6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦柱、锥、台的侧面展开与面积计算核心知识点，系统梳理圆柱、圆锥、圆台（旋转体）及直棱柱、正棱锥、正棱台（多面体）的侧面积公式，通过展开图建立平面与立体联系，延伸至组合体表面积，构建从基础到综合的学习支架。 该资料以问题驱动直观想象（如探究展开图形状），通过公式类比与转化思想（如圆台“还台为锥”）提升数学运算能力，结合帐篷、陀螺等实例培养应用意识。课中辅助教师系统教学，课后通过对点练和任务再现帮助学生巩固，弥补知识盲点。

§6　简单几何体的再认识 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 学习目标 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的侧面积的求法.　2.了解柱体、锥体、台体的侧面积计算公式，提升直观想象的核心素养.　3.能运用柱体、锥体、台体的侧面积公式进行计算和解决有关实际问题，培养数学运算的核心素养. 任务一　圆柱、圆锥、圆台 问题1.把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展开在一个平面上，它们的侧面展开图分别是什么图形？ 提示：分别为矩形、扇形、扇环. 问题2.如何根据圆柱、圆锥的展开图，求圆柱、圆锥的侧面积呢？ 提示：圆柱的侧面展开图是矩形(如图所示)，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线).设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧＝2πrl. 同理，圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆周长.设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S圆锥侧＝×2πrl＝πrl. 1.侧面积 把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 几何体 侧面展开图 侧面积公式 圆柱 S圆柱侧＝c·l＝2πrl r—底面半径 l—圆柱母线长 c—底面圆周长 学生用书⬇第183页 圆锥 S圆锥侧＝c·l＝πrl r—底面半径 l—圆锥母线长 c—底面圆周长 圆台 S圆台侧＝(c1＋c2)l ＝π(r1＋r2)l r1，r2—上、下底面半径 c1，c2—上、下底面圆周长 l—圆台母线长 [微思考]　将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行类比，能发现它们的联系和区别吗？ 提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系(如图)，其中r为上底面半径，R为下底面半径，l为侧面母线长. (链接教材P250例1、P251例2) (1)已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则圆台的侧面积为(　　) A.44π B.48π C.52π D.56π (2)(多选题)如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知AB＝1，AC＝，AA1＝3，则下列说法正确的是(　　) A.圆柱的侧面积为6π B.圆柱的侧面积为6π C.圆柱的表面积为8π D.圆柱的表面积为8π 答案：(1)B　(2)AC 解析：(1)侧面展开图扇环如图所示：则＝2π×2＝4π，＝2π×4＝8π，则·OA＝4π，·OC＝8π，解得OA＝8，OC＝16，所以扇形AOB的面积为×4π×OA＝16π，扇形COD的面积为×8π×OC＝64π，故圆台的侧面积为64π－16π＝48π.故选B. (2)因为四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AB＝1，AC＝，AA1＝3，所以AB2＋AC2＝BC2.设底面圆的半径为r＝BC，解得r＝1，则圆柱侧面积S侧＝2πr·AA1＝6π，故A正确；圆柱的表面积S＝S侧＋2S底＝6π＋2πr2＝8π，故C正确.故选AC. 1.旋转体侧面积的计算一般通过轴截面寻找其中的数量关系. 2.解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长. 对点练1.(1)已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为(　　) A.2π B.3π C.4π D.6π (2)如图，这是一个圆台形水泥墩，已知该水泥墩的上底面圆的半径为1分米，下底面圆的半径是2分米，高为3分米，则该水泥墩的表面积是　　　　平方分米. 答案：(1)B　(2)(5＋3)π 解析：(1)设圆锥的母线长为l，由题意可知l＝2π×1，解得l＝3，所以该圆锥的侧面积S＝π×1×l＝π×1×3＝3π.故选B. (2)由题意可知该圆台形水泥墩的母线长l＝＝分米，则该水泥墩的表面积为S＝π×12＋π×22＋π××＝π平方分米. 任务二　直棱柱、正棱锥、正棱台 问题3.类比圆柱、圆锥、圆台的展开图和侧面积的求法，直棱柱、正棱锥、正棱台的展开图是怎么样的？如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 提示：展开图如图所示.首先需求出各个展开图中的每部分平面图形的面积，然后求和即可. 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c —底面周长 h —高 学生用书⬇第184页 正棱锥 S正棱锥侧＝ch' c —底面周长 h'—斜高 正棱台 S正棱台侧＝(c1＋c2)h' c1，c2—上、下底面周长 h'—斜高 [微思考]　将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行类比，能发现它们的联系和区别吗？ 提示： 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系： S直棱柱侧＝chS正棱台侧＝(c＋c')h'S正棱锥侧＝ch'(c'为正棱台上底面周长). (链教材P252例3)已知正三棱台上底面边长为1，下底面边长为2，高为1.求该三棱台的表面积. 解：如图所示，正三棱台ABC-A1B1C1，O1，O分别为上、下底面的中心， 连接C1O1并延长交A1B1于D1，连接CO并延长交AB于D，连接D1D. 因为等边三角形A1B1C1的边长为1， 所以O1D1＝C1D1＝×1×＝. 因为等边三角形ABC的边长为2， 所以OD＝CD＝×2×＝. 因为O1O＝1，所以D1D＝＝， 所以该三棱台表面积为3××(1＋2)×＋×1×1×＋×2×2×＝. 求棱柱、棱锥、棱台表面积的关注点 1.多面体的表面积是各个面的面积之和. 2.求棱锥、棱台的表面积的关键是求出侧面三角形、梯形的高. 对点练2.(1)如图，ABCD-A1B1C1D1是棱长都为2的直平行六面体，且∠DAB＝60°，则这个直平行六面体的表面积为(　　) A.16 　　B.4＋2 C.16＋2 　　D.16＋4 (2)一个正三棱锥高为1，底面是边长为6的正三角形，则此三棱锥的侧面积为　　　　. 答案：(1)D　(2)18 解析：(1)由题意可知：底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，AB＝2，所以BD＝2，AC＝2，所以底面ABCD的面积为×BD×AC＝×2×2＝2. 又因为每个侧面的面积都是2×2＝4，所以这个直平行六面体的表面积为4×4＋2×2＝16＋4.故选D. (2)如图所示，正三棱锥A-BCD中，BC＝CD＝BD＝6. 过点A作AE⊥平面BCD，垂足为E，则AE＝1. 又E为等边△BCD的中心，DH为△BCD的一条 中线，则BH＝3，DH＝＝3，故HE＝DH＝. 在△AEH中，由勾股定理得AH＝＝2，故S△ABC＝BC·AH＝6，同理可知S△ABD＝S△ACD＝6，则此三棱锥的侧面积为6×3＝18. 任务三　组合体的侧(表)面积 如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1.设PO1＝2 m，PA1＝4 m，求帐篷的表面积. 解：连接O1A1.因为PO1＝2 m，PA1＝4 m， 所以A1B1＝A1O1＝＝2. 取A1B1的中点为Q，连接O1Q， PQ， 易得PQ⊥A1B1，A1Q＝A1B1＝，PQ＝＝. 设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2， 所以S1＝6×A1B1·PQ＝6，S2＝6A1B1·OO1＝48， 所以搭建帐篷的表面积为S1＋S2＝6＋48. 组合体表面积的求解策略 1.首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减. 2.在求组合体的表面积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”的定义，以确保不重复、不遗漏. 对点练3.(1)以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为(　　) A.π B.2π C.2π D.4π (2)(新角度)陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石 学生用书⬇第185页 器时代遗址中发现的.如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱体部分的高BC＝5 cm，圆锥体部分的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积(单位：cm2)是(　　) A.60π B.76π C.92π D.96π 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)如图所示，正三角形绕AB所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥，圆锥的底面半径为r＝OC＝，所以所得几何体的表面积为S＝2πr·AC＝2×π××2＝4π.故选D. (2)由题意可得圆锥体的母线长为l＝＝5，所以圆锥体的侧面积为＝20π，圆柱体的侧面积为8π×5＝40π，圆柱的底面面积为π×42＝16π，所以此陀螺的表面积为40π＋20π＋16π＝76π(cm2).故选B. 任务再现 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积.2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积.3.组合体的侧(表)面积 方法提炼 公式法、转化与化归思想 易错警示 对于组合体的表面积易重复计算拼接面 1.若一个圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥表面积为(　　) A.4π B.3π C.2π D.π 答案：A 解析：由题意可知圆锥的母线长l＝＝3，底面圆周长为2π，底面圆面积为π，所以圆锥侧面积为l×2π×＝3π，故该圆锥表面积为4π.故选A. 2.棱长都是1的三棱锥的表面积为(　　) A. B.2 C.3 D.4 答案：A 解析：棱长都是1的三棱锥的表面都是边长为1的正三角形，共4个，所以其表面积为S＝4××1×1×sin 60°＝.故选A. 3.(多选题)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　) A.母线长是20 B.表面积是1 100π C.高是10 D.轴截面为等腰梯形 答案：ABD 解析：圆台的轴截面是等腰梯形，故D正确；设圆台母线长为l，又圆台侧面展开图圆心角是π，所以l＝＝20，故A正确；表面积为S＝π×102＋π×202＋π(10＋20)×20＝1 100π，故B正确；高h＝＝10，故C错误.故选ABD. 4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高的和为384，AC1的长为366，则该长方体的表面积为　　　　. 答案：13 500 解析：如图所示，AB＋BC＋CC1＝384，AB2＋BC2＋C＝3662，＝3842，所以AB2＋BC2＋C＋2AB·BC＋2AB·CC1＋2BC·CC1＝3842， 所以2AB·BC＋2AB·CC1＋2BC·CC1＝3842－3662＝750×18＝13 500. 学科网（北京）股份有限公司 $