⊥A1C. 判定线面垂直的四种方法 对点练1.如图，四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA＝PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO＝AD＝2BC＝2CD. 求证：AB⊥DE. 证明：连接OC，OB，BD，BE(图略)， 设BD∩OC＝F，连接EF.由CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，得CD⊥AD. 因为AD＝2BC＝2CD，CD⊥AD，BC∥AD，O为AD的中点，所以四边形OBCD为正方形. △AOB为等腰直角三角形，所以AB⊥BD. 因为E，F分别是PC，OC的中点，所以EF∥PO. 已知CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD， 所以平面ABCD⊥平面PAD. 又PA＝PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD. 而平面ABCD∩平面PAD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD. 又因为AB⊂平面ABCD，所以AB⊥EF. 因为AB⊥BD，AB⊥EF，EF∩BD＝F，EF，BD⊂平面BDE，所以AB⊥平面BDE. 又DE⊂平面BDE，所以AB⊥DE. 题型二　平面与平面垂直的 性质与判定定理的应用 如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，E，F分别为AD，SB的中点. (1)若平面SAD⊥平面ABCD，求直线BS与平面ABCD所成的角的正弦值； (2)求证：平面ASB⊥平面SBC. 解：(1)因为△SAD为正三角形，E为AD的中点，所以SE⊥AD. 又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，且SE⊂平面SAD，所以SE⊥平面ABCD. 如图所示，连接BE，则∠SBE为直线BS与平面ABCD所成的角， 在等边三角形SAD中，SE＝＝. 在三角形ABE中，AB＝2，AE＝1，∠BAE＝120°， 所以BE＝＝＝， 所以BS＝＝＝，所以sin ∠SBE＝＝＝， 所以直线BS与平面ABCD所成的角的正弦值为. (2)证明：取SC的中点G，连接EG，FG，如图所示. 由(1)得SE⊥AD. 因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以△ACD为正三角形. 又E为AD的中点，则AD⊥CE. 又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC， 所以AD⊥平面SEC. 又EG⊂平面SEC，所以AD⊥EG. 因为G，F分别为SC，SB的中点， 所以FG∥BC且FG＝BC. 又AE∥BC且AE＝BC，所以FG∥AE且FG＝AE，所以四边形AFGE为平行四边形. 又AE⊥EG，所以平行四边形AFGE为矩形， 所以AF⊥FG. 因为SA＝AB，F是SB的中点，所以AF⊥BS. 又FG∩BS＝F，FG，BS⊂平面SBC， 所以AF⊥平面SBC. 又AF⊂平面ASB，所以平面ASB⊥平面SBC. 证明面面垂直的两种常用方法 1.用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线. 2.用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题. 对点练2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD，求证：平面PAB⊥平面PBD. 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD. 又因为PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB. 因为PA＝PD＝AD，可得PA2＋PD2＝AD2， 所以PA⊥PD. 又因为PA∩AB＝A， PA，AB⊂平面PAB， 所以PD⊥平面PAB. 因为PD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD. 学生用书⬇第182页 1.过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.无数个 答案：B 解析：与已知直线垂直的不同的平面都互相平行，其中过空间一定点的且与已知直线垂直的有且只有一个.故选B. 2.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则△ABC是(　　) A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 答案：A 解析：如图所示，设正方形边长为1，AC与BD相交于点O，则CA⊥BD，所以折成直二面角后，易知∠COA＝90°，AB＝BC＝1，AC＝＝＝1，则△ABC是正三角形. 故选A. 3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项正确的是(　　) A.若m⊥n，n∥α，则m⊥α B.若m∥β，β⊥α，则m⊥α C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α 答案：C 解析：对于A、B、D，满足条件的直线m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故ABD错误；对于C，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，故C正确.故选C. 4.如图，已知点A∈平面α，点O∈α，直线a⊂α，点P∉α且PO⊥α，则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的　　　　条件(请填写“充分非必要”，“必要非充分”“充要”“非充分非必要”). 答案：充要 解析：因为PO⊥α，a⊂α，所以PO⊥a.当直线a⊥直线OA时，PO，OA⊂平面POA，PO∩OA＝O，则a⊥平面POA. 又PA⊂平面POA，所以直线a⊥直线PA，故“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的充分条件. 当直线a⊥直线PA， 又a⊥PO，PO∩PA＝P， 故直线a⊥平面POA.又OA⊂平面POA，故直线a⊥直线OA.故“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的必要条件.综上，“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $