6.6.2 柱、锥、台的体积-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学柱、锥、台的体积这一核心知识点，从长方体等特殊柱体体积公式入手推测柱体体积公式，通过分割直三棱柱推导锥体体积，由锥体截得台体进而推导台体体积，最后拓展到用割补法计算不规则几何体体积，构建完整知识脉络。 该资料以问题链驱动公式推导，如通过直三棱柱分割探究锥体体积培养直观想象，结合例题与对点练习提升数学运算，任务再现与方法提炼强化逻辑推理。课中助力教师引导学生主动建构知识，课后学生可通过练习与总结巩固公式应用，查漏补缺。

6.2　柱、锥、台的体积 学习目标 1.了解柱体、锥体、台体体积公式的推导过程，提升直观想象的核心素养.　2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，提升数学运算的核心素养.　3.熟悉台体与柱体、锥体之间的转换关系. 任务一　柱体、锥体的体积 问题1.长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示？根据这些体积公式，推测柱体的体积计算公式. 提示： 问题2.如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？ 提示：所得到的3个三棱锥的体积相等.V三棱锥＝Sh，棱锥和圆锥的体积可用这个公式来计算. 学生用书⬇第186页 柱体、锥体的体积 几何体 体积公式 柱体 圆柱、棱柱 V柱体＝Sh S—柱体的底面积，h—柱体的高 锥体 圆锥、棱锥 V锥体＝Sh S—锥体的底面积，h—锥体的高 (链教材P252例4)(1)如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，BA＝BC＝BP＝1，则这个三棱锥的体积为(　　) A. B. C. D. (2)一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为(　　) A.π B.2π C. D. 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，则BP＝1是三棱锥P-ABC的高，由AB⊥BC，BA＝BC＝1，得S△ABC＝AB·BC＝，所以该三棱锥的体积为V＝S△ABC·PB＝.故选B. (2)设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，所以2πr＝2，所以h＝2，r＝，所以圆柱的体积为πr2·h＝.故选D. 棱锥、圆锥体积的求法 1.公式法. 2.棱锥计算要注意运用特殊三角形. 3.圆锥体积的计算要充分运用轴截面，找出底面半径，母线和高的关系. 对点练1.(1)已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，体积是18π，则圆锥的底面半径为(　　) A. B. C.2 D.3 (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AC1与平面ABCD的夹角为60°，则该长方体的体积等于(　　) A. B. C. D.2 答案：(1)D　(2) C 解析：(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，如图所示，则πrl＝3πr2，可得l＝3r，则h＝＝＝2r.由圆锥的体积为18π，则πr2×2r＝18π，可得r＝3.故选D. (2)如图所示，由题意，知△ACC1是直角三角形，且∠CAC1即为AC1与平面ABCD的夹角，即∠CAC1＝60°，又AC＝＝，则tan 60°＝＝＝，CC1＝.故长方体的体积V＝AB·BC·CC1＝.故选C. 任务二　台体的体积 问题3.圆台、棱台都可以由圆锥和棱锥截得，那么你能利用锥体的体积公式推导台体的体积公式吗？ 提示：台体的体积可以利用两个锥体的体积差来计算. 棱台和圆台的体积 几何体 体积公式 台 体 圆台、棱台 V台体＝(S上＋S下＋)h S上，S下—台体的上、下底面积，h—台体的高 特别地，V圆台＝πh(r'2＋r'r＋r2)(r'，r分别是圆台的上、下底面半径，h是圆台的高) [微思考]　将柱、锥、台体的体积公式进行类比，能发现它们的联系吗？ 提示： 已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面面积分别为18，32，下底面上的棱AD与侧棱BB1所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为(　　) A. B.148 C.148 D. 答案：A 解析：因为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面面积分别为18，32，所以上、下底面边长分别为3，4.如图所示，过点B1作B1E⊥BC于点E，则BE＝＝. 因为BC∥AD，所以AD与BB1所成的角为∠B1BC，所以cos ∠B1BC＝＝＝，得BB1＝5. 设该正四棱台上、下底面的中心分别为O1，O，连接O1B1，OB，OO1，易得O1B1＝3，OB＝4. 过B1作B1F⊥OB于点F，则BF＝1，OO1＝B1F＝＝＝7， 所以该正四棱台的体积V＝×7＝.故选A. 学生用书⬇第187页 　　台体体积公式是V＝(S上＋S下＋)h，其中S上、S下分别表示台体的上、下底面面积.在求解相关量时，应充分利用台体中有关的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 对点练2.如图，圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180°，其中SA＝2，SB＝4，则该圆台的体积为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由已知得AB＝SB－SA＝2，由于扇环的圆心角为180°，则有×2π×SA＝2π×O1A，可得O1A＝1，同理可得OB＝2，圆台的轴截面如图所示.其中OB＝2，O1A＝1，AB＝2，过点A作AD⊥OB交OB于D，则BD＝OB－O1A＝2－1＝1，则AD＝＝，故OO1＝，即圆台的高为，又S上底＝π×12＝π，S下底＝π×22＝4π，所以V＝××＝.故选C. 任务三　不规则几何体的体积的计算 (一题多解)如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF到平面ABCD的距离为3，求该多面体的体积V. 解：法一：如图①所示，连接EB，EC，AC.则四棱锥E-ABCD的体积 VE-ABCD＝×42×3＝16. 因为AB＝2EF，EF∥AB， 所以S△EAB＝2S△BEF. 所以VF-EBC＝VC-EFB＝VC-ABE＝VE-ABC＝×VE-ABCD＝4. 所以V＝VE-ABCD＋VF-EBC＝16＋4＝20. 即该多面体的体积为20. 法二：如图②所示，设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，则EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，原多面体分割为四棱锥E-AGHD及三棱柱EGH-FBC.连接BH，BE，CE. 由题意得VE-AGHD＝S四边形AGHD×3＝×4×(4×)×3＝8. VEGH-FBC＝3VB-EGH＝3VE-BGH＝3×VE-GBCH＝VE-AGHD＝×8＝12. 所以V＝VE-AGHD＋VEGH-FBC＝8＋12＝20. 即该多面体的体积为20. 　　对于不规则的几何体求其体积时，往往不能直接套用公式，常常需要通过“割”或“补”化复杂几何体为已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口. 对点练3.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为4 cm，母线长最短5 cm，最长8 cm，则斜截圆柱的体积为　　　　 cm3. 答案：26π 解析：将相同的两个几何体拼接为圆柱，则圆柱底面半径为2 cm，高为8＋5＝13，体积为π×22×13＝52π，则该几何体的体积为圆柱体积的一半，即52π×＝26π. 任务再现 1.柱体、锥体、台体的体积公式.2.不规则几何体的体积 方法提炼 公式法、等体积法、割补法、转化与化归思想 易错警示 由于锥体与柱体体积计算公式混淆而出现错误 1.为了培养学生动手操作能力，某高中课外活动小组进行了一次几何模型制作比赛，某同学制作了一个直五棱柱模型，测得该五棱柱的底面积为0.5平方米，侧棱长为1米，则该五棱柱的体积为(　　) A.0.25立方米 B.0.5立方米 C.1立方米 D.2立方米 答案：B 解析：根据直五棱柱性质可知该五棱柱的高为1米，又底面积为0.5平方米，所以其体积为V＝0.5×1＝0.5立方米.故选B. 2.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A.20＋12 B.28 C. D. 答案：D 解析：正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则该棱台的高h＝＝，所以该棱台的体积V＝(22＋＋42)×＝.故选D. 3.(2025·八省适应性测试)底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为　　　　. 答案：π 解析：由题意可知圆锥的底面半径R＝1，母线长l＝2，所以高h＝＝＝，所以圆锥的体积为V＝πR2h＝π. 4.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为　　　　. 答案：96 解析：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，如图所示，使AA'＝BB'＝CC'＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC·AA'＝×24×8＝96. 学科网（北京）股份有限公司 $