6.6.3 球的表面积和体积-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦球的表面积和体积核心知识点，先通过截面形状、切线性质等问题梳理球的结构与性质，建立R²=d²+r²关系，再推导表面积（4πR²）与体积（4/3πR³）公式，最后结合实际问题及祖暅原理拓展应用，形成完整学习支架。 资料以问题驱动培养直观想象（数学眼光），如探究截面圆与球半径关系；通过公式推导与实际计算提升数学运算（数学思维），如圆柱包装盒与球的组合问题；融入祖暅原理培养应用意识（数学语言）。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固，有效查漏补缺。

6.3　球的表面积和体积 学习目标 1.了解球的结构和性质，提升直观想象的核心素养.　2.能利用球的表面积与体积公式解决与球有关的计算问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　球的有关概念 问题1.用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？ 提示：用一个平面去截球体，截面是圆面.在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示，若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO'＝d. 在Rt△OO'C中，OC2＝OO'2＋O'C2，即R2＝d2＋r2. 问题2.过球外一点作球的切线，有几条？这些切线是什么关系？所有的切点组成什么图形？ 提示：如图所示，有无数条切线，所有切线的切线长相等，所有的切点构成一个圆. 球的有关概念 球的截面 大圆 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆 小圆 被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆 关系式 设截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，球的半径为R，则r＝ 球的切线 直线与 球相切 当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点 切线长 过球外一点，有无数条切线，所有切线的切线长都相等.这些切点的集合是圆，圆面及所有切线围成了一个圆锥 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的半径. 解：因为AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°. 因为球心O在截面△ABC的投影O'为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC的外接圆的圆心， 所以斜边AC为截面圆O'的直径(如图所示). 设O'C＝r，OC＝R，则球的半径为R，截面圆半径为r， 在Rt△O'CO中，由题设知sin ∠O'CO＝＝， 所以∠O'CO＝30°，所以＝cos 30°＝，即R＝r， 又2r＝AC＝30，所以r＝15，R＝10. 所以球的半径为10. 1.有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面几何中圆的问题. 2.解题时要注意借助球的半径R，截面圆的半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2. 对点练1.(1)某公司在庆典活动中，设计了一款纪念品如图所示，其底座是顶部有凹槽的圆台，上面放置一个水晶玻璃球，圆台上底圆周的所有点都在凹槽面上.凹槽面上的所有点都在球面上.圆台的上、下底面半径分别为2 cm，4 cm，母线长为2 cm，球的顶端到底座下底面的距离为8 cm，则水晶球的半径为(　　) A. cm B. cm C.2 cm D. cm (2)已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则球的半径为(　　) A.3 B.3 C.2 D. 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)由题意可知，圆台的高为＝4 cm，球的最高点到圆台上底面的距离为8－4＝4 cm，设球的半径为R cm，则R2＝22＋，解得R＝ cm.故选D. (2)作出过半球内接正方体对角面的半球的轴截面，它是半圆O及其内接矩形ACC1A1，如图所示，其中，矩形ACC1A1是该半球内接正方体的对角面，点O是半球底面圆圆心，正方体的棱长CC1＝，面对角线AC＝＝2，显然点O是AC的中点，则该半球的半径R＝OC1＝＝3，所以球的半径为3.故选B. 学生用书⬇第189页 任务二　球的表面积与体积 球的表面积与体积公式 球的半径为R 表面积公式 S球面＝4πR2 体积公式 V球＝πR3 (链接教材P255例7)(1)如图，过球O的一条半径OP的中点O1，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球O的体积是(　　) A.π B.π C.32π D.16π (2)若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则＝(　　) A.－1 B. C.－1 D. 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)如图所示，设球O的半径为R，则R2－＝()2，解得R＝2，所以球O的体积V＝R3＝π.故选A. (2)易知圆锥的表面积为πrl＋πr2，球的表面积为4π＝πl2，故πrl＋πr2＝πl2，即＋－1＝0，解得＝(负舍).故选B. 1.球的基本量是球的半径，是计算球的表面积和体积的关键. 2.两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方. 对点练2.(1)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比(　　) A.1∶1 B.2∶1 C.3∶2 D.2∶3 (2)圆柱形玻璃容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与容器内径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径为　　　　 cm. 答案：(1)D　(2)4 解析：(1)设球的半径为r，则S圆柱＝2πr2＋2πr·2r＝6πr2，S球＝4πr2，所以球的表面积与圆柱的表面积之比为2∶3.故选D. (2)设球的半径为r cm，由题意可得3×πr3＋πr2×8＝πr2×6r，解得r＝4，故球的半径是4 cm. 任务三　与球有关的实际问题的计算 (1)(多选题)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则(　　) A.R＝3r B.R＝6r C.V2＝9V1 D.2V2＝27V1 (2)如图，一个圆锥形的空杯子上放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，　　　　溢出来.(用 “会、不会”填空)(假设冰激凌融化前后体积不变) 答案：(1)AD　(2)不会 解析：(1)由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R＝3r，圆柱的高等于球形巧克力的直径，即h＝2r，V1＝，V2＝πR2h＝18πr3，则有2V2＝27V1.故选AD. (2)半球形的冰激凌的体积为×π×43＝，圆锥形空杯子的体积为π×42×12＝64π，而＜64π，如果冰激凌融化了，不会溢出来. 　　将实际问题转化为球的有关计算问题，注意区分是计算球的体积还是表面积. 对点练3.(1)海南椰雕不仅仅是一门传统手艺，更是一段传承千年的文化史.图(1)是一个椰雕工艺台灯，其灯罩的几何模型如图(2)所示，相当于球O被一个平面截得的一部分，若AB是截面圆O'的直径，∠AOB＝，圆O'的面积为27π cm2，则球O的体积为(　　) A.144π cm3 B.288π cm3 C.432π cm3 D.864π cm3 学生用书⬇第190页 (2)将一个底面半径为r，高为r的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)由圆O'的面积为27π cm2，得圆O'的半径r＝3 cm.又等腰△AOB的顶角∠AOB＝，则球O的半径R＝OA＝＝6(cm)，所以球O的体积V＝R3＝×63＝288π(cm3).故选B. (2)设球的半径为R，由题意可知r2×π×r＝×πR3，解得＝，所以该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为＝＝×＝. [教材拓展10]　祖暅原理及其应用(源于教材P258阅读材料一) 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 如图，夹在平行平面α，β之间的两个形状不同的几何体，被平行于平面α，β的任意一个平面所截，如果截面P和Q的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等. (1)中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面的面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为3的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为(　　) A.36 B.42 C.108 D.126 (2)“幂势既同，则积不容异”，这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R的半球与底面半径和高都为R的圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若球心到平面α的距离为R，则平面α截半球所得的较小部分的几何体的体积等于　　　　. 答案：(1)B　(2)πR3 解析：(1)由祖暅原理，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等， 故V＝h＝× ×3＝42.故选B. (2)由题意知，截面以上圆柱的体积V圆柱＝πR2＝πR3，V大圆锥＝πR2·R＝πR3，V小圆锥＝π·＝πR3， 所以V圆台＝V大圆锥－V小圆锥＝πR3－πR3＝πR3，所以该平面α截半球所得的较小部分的几何体的体积为V＝V圆柱－V圆台＝πR3－πR3＝πR3. 任务再现 1.球的有关概念.2.球的表面积与体积公式.3.与球有关的实际问题的计算 方法提炼 公式法、转化与化归思想 易错警示 几何体的外接球与内切球易混淆而致误 1.一个球的体积和表面积的数值相等，则该球的半径为(　　) A. B. C.3 D.12 答案：C 解析：设球的半径为R，则πR3＝4πR2，所以R＝3.故选C. 2.已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π，O到α的距离为1，则球O的表面积为(　　) A.2π B.4π C.8π D.16π 答案：C 解析：依题意，球O的截面小圆半径为1，而球心O到截面距离为1，则球半径R＝＝，所以球O的表面积为4πR2＝8π.故选C. 3.把直径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为(　　) A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm 答案：B 解析：设大铁球的半径为R cm，则有πR3＝π×＋π×＋π×，解得R＝6.故选B. 4.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝　　　　. 答案： 解析：由题意，可得πR2r＝πr3，则＝，所以＝. 学科网（北京）股份有限公司 $